2016年高二数学下学期暑假作业五(理含答案)
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资料简介
‎2016高二理科数学暑假作业(5)‎ 班级_______ 姓名_______________座号______‎ ‎1. 已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图, 则 ‎ 该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.设函数,记,则 A. B. C. D.( )‎ ‎4.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知的内角,,满足,面积满足,记,,分别为,,所对的边,则下列不等式一定成立的是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题 ‎6. 已知分别为的三个内角的对边,,且,则面积的最大值为 .‎ ‎7.若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是_______.‎ ‎8.设直线与双曲线两条渐近线分别交于点 ‎ ,若点满足,则该双曲线的离心率是_______.‎ 三.解答题 ‎9. 已知函数的导函数为偶函数,且曲线在点处的切线的斜率为.(1)确定的值;(2)若,判断 的单调性;(3)若有极值,求的取值范围.‎ ‎10. 如下图,设椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆上,,,的面积为.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径..‎ ‎11.已知点,椭圆:的离心率为,是椭圆的右的焦点,直线 ‎ ‎ 的斜率为,为坐标原点.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.‎ ‎12. 设函数,曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(Ⅰ)求; (Ⅱ)证明:.‎ ‎13.如图,设椭圆C:+ =1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.‎ ‎(I)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;‎ ‎(II)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.‎ ‎14.已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a∈R).‎ ‎(I)若f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a),求M(a)-m(a);‎ ‎(II)设b∈R.若[f(x)+b] 2≤4对x∈[-1,1]恒成立,求3a+b的取值范围.‎ ‎2016高二理科数学暑假作业(6)解答 ‎1.已知函数=,若存在唯一的零点,且>0,则的取值范围为(B; )‎ ‎.(2,+∞) .(-∞,-2) .(1,+∞) .(-∞,-1)‎ ‎【答案】:B ‎【解析1】:由已知,,令,得或,‎ 当时,;‎ 且,有小于零的零点,不符合题意。‎ 当时,‎ 要使有唯一的零点且>0,只需,即,.选B ‎【解析2】:由已知,=有唯一的正零点,等价于 有唯一的正零根,令,则问题又等价于有唯一的正零根,即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记,,由,,,‎ ‎,要使有唯一的正零根,只需,选B ‎2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为( )‎ ‎. . .6 .4‎ ‎【答案】:C ‎【解析】:如图所示,原几何体为三棱锥,‎ 其中,,故最长的棱的长度为,选C ‎3.设函数,记 ‎,则(B )‎ A. B. C. D.‎ 解法1:‎ ‎ ‎ ‎ ,故 解法2:当时,,‎ 因为在上单调递增,所以 当时,,‎ 由二次函数的单调性知,当时,单调递增,当时,单调递减,故 当时,,当时,单调递增,当时,单调递减,‎ 当时,单调递增,当时,单调递减,故 所以答案为B. ‎ ‎4.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )‎ A . 72 B . ‎120 C . 144 D . 3‎ ‎【答案】:B ‎【解析】:歌舞类节目较多可先排,然后将三个歌舞类节目中间的两个空排满,分成两种情况:第一种,插入的是两个小品类节目,种类为;第二种,插入的是一个小品一个相声,种类为。所以总的种树为 ‎5.已知的内角,面积满足所对的边,则下列不等式成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ 解:已知变形为 展开整理得 即 而 故,故,‎ 排除,因为,所以,选择.‎ ‎6. 已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为 .‎ ‎【答案】:‎ ‎【解析】:由且 ,‎ 即,由及正弦定理得:‎ ‎∴,故,∴,∴‎ ‎,∴,‎ ‎7. 若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________.‎ 解:转化为左边的最小值,‎ 左边,当时取等号,‎ 故.‎ ‎8.设直线与双曲线两条渐近线分别交于点 ‎ ,若点满足,则该双曲线的离心率是_______.‎ 解法1:直接法 渐近线方程为,分别于联立,‎ 解得,,则中点 因为,所以,又,所以 解得.‎ 解法2:整体代换 设,中点,渐近线方程为,即,‎ 联立,得,则,‎ ‎,则中点,同法1.‎ 解法3:点差法 设,中点,渐近线方程为,‎ 即,‎ 则,两式相减得,又,所以.‎ 因为,所以,所以,所以方程为,‎ 联立,得,所以,所以.‎ 解法4:韦达定理 设,中点,渐近线方程为,即,‎ 联立,得,‎ 则,,所以,‎ 联立,得,‎ 所以,所以.‎ 解法5:设而不求 设,中点, ‎ 因为,所以,所以,所以方程为,‎ 联立,得,所以,‎ 因为渐近线方程为,则,‎ ‎①-②得,…③;‎ ‎①+②得,…④;得,,‎ 又,代入上式得,所以.‎ 解法6:通过对问题的解读,我想,如果点恰为椭圆的焦点,那么将可以引入双曲线的定义来解, 通过运算推理,直线通过平移为直线后,点相应转化为点 ‎ ‎ ,那么原问题等价于问题:设直线与双曲线两条渐近线 ‎ 分别交于点,若点满足,则该双曲线的离心率是_______.‎ ‎ 再结合点差法又可将问题转化为:设直线与双曲线交于点,‎ ‎ 若点(为右焦点)满足,则该双曲线的离心率是_______.‎ ‎ 不妨设,设左焦点为,弦中点为,并设,那么,‎ ‎ 所以,所以,由及直线斜率为可知:,‎ ‎ ,所以由为直角三角形得:,化解得 ‎ ,所以 ‎9. 已知函数的导函数为偶函数,且曲线在点处的切线的斜率为.‎ ‎(1)确定的值;‎ ‎(2)若,判断的单调性;‎ ‎(3)若有极值,求的取值范围.‎ 解:(1),由恒成立知:‎ ‎,故 另外 联立解出 ‎(2)此时,故单调递增. ‎ ‎(3)等价于有非最值解,设,则等价于方程在时有非最值解,由双钩函数知:. 所以,故的取值范围为.‎ ‎10. 如下图,设椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆上,,,的面积为.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径..‎ 解:(1)设,代入椭圆方程中求出,故,而 由已知:,联立解出 即,联立解出. 所以椭圆的标准方程为 ‎.‎ ‎(2)由于所求圆的圆心在轴上,故圆和椭圆的两个交点关于轴对称,从而经过点所作的切线也关于轴对称,如下图所示. ‎ 当切线互相垂直时,设两条切线交于点,则恰好形成一个边长为正方形. 其中表示圆的半径,由几何关系,,‎ 因为,所以.‎ 故所求圆的半径为.‎ ‎11.【解析】(Ⅰ) 设,由条件知,得,‎ 又,所以,.‎ 故的方程.‎ ‎(II)依题意当轴不合题意,故设直线,设,,‎ 将代入,得,‎ 当,即时,‎ 从而,‎ 又点到直线的距离,‎ 所以的面积 设,则,‎ 当且仅当,时等号成立,且满足.‎ 所以当的面积最大时,的方程为:或.‎ ‎12.【解析】(Ⅰ) 函数的定义域为,‎ ‎ 由题意可得,故.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,从而等价于 设函数,则,所以当时,;‎ 当时,,故在单调递减,在单调递增,‎ 从而在的最小值为.‎ 设函数,则,所以当时,;‎ 当时,,故在上单调递增,在上单调递减,从而在 的最大值为.‎ 综上:当时,,即.‎ ‎13.如图,设椭圆,动直线与椭圆 只有一个公共点,且点 在第一象限.‎ ‎(1)已知直线的斜率为,用表示点的坐标.‎ ‎(2)若过原点的直线与垂直,证明:点到直线的距离最大值为 ‎13.【解析】(1)设直线的方程为,由消去得 ‎ ‎ ‎ 由于与只有一个公共点,故,即,解得点的坐标为 ‎ ‎ ‎ 又点在第一象限,故点的坐标为 ‎(2)由于直线过原点且与垂直,故直线的方程为,所以点到直线的距离 ‎ ,整理得,‎ ‎ 因为,所以 ‎ 当且仅当时等号成立.所以,点到直线的距离的最大值为.‎ ‎14.已知函数 ‎ (1)若在上的最大值和最小值分别记为,求 ‎ (2)设,若对恒成立,求得取值范围.‎ ‎【解析】(1)因为所以由于,‎ ‎ (ⅰ)当时,有,故,此时在上是增函数,因此,‎ ‎ ,故.‎ ‎(ⅱ)当时,若,在上是增函数,‎ 若,在上是减函数,所以,‎ ‎.‎ ‎ 由于,因此当时,;‎ ‎ 当时,;‎ ‎(ⅲ)当时,有,故,此时在上是减函数,‎ ‎ 因此,故 ‎ 综上,‎ ‎(2)令,则,‎ ‎ 因为对恒成立,即对恒成立.‎ ‎ 所以由(1)知,‎ ‎(ⅰ)当时,在上是增函数,在上的最大值是,最小值是 ‎ ‎ ,则且,矛盾;‎ ‎(ⅱ)当时, 在上的最小值是,最大值是,‎ ‎ 所以且,从而且,‎ ‎ 令,则,在上是增函数,故,‎ ‎ 因此;‎ ‎(ⅲ)时, 在上的最小值是,最大值是,‎ ‎ 所以且,解得;‎ ‎ (ⅳ)当时, 在上的最大值是,最小值是, ‎ ‎ 所以且,解得.‎ ‎ 综上,得的取值范围是

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