2016高二理科数学暑假作业(5)
班级_______ 姓名_______________座号______
1. 已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图, 则
该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )
A. B. C. D.
3.设函数,记,则
A. B. C. D.( )
4.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )
A. B. C. D.
5.已知的内角,,满足,面积满足,记,,分别为,,所对的边,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
二、填空题
6. 已知分别为的三个内角的对边,,且,则面积的最大值为 .
7.若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是_______.
8.设直线与双曲线两条渐近线分别交于点
,若点满足,则该双曲线的离心率是_______.
三.解答题
9. 已知函数的导函数为偶函数,且曲线在点处的切线的斜率为.(1)确定的值;(2)若,判断
的单调性;(3)若有极值,求的取值范围.
10. 如下图,设椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆上,,,的面积为.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径..
11.已知点,椭圆:的离心率为,是椭圆的右的焦点,直线
的斜率为,为坐标原点.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.
12. 设函数,曲线在点处的切线方程为.
(Ⅰ)求; (Ⅱ)证明:.
13.如图,设椭圆C:+ =1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.
(I)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;
(II)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.
14.已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a∈R).
(I)若f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a),求M(a)-m(a);
(II)设b∈R.若[f(x)+b] 2≤4对x∈[-1,1]恒成立,求3a+b的取值范围.
2016高二理科数学暑假作业(6)解答
1.已知函数=,若存在唯一的零点,且>0,则的取值范围为(B; )
.(2,+∞) .(-∞,-2) .(1,+∞) .(-∞,-1)
【答案】:B
【解析1】:由已知,,令,得或,
当时,;
且,有小于零的零点,不符合题意。
当时,
要使有唯一的零点且>0,只需,即,.选B
【解析2】:由已知,=有唯一的正零点,等价于
有唯一的正零根,令,则问题又等价于有唯一的正零根,即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记,,由,,,
,要使有唯一的正零根,只需,选B
2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为( )
. . .6 .4
【答案】:C
【解析】:如图所示,原几何体为三棱锥,
其中,,故最长的棱的长度为,选C
3.设函数,记
,则(B )
A. B. C. D.
解法1:
,故
解法2:当时,,
因为在上单调递增,所以
当时,,
由二次函数的单调性知,当时,单调递增,当时,单调递减,故
当时,,当时,单调递增,当时,单调递减,
当时,单调递增,当时,单调递减,故
所以答案为B.
4.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是( )
A . 72 B . 120 C . 144 D . 3
【答案】:B
【解析】:歌舞类节目较多可先排,然后将三个歌舞类节目中间的两个空排满,分成两种情况:第一种,插入的是两个小品类节目,种类为;第二种,插入的是一个小品一个相声,种类为。所以总的种树为
5.已知的内角,面积满足所对的边,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
解:已知变形为
展开整理得
即
而
故,故,
排除,因为,所以,选择.
6. 已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为 .
【答案】:
【解析】:由且 ,
即,由及正弦定理得:
∴,故,∴,∴
,∴,
7. 若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是____________.
解:转化为左边的最小值,
左边,当时取等号,
故.
8.设直线与双曲线两条渐近线分别交于点
,若点满足,则该双曲线的离心率是_______.
解法1:直接法
渐近线方程为,分别于联立,
解得,,则中点
因为,所以,又,所以
解得.
解法2:整体代换
设,中点,渐近线方程为,即,
联立,得,则,
,则中点,同法1.
解法3:点差法
设,中点,渐近线方程为,
即,
则,两式相减得,又,所以.
因为,所以,所以,所以方程为,
联立,得,所以,所以.
解法4:韦达定理
设,中点,渐近线方程为,即,
联立,得,
则,,所以,
联立,得,
所以,所以.
解法5:设而不求
设,中点,
因为,所以,所以,所以方程为,
联立,得,所以,
因为渐近线方程为,则,
①-②得,…③;
①+②得,…④;得,,
又,代入上式得,所以.
解法6:通过对问题的解读,我想,如果点恰为椭圆的焦点,那么将可以引入双曲线的定义来解, 通过运算推理,直线通过平移为直线后,点相应转化为点
,那么原问题等价于问题:设直线与双曲线两条渐近线
分别交于点,若点满足,则该双曲线的离心率是_______.
再结合点差法又可将问题转化为:设直线与双曲线交于点,
若点(为右焦点)满足,则该双曲线的离心率是_______.
不妨设,设左焦点为,弦中点为,并设,那么,
所以,所以,由及直线斜率为可知:,
,所以由为直角三角形得:,化解得
,所以
9. 已知函数的导函数为偶函数,且曲线在点处的切线的斜率为.
(1)确定的值;
(2)若,判断的单调性;
(3)若有极值,求的取值范围.
解:(1),由恒成立知:
,故
另外
联立解出
(2)此时,故单调递增.
(3)等价于有非最值解,设,则等价于方程在时有非最值解,由双钩函数知:. 所以,故的取值范围为.
10. 如下图,设椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆上,,,的面积为.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径..
解:(1)设,代入椭圆方程中求出,故,而
由已知:,联立解出
即,联立解出. 所以椭圆的标准方程为
.
(2)由于所求圆的圆心在轴上,故圆和椭圆的两个交点关于轴对称,从而经过点所作的切线也关于轴对称,如下图所示.
当切线互相垂直时,设两条切线交于点,则恰好形成一个边长为正方形. 其中表示圆的半径,由几何关系,,
因为,所以.
故所求圆的半径为.
11.【解析】(Ⅰ) 设,由条件知,得,
又,所以,.
故的方程.
(II)依题意当轴不合题意,故设直线,设,,
将代入,得,
当,即时,
从而,
又点到直线的距离,
所以的面积
设,则,
当且仅当,时等号成立,且满足.
所以当的面积最大时,的方程为:或.
12.【解析】(Ⅰ) 函数的定义域为,
由题意可得,故.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,从而等价于
设函数,则,所以当时,;
当时,,故在单调递减,在单调递增,
从而在的最小值为.
设函数,则,所以当时,;
当时,,故在上单调递增,在上单调递减,从而在
的最大值为.
综上:当时,,即.
13.如图,设椭圆,动直线与椭圆
只有一个公共点,且点 在第一象限.
(1)已知直线的斜率为,用表示点的坐标.
(2)若过原点的直线与垂直,证明:点到直线的距离最大值为
13.【解析】(1)设直线的方程为,由消去得
由于与只有一个公共点,故,即,解得点的坐标为
又点在第一象限,故点的坐标为
(2)由于直线过原点且与垂直,故直线的方程为,所以点到直线的距离
,整理得,
因为,所以
当且仅当时等号成立.所以,点到直线的距离的最大值为.
14.已知函数
(1)若在上的最大值和最小值分别记为,求
(2)设,若对恒成立,求得取值范围.
【解析】(1)因为所以由于,
(ⅰ)当时,有,故,此时在上是增函数,因此,
,故.
(ⅱ)当时,若,在上是增函数,
若,在上是减函数,所以,
.
由于,因此当时,;
当时,;
(ⅲ)当时,有,故,此时在上是减函数,
因此,故
综上,
(2)令,则,
因为对恒成立,即对恒成立.
所以由(1)知,
(ⅰ)当时,在上是增函数,在上的最大值是,最小值是
,则且,矛盾;
(ⅱ)当时, 在上的最小值是,最大值是,
所以且,从而且,
令,则,在上是增函数,故,
因此;
(ⅲ)时, 在上的最小值是,最大值是,
所以且,解得;
(ⅳ)当时, 在上的最大值是,最小值是,
所以且,解得.
综上,得的取值范围是