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2015-2016学年第二学期期末教学质量检测
高一数学
本试卷共5页，22小题，满分分．考试用时分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
5．本次考试不允许使用计算器．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知,且,则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
2.角终边过点，则=（ ）
A. B. C. D.
3.的值是（ ）
A． B. C. D.
4.若，则=（ ）
A. B. C. D.
5.在中，，则（ ）
A. B. C. D.
6.设平面向量，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
7.在等差数列中，，则（ ）
A.20 B.40 C.60 D.80
8.为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
9.若关于的方程的一根大于1，另一根小于1，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
图1
11. 已知函数一个周期的图象（如图1），则这个函数的一个解析式为（ ）
A． B.
C. D.
12.在实数集中定义运算“*”，对任意，*为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意，*=;
(2) 对任意，*=;
则函数的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.6 D.8
二、填空题：本大题共小题，每小题分，满分分.
13.不等式的解集为 ;（用区间表示）
14.已知,则 ;
15.已知为正实数，且，则的最大值为 ;
图2
16.如图2，设两点在河的两岸，一测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出两点的距离为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知向量a,b满足,，.
（1）求；
（2）求.
18.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求的最小正周期值;
（2）求的单调递增区间;
（3）求在上的最值及取最值时的值.
19.（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为,且,
（1）求数列的通项公式;
（2）令，求证：数列是等比数列.
20.（本小题满分12分）
某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资金
单位产品所需资金（百元）
月资金供应量（百元）
空调机
洗衣机
成本
30
20
300
劳动力（工资）
5
10
110
单位利润
6
8
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
21.（本小题满分12分）
在△ABC中，内角所对的边分别是，已知。
（１）求和的值；
（２）求的值.
22.（本小题满分12分）
已知正数数列的前项和为，点在函数上, 已知，，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)是否存在整数,使得对任意正整数恒成立，且，说明理由.
2015-2016学年第二学期期末教学质量检测
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
B
A
D
B
C
C
D
A
B
二、填空题：本大题共小题，每小题分，满分分.
13． 14. 15. 2 16.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知向量a,b满足,，
（1）求 （2）求.
解：因为
所以 ………….4’
所以 ……………….5’
(2)
18.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求的最小正周期;
（2）求的单调递增区间;
（3）求在上的最值及取最值时的值.
解：(1)
,所以的最小正周期是;…………….4’
（2）
所以的单调递增区间为：;……………….8’
(3) 在上的最值及取最值时的值.
故当 ，即时，有最大值，最大值为1；………………11’
故当 ，即时，有最小值，最小值为；…………….12’
19.（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为,且,
（1）求数列的通项公式;
（2）令，求证：数列是等比数列;
解：（1）当时，;………………..2’
当时，
综上所述，数列的通项公式为…………….6’
（2）由（1）得……………..7’
当时，,………………8’
当时，（常数）……………..10’
所以数列是以9为首项，9为公比的等比数列。……………….12’
20.（本小题满分12分）
某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资金
单位产品所需资金（百元）
月资金供应量（百元）
空调机
洗衣机
成本
30
20
300
劳动力（工资）
5
10
110
单位利润
6
8
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
解：设供应空调机x台，洗衣机y台，由题意得……………1’
利润…………….5’
作出上述不等式组的可行域，如图………….8’
………………10’
则当x=4,y=9时，z最大，且此时z＝96（百元）……………11’
答：空调机4台，洗衣机9台，可获最大利润9600元。…………12’
21.（本小题满分12分）
在△ABC中，内角所对的边分别是，已知。
（１）求和的值；
（２）求的值.
解：（1）在△ABC中， ………1’
由 得
………3’
………5’
解得 ……………6’
(2)
又
所以，
22.（本小题满分12分）
已知正数数列的前项和为，点在函数上, 已知，，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)是否存在整数,使得对任意正整数恒成立，且，说明理由。
解.（1）∵点在函数上
∴……………………………………………………………1’
∴
∴
∴，
∴……………………………………………………2’
∵
∴, 即
当时，
∴………………………………………………………………………………3’
∴数列是以1为首项和公差的等差数列
∴……………………………………………………………4’
（2）∵
∴
∴数列是以1为首项，为公比的等比数列…………………………5’
∴
∴……………………………………………………………6’
∴ （Ⅰ）
(Ⅱ)
………………………………………………7’
∴由（Ⅰ）－(Ⅱ)得
∴…………………………………………………………9’
（3）假设存在整数，使得对任意正整数恒成立，且满足
由（2）知，
又
∴……………10’
∴数列是单调递增数列
∴
∴，
∴………………………………………………………11’
∴存在整数，使得对任意正整数恒成立，且满足…………………12’
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