福建省福州第一中学2015-2016学年高二下学期暑假作业（三）数学（理）试题 Word版含答案.doc

‎2016年高二理科数学暑假作业（3）‎ 班级_________座号______姓名__________‎ ‎1．在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线 ‎ ‎ 相切，则圆面积的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点， ‎ ‎ 遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第次到第次反射点之间的线段记为 A1‎ A B x C D1‎ D y z B1‎ C1‎ E ‎ ，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )‎ L1‎ L2‎ L1‎ L3‎ L2‎ L4‎ L2‎ L1‎ L1‎ L2‎ L3‎ L4‎ L3‎ L4‎ L4‎ L3‎ ‎ A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　D．‎ ‎3. 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线 ‎ 的离心率的倒数之和的最大值为（ ）‎ ‎ A. B. C.3 D.2‎ 4. 已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，‎ ‎ 若，，则实数的取值范围为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．已知函数则函数的图象的一条对称轴是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知函数的图象上存在关于轴对称的点，‎ ‎ 则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段 ‎ ‎ 的中点，则椭圆的离心率为 .‎ ‎8. 设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点，‎ ‎ 的直线与轴的交点为，则称为、关于函数的平均数，记为，‎ 例如，当时，可得，即为、的算术平均数.‎ ‎ （Ⅰ）当 时，为、的几何平均数；‎ ‎ （Ⅱ）当 时，为、的调和平均数.‎ ‎（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）‎ ‎9.在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则 O A B F x y ‎ 的最大值是 ．‎ ‎10．如图，已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上，轴，∥(为坐标原点）．‎ ‎(1) 求双曲线的方程；‎ ‎(2)过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，恒为定值，并求此定值．‎ ‎11．随机将这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为，‎ ‎ 最大数为；B组最小数为，最大数为，记，‎ ‎(1)当时，求的分布列和数学期望”； ‎ ‎(2)令C表示事件“与的取值恰好相等，求事件C发生的概率；‎ ‎(3)对(2)中的事件C,表示C的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由．‎ ‎12. 在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.‎ ‎ （Ⅰ）求轨迹为的方程；‎ ‎（Ⅱ）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、‎ ‎ 三个公共点时的相应取值范围.‎ ‎13. 为圆周率，为自然对数的底数.‎ ‎ （Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎ （Ⅱ）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；‎ ‎（Ⅲ）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.‎ ‎14. 如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．已知且 ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过作的不垂直于轴的弦的中点．当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值．‎ ‎15. 已知常数 ‎（1）讨论在区间上的单调性；‎ ‎（2）若存在两个极值点且求的取值范围．‎ ‎2016年高二理科数学暑假作业（3）参考答案 ‎1-6. ACABA B ； 7. ; 8. (Ⅰ) (Ⅱ) ,其中为正常数均可; 9. ; ‎ ‎10. (1)设F(c，0)，因为b＝1，所以.‎ ‎ 由题意，直线OB的方程为，直线BF的方程为，所以.‎ ‎ 又直线OA的方程为，则，所以.‎ ‎ 又因为AB⊥OB，所以，解得，故双曲线C的方程为.‎ ‎(2)由(1)知，则直线的方程为，即．‎ ‎ 因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为，直线l与直线的交点为 ‎ N(，).‎ ‎ 则又P(x0，y0)是C上一点，则把， ‎ ‎ 代入上式得，所以，为定值．‎ ‎11.（1）随机变量的取值所有可能是：2，3，4，5‎ ‎； ‎ 的分布列为：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 所以，的数学期望为 ‎（2）（官方标答）和恰好相等的所有可能取值为：.‎ 又和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种，‎ 和恰好相等且等于时，不同的分组方法有2种，‎ 和恰好相等且等于时，不同的分组方法有种；‎ 所以当时，；当时，.‎ ‎（3）由（2）当时，，因此，‎ 而当时，，理由如下：等价于①‎ 用数学归纳法来证明：‎ 当时，①式左边①式右边，所以①式成立.‎ 假设时①式成立，即成立，‎ 那么，当时，左边 ‎ 右边 即当时，①式也成立.综合，得：对于的所有正整数，都有成立.‎ ‎12．【解析】‎ ‎（Ⅰ）设，依题意得：，化简得：‎ ‎ 故点的轨迹的方程为：‎ ‎（Ⅱ）在点的轨迹中，记.‎ ‎ 依题意，可设直线的方程为.‎ ‎ 由方程组可得 ①‎ ‎（1）当时，此时.把代入轨迹的方程，得.‎ ‎ 故此时直线与轨迹恰好有一个公共点.‎ ‎（2）当时，方程①的判别式为 ②‎ ‎ 设直线与轴的交点为，则 ‎ 由，令，得 ③‎ ‎（ⅰ）若 由②③解得，或.‎ ‎ 即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故 ‎ ‎ 此时直线与轨迹恰好有一个公共点.‎ ‎（ⅱ）若 或 由②③解得，或.‎ ‎ 即当时，直线与只有一个公共点，与有一个公共点.‎ ‎ 当时，直线与有两个公共点，与没有公共点.‎ ‎ 故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点.‎ ‎（ⅲ）若由②③解得，或.‎ ‎ 即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，‎ ‎ 故此时直线与轨迹恰好有三个公共点.‎ ‎ 综上所述，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点； ‎ ‎ 当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；‎ ‎ 当时，直线与轨迹恰好有三个公共点.‎ ‎13. 【解析】‎ ‎ (1)函数的定义域为.因为，所以.‎ ‎ 当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.‎ ‎ 故的单调递增区间为；单调递减区间为.‎ ‎(2)因为，所以，，即，.‎ ‎ 于是根据函数在定义域上单调递增，可得， ‎ ‎ ，故这6个数中最大数在与之中，最小数在与之中.‎ ‎ 由及(1)的结论，得，即.‎ ‎ 由，得，所以.由，得，所以 ‎ .综上6个数中最大的数是，最小的数是.‎ ‎(3)由(2)知，，；又由(2)知，，得.‎ ‎ 故只需比较与和与的大小.‎ ‎ 由(1)知，当时，，即.‎ ‎ 在上式中，令，又.则，从而，‎ ‎ 即得 ①‎ ‎ 由①得，，‎ ‎ 即，所以，又由①得，，即，‎ ‎ 所以. 综上可得，，即个数从小到大排序为：.‎ ‎14.解：（1）因为，所以，即，因此，从而 ‎ ‎ ，，于时，所以，．故的方程分 ‎ 别为，‎ ‎（2）因不垂直于轴，且过点，故可设直线的方程为 ‎ 由得，‎ ‎ 易知此方程的判别式大于0，设，‎ ‎ 则是上述方程的两个实根，所以，‎ 因此，于是的中点为，故直线的斜率 ‎ 为，的方程为，即．代入得，‎ ‎ 所以，且，从而 ‎．‎ ‎ 设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，‎ ‎ 所以 ‎ 因为点在直线的异侧，所以，于是 ‎ ‎ ‎ 从而 ‎ 又因为，所以 ‎ 故四边形的面积 ‎ 而，故当时，取得最小值2．‎ ‎ 综上所述，四边形在面积的最小值为2．‎ ‎15. 解：（1） （*）‎ ‎ 当时，，此时，在区间上单调递增．‎ ‎ 当时，由得，（舍去）．‎ ‎ 当时，；当时，．‎ ‎ 故在区间上单调递减，在区间上单调递增．‎ ‎ 综上所述，当时，在区间上单调递增．‎ ‎　　当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．‎ （2） 由（*）式知，当时，，此时不存在极值点，因而要使得有两个极值点， ‎ 必有．又的极值点只可能是和，且由定义可知， ‎ ‎ 且，所以且，解得 ‎ 此时，由（*）式易知，分别是的极小值和极大值点，而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令，则且知：当时，；当时，．‎ ‎ 记，‎ ‎（Ⅰ）当时，，所以 ‎ 因此，在区间上单调递减，从而，故当时，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）当时，，所以 因此，在区间上单调递减，从而，故当时，．‎ ‎ 综上所述，满足条件的的取值范围为．‎