21.2 解一元二次方程
一、选择题(每小题3分，总计30分。请将唯一正确答案的字母填写在表格内)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
1．一元二次方程x2﹣9=0的根为（ ）
A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0
2．将一元二次方程x2﹣6x=2化成（x+h）2=k的形式，则k等于（ ）
A．﹣7 B．9 C．11 D．5
3．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（ ）
A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．1，3，1
4．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（ ）
A．x1=x2=﹣1 B．x1=x2=2 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=2
5．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣1）=2，则x2+y2=（ ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2或1
6．若方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C． D．
7．关于x的一元二次方程x2+bx﹣1=0的判别式为（ ）
A．1﹣b2 B．b2﹣4 C．b2+4 D．b2+1
8．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
9．若x2﹣4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）
A．p=4，q=2 B．p=4，q=﹣2 C．p=﹣4，q=2 D．p=﹣4，q=﹣2
10．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2+2x﹣35=0为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：将原方程变形为（x+1）2=35+1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为（x+1）2；另一方面，它又等于35+1，因此可得方程的一个根x=5，根据阿尔•花拉子米的思路，解方程x2﹣4x﹣21=0时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S正确的是（ ）
A． S=21+4=25 B． S=21﹣4=17
C． S=21+4=25 D． S=21﹣4=17
二、 填空题(每题4分，总计20分)
11．已知y=x2+x﹣34，当x= 时，y=﹣2．
12．方程（x﹣5）2=5的解为 ．
13．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是 ．
14．如果一元二次方程的根x2+4x+m=0没有实数根，那么m的取值范围是 ．
15．已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1=0的两根，则x12+x22= ．
三．解答题（共8小题,总计70分）
16．用直接开平方法解方程：2（x+5）2=
17．用配方法解方程：3x2﹣1=4x．
4
18．利用公式法解方程：x2+1=3x．
19．用因式分解法解方程：（y﹣1）2+2y（1﹣y）=0．
20．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程一个根为3，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
22．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．
23．用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为﹣3a2≤0，所以﹣3a2+1有最大值1，即﹣3a2+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1．
（1）当x= 时，代数式3（x+3）2+4有最 （填写大或小）值为 ．
（2）当x= 时，代数式﹣2x2+4x+3有最 （填写大或小）值为 ．
（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
4
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
C
C
A
D
A
A
C
B
B
C
二．填空题（共5小题）
11．或．
12．．
13．13．
14．m＞4．
15．
三．解答题（共8小题）
16．解：方程两边同时除以2得（x+5）2=，
x+5=±，
解得：x1=﹣，x2=﹣．
17．∵3x2﹣1=4x
∴3x2﹣4x=1
∴x2﹣x=
∴x2﹣x+=+
∴（x﹣）2=
∴x=
∴x1=，x2=．
18．解：由原方程，得x2﹣3x+1=0，
这里a=1，b=﹣3，c=1，
∵△=9﹣4=5，
∴x=，
解得：x1=，x2=．
19．解：（y﹣1）2+2y（1﹣y）=0，
（y﹣1）2﹣2y（y﹣1）=0，
（y﹣1）（y﹣1﹣2y）=0，
y﹣1=0或y﹣1﹣2y=0，
所以y1=1，y2=﹣1．
20．（1）证明：原方程可化为x2﹣（2m+2）x+m2+2m=0，
∵a=1，b=﹣（2m+2），c=m2+2m，
∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）=4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）=0，
解得：m1=3，m2=1．
∴m的值为3或1．
21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，
解得k≤．
4
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，
∵x12+x22=11，
∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，
∵k≤，
∴k=4（舍去），
∴k=﹣1．
22．解：（1）换元，降次
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，
解得y1=6，y2=﹣2．
由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．
由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．
23．解：（1）∵（x+3）2≥0，
∴当x=﹣3时，（x+3）2的最小值为0，
则当x=﹣3时，代数式3（x+3）2+4的最大值为4；
（2）代数式﹣2x2+4x+3=﹣2（x﹣1）2+5，
则当x=1时，代数式﹣2x2+4x+3的最大值为5；
（3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16﹣2x）m，
∴花园的面积为x（16﹣2x）=﹣2x2+16x=﹣2（x2﹣8x+16）+32=﹣2（x﹣4）2+32，
则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．
4
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