等腰三角形测试题
时间：90分钟 总分： 100
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 如图，在▱ABCD中，，，的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为
A. 3
B.
C. 2
D.
2. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，于H，连接OH，，则的度数是
A. B. C. D.
3. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于
A. 或 B. C. D. 或
4. 已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是
A. 18cm B. 21cm C. 18cm或21cm D. 无法确定
5. 如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为，则的度数是
A. B. C. D.
6. 如果一个等腰三角形的一个角为，则这个三角形的顶角为
A. B. C. D. 或
7. 如图，中，，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则的周长是
A. 6
B. 8
C. 10
D. 无法确定
8. 已知a、b、c是的三条边，且满足，则是
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
9. 如图，下列条件不能推出是等腰三角形的是
15
A.
B. ，
C. ，
D. ，
1. 如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，，过点E作，分别交BD，CD于G，F两点若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为
A. 3
B.
C.
D. 4
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
2. 如图，在中，，，，AD平分，交BC于点D，于E，则 ______ ．
3. 如图，，OC平分，如果射线OA上的点E满足是等腰三角形，那么的度数为______．
4. 如图，在中，，，，点P从点B开始以的速度向点C移动，当要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为______．
5. 平行四边形ABCD中，的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为______cm．
6. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为______．
7. 如图，等腰中，，AD是底边上的高，若，，则______cm．
8. 如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为______．
9. 如图，中，点D在边BC上，若，，则______度
15
1. 如图，在中，，AB的垂直平分线MN交AC于D点若BD平分，则______
2. 如图，在中，，，D是AB的中点，过点D作于点E，则DE的长是______．
三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
3. 如图，中，，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且，
求证：≌；
若，求的度数．
4. 如图，在中，，E在CA延长线上，，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由．
5. 如图，在▱ABCD中，AE平分交DC于点E，，，求EC的长．
15
1. 在中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．
求证：≌；
若，求度数．
四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
2. 如图1，在中，于E，，D是AE上的一点，且，连接BD，CD．
试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
如图3，若将中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．
试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论；
你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
15
1. 如图，中，，，于点E，于点D，BE与AD相交于F．
求证：；
若，求AF的长．
15
答案和解析
【答案】
1. C 2. A 3. D 4. C 5. B 6. D 7. C
8. C 9. C 10. C
11. 3
12. 或或
13. 或6s
14. 32或34
15. 8
16. 4
17. 17
18. 20
19. 36
20.
21. 证明：，，
．
，
．
又，
≌．
解：≌
．
所以是等腰三角形．
又，中，，
，
已知
．
22. 解：，理由为：
证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
则EF与BC的位置关系是垂直．
23. 解：在平行四边形ABCD中，则，
，
又AE
15
平分，即，
，即，
又，，
．
故EC的长为3cm．
24. 证明：，
，
在和中，
，
≌；
，，
，
，
，
≌，
，
．
25. 解：，，
理由是：延长BD交AC于F．
，
，
在和中
≌，
，，
，
，
，
，
，
；
不发生变化．
理由：，
，
，
在和中
≌
15
，
，，
，
，
，
，
，
；
能．
和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中
≌，
，
，即BD与AC所成的角的度数为或
26. 解：，，
，
，，，
，
在和中，
，
≌，
；
连接CF，
≌，
，
是等腰直角三角形．
，，
，，
，BE是AC的垂直平分线．
，
．
【解析】
1. 【分析】
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质能证得是等腰三角形是解此题的关键由平行四边形ABCD中，CE平分，可证得是等腰三角形，继而利用，求得答案．
【解答】
解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
；
故选C．
2. 【分析】
此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质注意证得是等腰三角形是关键由四边形ABCD
15
是菱形，可得，，又由，，可求得的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得是等腰三角形，继而求得的度数，然后求得的度数．
【解答】
解：四边形ABCD是菱形，
，，
，
，
，
，
，
．
故选A．
3. 解：当为锐角三角形时可以画图，
高与右边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为；
当为钝角三角形时可画图，
此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，三角形的顶角为．
故选D．
首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解答此题时考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
4. 解：当腰是5cm时，三角形的三边是：5cm，5cm，8cm，能构成三角形，
则等腰三角形的周长；
当腰是8cm时，三角形的三边是：5cm，8cm，8cm，能构成三角形，
则等腰三角形的周长．
因此这个等腰三角形的周长为18或21cm．
故选：C．
题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5. 解：是绕点O顺时针旋转后得到的图形，
，，
，
，
，
由三角形的外角性质得，．
故选B．
根据旋转的性质可得，，再求出，，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
15
6. 解：当角是顶角时，顶角；
当角是底角时，顶角；
故选D．
题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析，从而求解．
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
7. 解：是AC的垂直平分线，，
的周长
故选C．
垂直平分线可确定两条边相等，然后再利用线段之间的转化进行求解．
本题主要考查垂直平分线性质和等腰三角形的知识点，熟练掌握等腰三角形的性质．
8. 解：已知等式变形得：，即，
，
，即，
则为等腰三角形．
故选：C．
已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到，即可确定出三角形形状．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9. 解：
由可得，则为等腰三角形，故A可以；
由且，可得≌，则可得，即为等腰三角形，故B可以；
由，，无法求得或，故C不可以；
由，，可得AD为线段BC的垂直平分线，可得，故D可以；
故选C．
根据等腰三角形的判定逐项判断即可．
本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键．
10. 解：解法一：如图1，过M作于K，过N作于P，过M作于H，
则，
，
四边形MHPK是矩形，
，，
，N是EC的中点，
，，
，，
同理得：，
四边形ABCD为正方形，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
在中，由勾股定理得：；
解法二：如图2，连接FM、EM、CM，
四边形ABCD为正方形，
，，
15
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
是DG的中点，
，，
，
≌，
，
过M作于H，
由勾股定理得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是EC的中点，
；
故选C．
方法三：连EM，延长EM于H，使，连DH，CH，可证≌HDM，再证≌，利用中位线可证．
故选：C．
解法一：作辅助线，构建矩形MHPK和直角三角形NMH，利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得：，，，利用勾股定理可得MN的长；
解法二：作辅助线，构建全等三角形，证明≌，则，利用勾股定理得：，，可得是等腰直角三角形，分别求的长，利用勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长．
本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理，属于基础题，本题的关键是证明是直角三角形．
11. 解：延长CE交AB于F，
，
，
平分，
，
在与中，
，
≌
15
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：3．
延长CE交AB于F，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到，，，求得，由三角形的外角的性质得到，等量代换得到，得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
12.
解：，OC平分，
，
当E在时，，
，
；
当E在点时，，
则；
当E在时，，
则；
故答案为：或或．
求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．
13. 解：当时，点P与点C重合，如图1所示，
过点A作于点D，
，，
，
，即运动的时间6s；
当时，
，
，
运动的时间
故答案为：或6s．
由于等腰三角形的另一腰不确定，故应分与两种情况进行讨论．
本题考查的是等腰三角形的判定，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．
14. 解：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，
平分，
15
，
，
，
当时，，
平行四边形ABCD的周长是；
当时，，
平行四边形ABCD的周长是；
故答案为：32或34．
由平行四边形ABCD推出，由已知得到，推出，分两种情况当时，求出AB的长；当时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出用的数学思想是分类讨论思想．
15. 解：连接AD交EF与点，连结AM．
是等腰三角形，点D是BC边的中点，
，
，解得，
是线段AB的垂直平分线，
．
．
当点M位于点处时，有最小值，最小值6．
的周长的最小值为．
连接AD交EF与点，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16. 【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理关键要熟知等腰三角形的三线合一可得先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．
【解答】
解：根据等腰三角形的三线合一可得：，在直角中，
由勾股定理得：，
所以，．
故答案为4．
17. 解：若3为腰长，7为底边长，
由于，则三角形不存在；
若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故答案为：17．
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7
15
，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
18. 解：若，，
，
又在等腰三角形ADC中，是三角形ADC的外角，
，
又，
，
故答案为：20．
根据题意可知的度数，然后再利用是三角形ADC的一个外角即可求得答案．
本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，以及三角形的内角和为的知识点，此题难度不大．
19. 解：，
，
的垂直平分线MN交AC于D点．
，
平分，
，
，
设为x，
可得：，
解得：，
故答案为：36
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，然后表示出，再根据等腰三角形两底角相等可得，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
20. 解：过A作于F，连接CD．
中，，，
．
在中，由勾股定理，得，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过A作BC的垂线，由勾股定理易求得此垂线的长，即可求出的面积；连接CD，由于，则、等底同高，它们的面积相等，由此可得到的面积；进而可根据的面积求出DE的长．
此题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的求法等知识的综合应用能力．
21. 由已知已知，，，可证≌；
由可得，即是等腰三角形，又由，中，，可求出，即，从而求出的度数．
本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的外角与内角的关系及全等三角形的判定及性质；证得三角形全等是正确解答本题的关键．
15
22. EF与BC垂直，理由为：由三角形ABC为等腰三角形且AD为底边上的高，利用三线合一得到AD为角平分线，再由，利用等边对等角得到一对角相等，利用外角性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到EF与AD平行，进而确定出EF与BC垂直．
此题考查了等腰三角形的性质，外角性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
23. 本题主要考查了平行四边形的性质及角平分线的性质，应熟练掌握在平行四边形中，由于AE平分，所以不难得出，进而由AD及AB的长代入数据求解即可．
24. 根据HL证明≌；
因为是等腰直角三角形，所以，得，由中的全等得：，从而得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质和直角三角形全等的性质和判定，知道等腰直角三角形的两个锐角是，除了熟知三角形一般的全等判定方法外，还要掌握直角三角形的全等判定HL：即有一直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等．
25. 延长BD交AC于F，求出，证出≌，推出，，根据推出，求出即可；
求出，证出≌，推出，，根据求出，求出即可；
求出，证出≌，推出，根据三角形内角和定理求出即可
本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力．
26. 根据等腰三角形腰长相等性质可得，即可求证≌，即可解题；
连接CF，根据全等三角形的性质得到，得到是等腰直角三角形推出，BE是AC的垂直平分线于是得到结论．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质，本题中求证≌是解题的关键．
15
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