河北省永年县第二中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案.doc

永年二中高一期末考试数学试题 一、选择题 1．某工厂生产 CBA ,, 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为 7:4:3 .现用分层抽样 的方法 抽出容量为 n 的样本，样本中 A 型号产品有15件，那么样本容量 n 为（ ） A．50 B． 60 C． 70 D．80 2．把红、黑、白、蓝 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人, 每个人分得1张, 事件“甲 分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ） A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对 3．已知 sin(π＋α)＝4 5 ，且α是第四象限角，则 cos(α－2π)的值是( ) A．－3 5 B.3 5 C．±3 5 D.4 5 4．若数列 2 ， 5 ， 22 ， 11 ， 14 ，…… ，则 24 是这个数列的第（ ）项 A.8 B.9 C.10 D.11 5．已知 2tan( ) 5    , 1tan( )4 4    , 则 tan( )4   的值为（ ） A． 1 6 B． 22 13 C． 3 22 D． 13 18 6．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5 名评委打的分数用茎叶图表示(如右图)．s1、s2 分别 表示甲、乙选手分数的标准差，则 s1 与 s2 的关系是( ) A．s1＞s2 B．s1＝s2 C．s1＜s2 D．不确定 7． 某研究机构对儿童记忆能力 x 和识图能力 y 进行统计分析，得到如 下数据： 由表中数据，求得线性回归方程为， axy ˆ 5 4ˆ  ,若某儿童的记忆能力为12 时，则他的识 图能力为（ ） A.9.2 B.9.5 C.9.8 D.108．函数 )sin(   xy 的部分图象如图，则 、 可以取的一组值是（ ） A. ,2 4     B. ,3 6     C. ,4 4     D. 5,4 4     9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ） A． 3- B．0 C． 3 D．336 3 10．在 ABC 中，角 CBA 、、 所对的边分别为 cba 、、 ．若 3c ， 3C  ，且 4 ba , 则 ABC 的面积为（ ） A. 7 3 12 B. 7 3 4 C. 7 12 D. 5 3 12 11．设点O 是边长为 1 的正 ABC 的中心（如图所示）， 则 ( ) ( )OA OB OA OC      ＝（ ） A. 1 9 B. 1 9  C. 1 6  D. 1 6 12．已知函数   3sin cosf x x x    0  的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差 为 2  的等差数列，把函数  f x 的图象沿 x 轴向左平移 6  个单位，得到函数  g x 的图象．若 在区间 0, 上随机取一个数 x ，则事件“   3g x  ”发生的概率为( ) A． B． C． D．二、填空题 13．在等差数列 na 中，若 2,2 723  aaa ，则 9a ________. 14．如图，位于 A 处的海面观测站获悉，在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在 A 处 南偏西 30°且相距 20 海里的C 处有一艘救援船，该船接到观 测站通告后立即前往 B 处求助，则sin ACB  ________. 15．用秦九韶算法求多项式 f(x)＝5x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x －0.8 当 x＝5 时的值的过程中 v3＝________. 15．已知菱形 ABCD 边长为 2 ， 3B   ，点 P 满足 AP AB  ， R ．若 3BD CP    ， 则  的值为________. 三、解答题 17．已知平面内三个向量: (3,2), ( 1,2), (4,1).a b c      （Ⅰ）若 ( ) / /(2 )a kc b a     ,求实数 k 的值； （Ⅱ）设 ( , )d x y ,且满足 ( ) ( )a b d c      ,| | 5d c   ，求 d  . 18．在锐角 ABC 中， a b c、 、 分别为角 A B C、 、 所对的边，且 3 2 sina c A ． （1）求角 C ； （2）若 7c  且 ABC 的面积为 3 3 2 ，求 a b 的值． 19．某单位员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组 25,30 ，第 2 组 30,35 , 第3组 35,40 ,第 4 组 40,45 ,第 5组 45,50 ，得到的频率分布直方图如图所示. （1）下表是年龄的频率分布表，求正整数 ,a b 的值；区间  25,30  30,35  35,40  40,45  45,50 人数 50 50 a 150 b （2）现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取 6 人，年龄在第1,2,3组抽取 的员工的人数分别是多少？ （3） 在（2） 的前提下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动，求至少有1人 年龄在第3组的概率. 20．如图，在平面直角坐标系中，锐角 ,  的终边分别与单位圆交于 A B、 两点． （1）如果点 A 的纵坐标为 3 5 ，点 B 的横坐标为 5 13 ，求  cos   ； （2）已知点  2 3, 2 , 2C OA OC    ，求 ． 21．已知函数   22sin cos 2 3cos 3f x x x x    ． （1）求函数  f x 的最小正周期和单调减区间； （2）已知 ABC 的三个内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，其中 7a  ，若锐角 A 满足 ( ) 32 6 Af   ，且 13 3sin sin 14B C  ，求 bc 的值． 22 ． 已 知 函 数    sinf x x    （ 0  ， 0  ， 0 2   ）的部分图象如图， 是图象的最高点，Q 为图象与 x 轴的交点， 为原点，且 Q 2  ， 5 2   ， 13Q 2   ． （I）求函数  y f x 的解析式； （II）将函数  y f x 图象向右平移1个单位后得到函数  y g x 的图象，当  0,2x 时， 求函数      h x f x g x  的最大值．永年二中高一期末考试数学试题 一、选择题 1．某工厂生产 CBA ,, 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为 7:4:3 .现用分层抽样 的方法 抽出容量为 n 的样本，样本中 A 型号产品有15件，那么样本容量 n 为（ ） A ． 50 B ． 60 C ． 70 D．80 【答案】C【解析】根据分层抽样的定义和方法得， n 15 743 3  ，解得 70n . 2．把红、黑、白、蓝 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人, 每个人分得1张, 事件“甲 分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ） A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对 【答案】C【解析】事件“甲分得红牌”是随机事件，“乙分得红牌”是随机事件.因为只有 一张红牌，甲乙均不一定得到，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立 事件，选 C. 3．已知 sin(π＋α)＝4 5 ，且α是第四象限角，则 cos(α－2π)的值是( ) A．－3 5 B.3 5 C．±3 5 D.4 5 解析：选 B sin α＝－4 5 ，又α是第四象限角，∴cos(α－2π)＝cos α＝ 1－sin2α＝3 5. 4．若数列 2 ， 5 ， 22 ， 11 ， 14 ，…… ，则 24 是这个数列的第（ ） 项． A.8 B.9 C.10 D.11 【 答 案 】 D 【 解 析 】 由 数 列 各 项 可 知 数 列 的 通 项 公 式 为 3 1na n  3 1 4 2 11na n n     ，所以 24 是这个数列的第 11 项 5．已知 2tan( ) 5    , 1tan( )4 4    , 则 tan( )4   的值为（ ） A． 1 6 B． 22 13 C． 3 22 D．13 18 【答案】C【解析】 tan( ) tan( ) 34tan( ) tan ( ) ( )4 4 221 tan( ) tan( )4                          . 6．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5 名评委打的分数用茎叶图表示(如右图)．s1、s2 分别表示甲、乙选手分数的标准差，则 s1 与 s2 的关系是( ) A．s1＞s2 B．s1＝s2C．s1＜s2 D．不确定 解析：由茎叶图可知：甲得分为 78,81,84,85,92；乙得分为 76,77,80,94,93.则 x 甲＝84， x 乙 ＝84，则 s1＝ 1 5[78－842＋…＋92－842]＝ 22，同理 s2＝ 62，故 s1＜s2，所以选 C. 7． 某研究机构对儿童记忆能力 x 和识图能力 y 进行统计分析，得到如下数据： 由表中数据，求得线性回归方程为， axy ˆ 5 4ˆ  ,若某儿童的记忆能力为12 时，则他的识 图能力为（ ） A.9.2 B.9.5 C.9.8 D.10 【答案】B【解析】由表中数据计算得 7, 5.5x y  ，将 ( , )x y 即 (7,5.5) 代入 axy ˆ 5 4ˆ  ， 得  1 10a   ，所以回归直线方程为  4 1 5 10y x  ，将 12x  代入得，  9.5y  ， 故选 B． 8．函数 )sin(   xy 的部分图象如图，则 、 可以取的一组值是（ ） A. ,2 4     B. ,3 6     C. ,4 4     D. 5,4 4     【 答 案 】 C 【 解 析 】 由 图 象 有 =2 84 T T ， ， 2 4T     , 当 1, 1x y  ， 所 以 sin( ) 14    ，则 4   . 9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输 出的结果是（ ） A． 3- B．0 C． 3 D．336 3 【答案】B【解析】根据程序框图： 3 30, 1; , 2; 3, 3; 3, 4; , 5;2 2s n s n s n s n s n          30, 6; 0, 7; , 82s n s n s n       所以是以 6 为周期进行循环，又 2016 336 6  ， 2017 336 6 1   ，根据条件输出结果为 0 ．10．在 ABC 中，角 CBA 、、 所对的边分别为 cba 、、 ．若 3c ， 3C  ，且 4 ba , 则 ABC 的面积为（ ） A. 7 3 12 B. 7 3 4 C. 7 12 D. 5 3 12 【 答 案 】 A 【 解 析 】 由 余 弦 定 理 2 2 2 2 cosc a b ab C   得  22 2 19 2 3 16 32a b ab a b ab ab         7 1 7 3sin3 2 12ab S ab C     11．设点O 是边长为 1 的正 ABC 的中心（如图所示），则 ( ) ( )OA OB OA OC      ＝（ ） A. 1 9 B. 1 9  C. 1 6  D. 1 6 【答案】C【解析】由已知的 3 3 1 3 3 2OA OB OA OC OB OC                   1 6   ， ( ) ( )OA OB OA OC      2 1 1 133 6 6OA OA OC OB OC OA OB                       ，选 C. 12．已知函数   3sin cosf x x x    0  的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差 为 2  的等差数列，把函数  f x 的图象沿 x 轴向左平移 6  个单位，得到函数  g x 的图象．若 在区间 0, 上随机取一个数 x ，则事件“   3g x  ”发生的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】C【解析】   3sin cos 2sin( )6f x x x x       ，其图象与 x 轴交点的横坐 标构成一个公差为 2  的等差数列，所以其周期为 , 2   ，   2sin(2 )6f x x   .把 ( )f x 的 图 象 沿 x 轴 向 左 平 移 6  个 单 位 ， 得 到   2sin[2( ) ] 2cos26 6g x x x     ， 使   2cos2 3g x x  ，即 3cos2 2x  ，所以[0, ] 上， 110 2 2 26 6x x     或 ， 即 110 12 12x x     或 ，所以事件“   3g x  ”发生的概率为 11+ - 112 12 = 6    ， 故选 D．二、填空题 13．在等差数列 na 中，若 2,2 723  aaa ，则 9a ________. 【解析】设等差数列的公差为 d ，由 223  aa 得 2d ， 2617  daa ，所以 101 a ，则 61610819  daa . 14．如图，位于 A 处的海面观测站获悉，在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇 险，并在原地等待营救．在 A 处南偏西 30°且相距 20 海里的 C 处有一艘救援船，该船接 到观测站通告后立即前往 B 处求助，则sin ACB  ________. 【 解 析 】 在 ABC 中 ， 040, 20, 120AB AC ABC    ． 由 余 弦 定 理 ， 得 2 2 2 02 cos120 2800BC AB AC AB AC     ，所以 20 7BC  ．由正弦定理，得 21sin sin 7 ABACB BACBC     ． 15．用秦九韶算法求多项式 f(x)＝5x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8 当 x＝5 时的值的过程中 v3＝________. 解析：∵f(x)＝5x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8＝((((5x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－ 0.8，∴v3＝((5x＋2)x＋3.5)x－2.6 将 x＝5 代入得 v3＝((5×5＋2)×5＋3.5)×5－2.6＝689.9 15．已知菱形 ABCD 边长为 2 ， 3B   ，点 P 满足 AP AB  ， R ．若 3BD CP    ， 则  的值为________. 【解析】因为菱形 ABCD 边长为 2 ， 3B   ，所以， 2 2cos 23BA BC      . 所 以 ( ) ( )BD CP BA BC BP BC          ( ) ( ) ( ) [( 1) ]BA BC AP AB BC BA BC AB BC                  2 2(1 ) | | (1 ) | |BA BA BC BA BC BC              (1 ) 4 2 2(1 ) 4 6 3,             故 1 2   ，选 A． 三、解答题 17．已知平面内三个向量: (3,2), ( 1,2), (4,1).a b c      （Ⅰ）若 ( ) / /(2 )a kc b a     ,求实数 k 的值；（Ⅱ）设 ( , )d x y ,且满足 ( ) ( )a b d c      ,| | 5d c   ，求 d  . 解析：（Ⅰ）因为 (3,2) k(4,1) (3 4k,2 k)a kc       ， 2 ( 5,2)b a    ， 又 ( ) / /(2 )a kc b a     ，所以 162(3 4k) 5(2 k) 0 k .13        （Ⅱ）因为 (2,4), ( 4, 1)a b d c x y         ， 所以 2 2 2( 4) 4( 1) 0 6 2 0 2( 4) ( 1) 5 x y x x y yx y                 或 . 故  6,0d  或 2,2 18．在锐角 ABC 中， a b c、 、 分别为角 A B C、 、 所对的边，且 3 2 sina c A ． （1）求角 C ；（2）若 7c  且 ABC 的面积为 3 3 2 ，求 a b 的值． 解析：（1）由 3 2 sinAa c 及正弦定理得， 2sin sin sin3 a A A c C   ， ∵sin 0A  ，∴ 3sin 2C  ，∵ ABC 是锐角三角形，∴ 3C  ． （2）解法 1：∵ 7, 3c C   ，由面积公式得 1 3 3sin2 3 2ab   ，即 6ab  ① 由余弦定理得 2 2 2 cos 73a b ab    ，即 2 2 7a b ab   ， ② 由②变形得 2 25a b  ，故 5a b  解法 2：前同解法 1，联立①、②得 2 2 2 27 13 6 6 a b ab a b ab ab          ， 消 去 b 并 整 理 得 4 213 36 0a a   解 得 2 4a  或 2 9a  ， 所 以 2 3 a b    或 3 2 a b    故 5a b  ． 19．某单位员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组 25,30 ，第 2 组 30,35 , 第3组 35,40 ,第 4 组 40,45 ,第 5组 45,50 ，得到的频率分布直方图如图所示.（1）下表是年龄的频率分布表，求正整数 ,a b 的值； 区间  25,30  30,35  35,40  40,45  45,50 人数 50 50 a 150 b （2）现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取 6 人，年龄在第1,2,3组抽取 的员工的人数分别是多少？ （3） 在（2） 的前提下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动，求至少有1人 年龄在第3组的概率. 解析：（1）由题设可知， 0.08 5 500 200a     ， 0.02 5 500 50b     . （2）因为第1,2,3组共有50 50 200 300   人，利用分层抽样在 300名员工中抽取 6 名 员工，每组抽取人数分别为：第1组的人数为 506 1300   ，第 2 组的人数为 506 1300   ， 第3组的人数为 2006 4300   .所以第1,2,3组分别抽取1人，1人， 4 人. （3） 设第1组的1位员工为 A ，第 2 组的1位员工为 B ，第3组的 4 位员工为 1 2 3 4, , ,C C C C ， 则从六位员工为员工中的两位员工有：                  1 2 3 4 1 2 3 4, , , , , , , , , , , , , , , , ,A B A C A C A C A C B C B C B C B C            1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4, , , , , , , , , , ,C C C C C C C C C C C C 共15 种可能.其中 2 人年龄都不在 第3组的有：  ,A B ，共1种可能.所以至少有1人年龄在第3组的概率为 1 141 15 15   . 20．如图，在平面直角坐标系中，锐角 ,  的终边分别与单位圆交于 A B、 两点． （1）如果点 A 的纵坐标为 3 5 ，点 B 的横坐标为 5 13 ，求  cos   ； （2）已知点  2 3, 2 , 2C OA OC    ，求 ． 解析：（1）∵点 A 的纵坐标为 3 5 ，点 B 的纵坐标为 5 13 ，∴ 3 5sin ,cos5 13    ， ∵ ,  为锐角，∴ 4cos 5   ， 12sin 13   ， ∴   56cos cos cos sin sin 65          ，（2）∵    cos ,sin 2 3, 2 2 3 cos 2sin 4cos 6OA OC                  ， ∴ 4cos 26      ，∴ 1cos 6 2      ，∵ 2,6 6 3         ，∴ 6 3     ，∴ 6   ． 21．已知函数   22sin cos 2 3cos 3f x x x x    ． （1）求函数  f x 的最小正周期和单调减区间； （2）已知 ABC 的三个内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，其中 7a  ，若锐角 A 满足 32 6 Af      ，且 13 3sin sin 14B C  ，求bc 的值． 解析：（1）   22sin cos 2 3cos 3 sin 2 3cos2 2sin 2 3f x x x x x x x            因此  f x 的最小正周期 2 2T    ，因为 32 2 2 ,2 3 2k x k        所以，  f x 的单调减区间为  7, ,12 12x k k k Z         （2）由 2sin 2 = 32 6 2 6 3 A Af                   ， A 为锐角， 3A   由正弦定理可得 7 142 sin 3 3 2 aR A    ， 13 3sin sin 2 14 b cB C R    则 13 3 14 =1314 3 b c   ， 由 余 弦 定 理 可 知 ：  2 22 2 2 2 1cos =2 2 2 b c bc ab c aA bc bc      ，整理得： 40bc  22．已知函数    sinf x x    （ 0  ， 0  ，0 2   ）的部分图象如图， 是图象的最高点，Q 为图象与 x 轴的交点，为原点，且 Q 2  ， 5 2   ，13Q 2   ． （I）求函数  y f x 的解析式； （II）将函数  y f x 图象向右平移1个单位后得到函数  y g x 的图象，当  0,2x 时， 求函数      h x f x g x  的最大值． 解析：（I）由余弦定理得 2 2 2 Q Q 1cos Q 52 Q                ，  2sin Q 5   ，得 点坐标为 1 ,12      ． 1  ， 2 14 2 62         ， 3   由 1 sin 12 6f              ， 0 2   得 3   ．   sin 3 3f x x      ． （ II ）   sin 3g x x ，       21 3sin sin sin sin cos3 3 3 2 3 2 3 3h x f x g x x x x x x              21 cos 3 2 1 2 13 sin sin4 4 3 2 3 6 4 x x x             ． 当  0,2x 时， 2 7,3 6 6 6x         ，当 2 3 6 2x    ，即 1x  时  max 3 4h x  ．