重庆市南开中学高2017级高二（下）
数学（理科）期末考试
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
1、集合，则（ ）
A、 B、 C、 D、
2、若命题，则为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知，若，则（ ）
A、0.9 B、0.8 C、0.7 D、0.6
4、已知，则下列不等式一定成立的（ ）
A、 B、 C、 D、
5、某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格。后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：
一个月内每天做题数
5
8
6
4
7
数学月考成绩
82
87
84
81
86
根据上表得到回归直线方程，若该同学数学想达到90分，则估计他每天至少要做的数学题数为（ ）
A、8 B、9 C、10 D、11
6、巧克力很甜、很好吃，数学很妙、很有趣，某中学统计了部分同学“爱吃巧克力”与“数学成绩好”的关系，得到下表：
爱吃巧克力
不爱吃巧克力
合计
数学成绩好
25
15
40
数学成绩一般
25
35
60
合计
50
50
100
经计算得，由此可以判断（ ）
参考数据：
0.1
0.05
0.025
0.01
2.706
3.841
5.024
6.635
A、至少有99%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”有关
B、至少有95%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”有关
C、至少有99%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”无关
D、至少有95%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”无关
7、若的展开式的常数项为16，则实数（ ）
A、 B、1 C、2 D、或1
8、已知为等边三角形，在内随机取一点，则为钝角三角形的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
9、若函数在上既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A、 B、 C、 D、
10、定义“三角恋写法”为“三个人之间写信，每人给另外两人之一写一封信，且任意两个人不会彼此给对方写信”，若五个人中的每个人都恰好给其余四人中的某一个人写了一封信，则不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为（ ）
A、704 B、864 C、1004 D、1014
11、设抛物线的焦点为，其准线与轴交点为，过点作直线与抛物线交于点，若，则（ ）
A、2 B、4 C、6 D、8
12、已知函数，若对任意，恒有发，则实数的取值范围为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13、某次测验有3个选择题，每个题有共4个选项，某考生对每个题都有随机选一个选项作为答案，则他第一题不选，且3个题的选项互不相同的概率为 。
14、设，若关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是 。
15、已知集合，则实数的取值范围是 。
16、若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、已知，设命题，命题当，函数
恒成立。
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）若或为真命题，且是假命题，求的取值范围。
18、今年NBA总决赛在勇士和骑士队之间进行。按照规则，要想获得总冠军的队伍需要在七场比赛中获胜四场（如果提前赢得比赛，则剩下的就不用继续；同时要注意的是，篮球比赛没有平局，每场必须分出胜负）。假设勇士队每场比赛获胜的概率是，且各场比赛获胜与否彼此独立，用表示勇士队在整个比赛中的获胜场数，试回答以下问题：
（1）计算勇士队至少获胜一场的概率；
（2）求的分布列与数学期望。
19、如图所示，正四棱柱的底面边长为1，，的中点，连结。
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的余弦值。
20、已知椭圆的长轴长为，右焦点为，且成等差数列。
（1）求椭圆的方程；
（2）过点分别作直线，直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，
且，求四边形面积的最小值。
21、（1）已知，，证明：；
（2）设，证明：。
请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22、如图，四边形是圆内接四边形，。延长到使，连结。
（1）求证：；
（2）若，求的值。
23、在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线的极坐标方程为：（其中，），是曲线上的两个动点，且。
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）求的最大值。
24、已知函数。
（1）若，解不等式：；
（2）若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围。
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