抛物线
【考点梳理】
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径|PF|
x0＋
－x0＋
y0＋
－y0＋
【考点突破】
考点一、抛物线的定义及应用
【例1】(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝
x0，则x0＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时点P的坐标为________.
[答案] (1) A (2) (2，2)
[解析] (1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝，
因此焦点F，准线l的方程为x＝－.
设点A(x0，y0)到准线l的距离为d，则由抛物线的定义可知d＝|AF|.
从而x0＋＝x0，解得x0＝1.
(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部，如图.
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2，2).
【类题通法】
1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．
2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出．
【对点训练】
1．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝( )
A．9 B．8 C．7 D．6
[答案] B
[解析] 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
2．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为__________．
[答案]
[解析] 如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小．
连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|＝＝.
考点二、抛物线的标准方程与几何性质
【例2】(1)点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )
A．x2＝y B．x2＝y或x2＝－y
C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y
(2)已知抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于点M(M在第一象限)，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝( )
A． B． C． D．
[答案] (1) D (2) D
[解析] (1)将y＝ax2化为x2＝y.
当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝.
当a0)得x2＝2py(p>0)，
所以抛物线的焦点坐标为.
由－y2＝1得a＝，b＝1，c＝2.
所以双曲线的右焦点为(2，0).
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为＝.
即px＋4y－2p＝0.①
设M(x0>0)，则C1在点M处的切线的斜率为.
由题意可知＝，解得x0＝p，
所以M，
把M点的坐标代入①得＋p－2p＝0.解得p＝.
【类题通法】
1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【对点训练】
1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．
[答案] x＝－2
[解析] 由椭圆＋＝1，知a＝3，b＝，
所以c2＝a2－b2＝4，所以c＝2.
因此椭圆的右焦点为(2,0)，
又抛物线y2＝2px的焦点为.
依题意，得＝2，
于是抛物线的准线x＝－2.
2．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
[答案] B
[解析] 不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2(r>0)，
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D，
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴＋8＝＋5，解得p＝4(负值舍去)，
故C的焦点到准线的距离为4.
考点三、直线与抛物线的位置关系
【例3】在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
[解析] (1)如图，由已知得M(0，t)，P.
又N为M关于点P的对称点，故N，
故直线ON的方程为y＝x，
将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0,
解得x1＝0，x2＝.因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t).
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点.
【类题通法】
判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
【对点训练】
已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
[答案] [－1，1]
[解析] 设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，
1].
【例4】已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点.
[解析] (1)把P(1，1)代入y2＝2px，得p＝，
所以抛物线C的方程为y2＝x，
焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN(也就是直线l)斜率存在且不为零.
由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).
由消去y得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.
考虑Δ＝(4k－4)2－4×4k2＝16(1－2k)，
由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k
微信/支付宝扫码支付