第二十五章 25.3 用频率估计概率
学校： 姓名： 班级： 考号：
评卷人
得分
一、选择题
1. 关于频率和概率的关系,下列说法正确的是 ( )
A. 频率等于概率
B. 当试验次数很大时,概率稳定在频率附近
C. 当试验次数很大时,频率稳定在概率附近
D. 试验得到的频率和概率不可能相等
2. 某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量，其长度x(单位：mm)的数据分布如下表，则棉花纤维长度的数据在8≤x＜32这个范围的频率为( )
A. 0.8 B. 0.7 C. 0.4 D. 0.2
3. 关于频率和概率的关系,下列说法正确的是 ( )
A. 频率等于概率
B. 当试验次数很多时,频率稳定在概率附近
C. 当试验次数很多时,概率稳定在频率附近
D. 试验得到的频率与概率不可能相等
4. 在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率与概率,下列说法正确的是( )
A. 频率就是概率 B. 频率与试验次数无关
C. 概率是随机的,与频率无关 D. 随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
5. 袋子里有10个红球和若干个蓝球,小明从袋子里有放回地任意摸球,共摸100次,其中摸到红球次数是25次,则袋子里蓝球大约有 ( )
A. 20个 B. 30个 C. 40个 D. 50个
6. 某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是( )
7
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
7. 在一个不透明的布袋中,红球、黑球、白球共有若干个,除颜色外,形状、大小、质地等完全相同.小新从布袋中随机摸出一球,记下颜色后放回袋中,摇匀后再随机摸出一球,记下颜色,……,如此大量摸球实验后,小新发现其中摸出红球的频率稳定于20%,摸出黑球的频率稳定于50%,对此实验,他总结出下列结论：①若进行大量摸球实验,摸出白球的频率应稳定于30%；②若从布袋中任意摸出一个球,该球是黑球的概率最大；③若再摸球100次,必有20次摸出的是红球.其中说法正确的是( )
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
8. 如图,在2×2的正方形网格中有9个格点,已经取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使△ABC为直角三角形的概率是( )
A. B. C. D.
评卷人
得分
二、填空题
9. 小明“六·一”去公园玩投掷飞镖的游戏,投中图中阴影部分有奖品(飞镖盘被平均分成8份),小明能获得奖品的概率是________.
10. 某校500名学生参加生命安全知识测试,测试分数均大于或等于60且小于100,分数段的频率分布情况如下表所示(其中每个分数段可包括最小值,不包括最大值),结合表中的信息,可得测试分数在80～90分数段的学生有________名.
11. 一鱼池里有鲤鱼,鲫鱼,鲢鱼共1000尾,一渔民通过多次捕捞试验后发现,鲤鱼,鲫鱼出现的概率约为31%和42%,则这个鱼池里大概有鲤鱼______尾,鲫鱼______尾,鲢鱼______尾.
7
12. 某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率,结果如下表所示:
根据表中数据,估计这种幼树移植成活的概率为________(精确到0.1).
13. 小明在操场上做游戏,他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC(如图).为了知道它的面积,小明在封闭图形内划出了一个半径为1 m的圆,在不远处向圈内掷石子,且记录如下:
依此估计此封闭图形ABC的面积是 m2.
14. 在某批次的100件产品中,有3件是不合格产品,从中任意抽取一件检验,则抽到不合格产品的概率是________.
15. 一个不透明的盒子里有红色、黄色、白色小球共80个.它们除颜色外均相同,小文将这些小球摇匀后从中随机摸出一个记下颜色,再把它放回盒中,不断重复,多次试验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为30%和40%.由此可估计盒中大约有白球 个.
16. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.
投篮次数(n)
50
100
150
200
250
300
500
投中次数(m)
28
60
78
104
123
152
251
投中频率()
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
评卷人
得分
三、解答题
17. (9分)课外阅读是提高学生素养的重要途径,某校为了了解学生课外阅读情况,随机抽查了50名学生,统计他们平均每天课外阅读时间(t小时),根据t的长短分为A,B,C,D四类.下面是根据所抽查的人数绘制的两幅不完整的统计图表,请根据图中提供的信息,
7
解答下面的问题：
(1)求表格中的a值,并在图中补全条形统计图；
(2)该校现有1300名学生,请你估计该校共有多少学生课外阅读时间不少于1小时.
18. (本小题满分7分)
今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一.某中学为了了解学生体育活动情况，随机调查了720名初二学生.调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图.根据图示，解答下列问题：
(1)若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？
(2)“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；
(3)2011年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？
(4)请根据以上结论谈谈你的看法.
19. 经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或向右转,如果这三种情况是等可能的,当三辆汽车经过这个十字路口时:
(1)求三辆车全部同向而行的概率;
(2)求至少有两辆车向左转的概率;
(3)由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的,因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计,发现汽车在此十字路口向右转的频率为,向左转和直行的频率均为.
7
目前在此路口,汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒,在绿灯亮总时间不变的条件下,为了缓解交通拥挤,请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整.
20. “中国梦”关乎每个人的幸福生活，为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品.现将参赛的50件作品的成绩(单位：分)进行统计如下：
请根据上表提供的信息，解答下列问题：
(1)表中x的值为________，y的值为________；
(2)将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1，A2，A3，…表示，现该校决定从本次参赛作品获得A等级的学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A1和A2的概率.
21. 解决概率计算问题,可以直接利用模型,也可以转化后再利用模型.
请解决以下问题:
(1)如图,一个寻宝游戏,若宝物随机藏在某一块砖下(图中每一块砖形状、大小完全相同),则宝物藏在阴影砖下的概率是多少?
(2)在1~9中随机选取3个整数,若以这3个整数为边长构成三角形的情况如下表:
7
请根据表中数据,估计构成钝角三角形的概率是多少(精确到百分位)?
参考答案
1. 【答案】C【解析】概率是一个确定的数,频率是一个变化量,当试验次数很大时,频率会稳定在概率附近.
2. 【答案】A【解析】频率＝，棉花纤维长度的数据在8≤x＜32的频数为2＋8＋6＝16，故棉花纤维长度的数据在8≤x＜32的频率＝＝0.8，故选A.
3. 【答案】B【解析】事件发生的频率是变化的,只能用频率估计概率,A错误;当进行大量重复试验时,事件发生的频率会稳定在概率附近,B正确,C错误;试验得到的频率可能与概率相等,如随机抛掷一枚硬币时,“正面朝上”的频率为0.5与概率相等,D错误.故选B.
4. 【答案】D【解析】频率是某一事件发生的次数m与试验总次数n的比值,故选项A错误；在大量重复进行同一试验时,某一事件发生的频率m/n总是接近于某个数,在它附近摆动.故选项B错误；概率是一个定值,当试验次数n相当大的时候,频率可以作为概率的一个近似值,或者说概率是可以通过频率来测量的.故选项C错误,选项D正确,故选D.
5. 【答案】B【解析】设蓝球有x个,则袋子里共有球(x+10)个.由题意得,解得x=30.故选B.
6. 【答案】D【解析】由统计图知，随着实验次数的增加，频率稳定在0.16左右，这表明事件发生的概率估计为0.16，选项A中，“剪刀”出现的概率为，不符合；选项B中，“红桃”出现的概率为，不符合；选项C中，“取出黄球”的概率为，也不符合；选项D中，“点数为4”的概率为，符合.故选D.
7. 【答案】B【解析】摸出白球的概率为1－－＝,故①正确；因为黑球的个数多,所以摸出一个球是黑球的概率最大,故②正确；③错误；故选B.
8. 【答案】D【解析】如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)＝.故找到可以组成直角三角形的点,根据概率公式解答即可.如图,C1,C2,C3,C4均可与点A和B组成直角三角形.P＝,故选D.
9. 【答案】
【解析】总共有8份,而命中的区域占3份,所以命中的概率为.
10. 【答案】150
【解析】80～90分数段的频率为0.3,所以在80～90分数段的学生有500×0.3＝150名.
11. 【答案】310;420;270
【解析】直接根据所给数据计算,鲤鱼:1000×31%=310(尾),鲫鱼:1000×42%=420(尾),鲢鱼:1000-310-420=270(尾).
12. 【答案】0.9
【解析】在同样条件下,大量反复试验时,随机事件的频率逐渐稳定在概率附近.
7
观察表格可得,通过多次移植试验后,发现移植成活率逐渐稳定在0.9附近,故幼树移植成活的概率为0.9.
13. 【答案】3π
【解析】由题表中的信息得,落在圆内的频率为()÷3≈0.29,
落在阴影内的频率为()÷3≈0.52,
则落在圆内 与落在阴影部分的概率大约为≈2.∵S圆=π m2,∴S阴影≈2π m2,∴S总≈π+2π=3π m2
14. 【答案】0.03
【解析】P＝.
15. 【答案】24
【解析】∵多次试验的频率会稳定在概率附近,∴从盒子中摸出一个球恰好是白球的概率约为1-30 %-40 %=30 %,∴白球的个数约为80×30 %=24个.
16. 【答案】0.5
【解析】投中概率为≈0.5.
17.(1) 【答案】5,补全条形统计图如图所示：
(2) 【答案】1300×＝520(人).
答：估计该校共有520名学生课外阅读时间不少于1小时
18.
(1) 【答案】＝，
∴选出的恰好是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是(2分)
(2) 【答案】720×－120－20＝400(人)，
∴“没时间”锻炼的人数是400(4分)
(3) 【答案】2.4×＝1.8(万人)，
∴2010年兰州市初二学生每天锻炼未超过1小时约有1.8万人.(6分)
(4) 【答案】说明：内容健康，能符合题意即可(7分)
19.(1) 【答案】分别用A,B,C表示向左转,直行,向右转,第一层代表第一辆车的情况,第二层代表第二辆车的情况,第三层代表第三辆车的情况;根据题意,画出树状图
∵共有27种等可能的结果,三辆车全部同向而行的有3种情况,
∴P(三车全部同向而行)=;
7
(2) 【答案】∵至少有两辆车向左转的有7种情况,
∴P(至少两辆车向左转)=;
(3) 【答案】∵汽车向右转,向左转,直行的频率分别为.
∴在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下,可调整绿灯亮的时间如下:
左转绿灯亮时间为90×=27(秒),直行绿灯亮的时间为90×=27(秒),右转绿灯亮的时间为90×=36(秒).
20.(1) 【答案】4，0.7；
(2) 【答案】由第1问知获得A等级的学生共有4人，则另外两名学生为A3和A4.
由如下树状图可知：
所有可能出现的结果是：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A1)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A1)，(A3，A2)，(A3，A4)，(A4，A1)，(A4，A2)，(A4，A3).
或列表如下：
由此可见，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中恰好抽到A1，A2两名学生的结果有2种.
∴P(恰好抽到A1，A2两名学生)＝＝.
21.(1) 【答案】∵所有可能的结果有16种,其中宝物藏在阴影砖下的结果有4种, ∴宝物藏在阴影砖下的概率是.
(2) 【答案】各组试验构成钝角三角形的频率依次约是0.24,0.26,0.21,0.22,0.22,
故估计构成钝角三角形的概率是0.22.
7
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