第2课时 切线的判定与性质
知识要点基础练
知识点1 切线的判定
1.下列说法中,正确的是(B)
A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线
C.经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线
D.到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线
2.【教材母题变式】(沈阳中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以点A为圆心,以3 cm为半径作☉A,当AB= 6 cm时,BC与☉A相切.
知识点2 切线的性质
3.(泉州中考)如图,AB和☉O相切于点B,∠AOB=60°,则∠A的大小为(B)
A.15° B.30° C.45° D.60°
4.如图,已知PA是☉O的切线,P为切点,PA=5,连接AO交☉O于点B,AB=5,则☉O的半径为 5 .
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5.如图,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,点C在☉O上,∠P=60°.
(1)求∠C的度数;
(2)若☉O半径为2,求PA的长.
解:(1)连接OA,OB,
∵PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴∠OAP=∠OBP=90°,∴∠AOB=180°-∠P=180°-60°=120°,
∴∠C=∠AOB=×120°=60°.
(2)连接OP,∴∠APO=∠BPO=30°,∴OP=2OA=4,
∴PA==2.
综合能力提升练
6.如图,AB是☉O的直径,下列条件中不能判定直线AD是☉O的切线的是(D)
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A.AB=4,AD=3,BD=5
B.∠B=45°,AB=AD
C.∠B=55°,∠DAC=55°
D.∠ADC=∠B
7.如图,过A,B,C三点作一圆弧,点B与下列格点连线中,能够与该弧所在的圆相切的是(B)
A.(0,3) B.(1,3)
C.(2,3) D.(4,3)
8.如图,过☉O上一点C作☉O的切线,交直径AB的延长线于点D,若∠A=25°,则∠D的度数为(C)
A.25° B.30° C.40° D.50°
9.如图,∠ABC=75°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB长为半径作☉O,要使射线BA与☉O相切,应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转(B)
A.45°或85° B.45°或105°
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C.50°或100° D.60°或120°
10.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线.点D,E在☉O上,若∠CBD=120°,则∠E的度数是(D)
A.50° B.70° C.80° D.60°
11.学习了直线与圆的位置后,我们把直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图,直线l:y=kx+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∠OBA=60°,点P在x轴上,☉P与l相切,当点P在线段OA上运动时,使得☉P成为整圆的点P个数是(A)
A.6 B.8 C.10 D.12
12.如图,☉M的圆心在y轴上且与x轴相切于原点O,直线PQ平行于y轴,与☉M交于P,Q两点,P点在Q点的下方.已知点P的坐标是(4,2),则圆心M的坐标是 (0,5) .
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,O是AB上一点,☉O与BC相切于点E,交AB于点F,连接AE,若AF=2BF,则∠CAE的度数是 30° .
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14.(呼伦贝尔中考)如图,已知☉O的直径为AB,AC⊥AB于点A,BC与☉O相交于点D,在AC上取一点E,使得ED=EA.
(1)求证:ED是☉O的切线;
(2)当OE=10时,求BC的长.
解:(1)如图,连接OD.
∵AC⊥AB,
∴∠BAC=90°,即∠OAE=90°.
在△AOE与△DOE中,OA=OD,AE=DE,OE=OE,
∴△AOE≌△DOE(SSS).
∴∠OAE=∠ODE=90°,即OD⊥ED.
又∵OD是☉O的半径,∴ED是☉O的切线.
(2)∵AB是直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
又∵由(1)知△AOE≌△DOE,∴∠AEO=∠DEO.
又∵AE=DE,∴AD⊥OE,∴OE∥BC.
∵O是AB中点,且OE=10,
∴BC=2OE=20,即BC的长是20.
拓展探究突破练
15.如图,△ABC内接于半圆,AB是直径,过点A作直线MN,∠MAC=∠ABC,D是弧AC的中点,连接BD交AC于点G,过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点F.
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(1)求证:MN是半圆的切线;
(2)作DH⊥BC交BC的延长线于点H,连接CD,试判断线段AE与线段CH的数量关系,并说明理由;
(3)若BC=4,AB=6,试求AE的长.
解:(1)∵AB是直径,∴∠ACB=90°.
∴∠CAB+∠ABC=90°,∵∠MAC=∠ABC.
∴∠CAB+∠MAC=90°,即∠MAB=90°,∴MN是半圆的切线.
(2)AE=CH,理由如下:
连接AD,
∵D是弧AC的中点,
∴,∴AD=CD,∠HBD=∠ABD.
∵DE⊥AB,DH⊥BC,∴DE=DH,且∠AED=∠DHC.
在Rt△ADE和Rt△CDH中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDH(HL),∴AE=CH.
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(3)由(2)知DH=DE,∠DHB=∠DEB=90°,
在△RtDBH和Rt△DBE中,
∴△RtDBH≌Rt△DBE(HL),∴BE=BH.
∴BA-AE=BC+CH,且AE=CH,∴BA-AE=BC+AE.
又∵AB=6,BC=4,∴6-AE=4+AE,∴AE=1.
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