哈尔滨市第六中学2015—2016学年度下学期期末考试
高二（理科）数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ，则（ ）
2.的值是（ ）
3.下列命题错误的是（ ）
命题“若，则”的逆否命题为 “若，则”
若为假命题，则均为假命题
对于命题,使得，则为：，均有
“”是“”的充分不必要条件
4.在中，内角的对边分别为，若，则这样的三角形有（ ）
个 两个 一个 至多一个
5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
6.函数的最小值等于（ ）
7.已知命题函数的图象恒过定点；命题函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是（ ）
8.为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
向左平移个长度单位 向右平移个长度单位
向左平移个长度单位 向右平移个长度单位
9.已知函数，则函数的所有零点之和是（ ）
10.已知定义在上的奇函数满足，且，则的值是（ ）
11.已知函数和函数在区间上的图象交于、、三点，则的面积是（ ）
12.已知函数，其中，若对任意非零实数，存在唯一实数，使得成立，则实数的最小值为 ( )
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知分别是的三个内角所对的边，若，
则 ________.
14.已知，则_______________．
15.已知函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围是 ．
16.，，若方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是_________.
三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(满分10分) 已知函数
（1）解不等式；
（2）若存实数使得，求实数的取值范围.
18．(满分12分)已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，
正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若点是曲线上的动点，求到直线距离的最小值，并求出此时点坐标．
19. (满分12分)设的内角A，B，C的对边分别为. 已知.
（1）求角的大小；
（2）当时，求面积的最大值，并指出面积最大时的形状.
20. (满分12分)已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）若的一个零点，求的值.
21．(满分12分)已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式在区间，内恒成立，求实数的取值范围。
22. (满分12分)已知函数．
（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
（2）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值
是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）当时，证明：．
高二理科数学答案
ACBBB CDABD CD
17.(1）或或
解得或,解集为. ----------------5分
（2）
，，所以只需满足.---------10分
18.1）由得，所以直线的极坐标方程为
即，即
因为,
即曲线的直角坐标方程为 ---------------6分
（2）设，则,所以到直线的距离
所以当时，，此时，
所以当点为时，到直线的距离最小，最小值为---------------12分
19.（1）由，得
又
，
，又，
， --------------6分
（2）解法一：由余弦定理得
，，即
当且仅当时，“=”成立
△ABC面积的最大值为，此时△ABC为等腰三角形. ------------12分
解法二：
，
由正弦定理，
当，即时，
△ABC面积的最大值为，此时△ABC为等腰三角形.
20.（Ⅰ）
，所以的最小正周期为，
因为
函数的单调递增区间是； --------------6分
（Ⅱ），
，
，
. -------------12分
21.（1），故其定义域为，令，得，
令，得
故函数的单调递增区间为单调递减区间为.--------------6分
（2）令又令解得，当在内变化时，变化如下表
由表知，当时函数有最大值，且最大值为，所以.------------12分
22.（1）在上恒成立，
令，有得，得． ----------4分
（2）假设存在实数，使有最小值3，
①当时，在上单调递减，（舍去），
②当时，在上单调递减，在上单调递增
∴，满足条件．
③当时，在上单调递减，（舍去），
综上，存在实数，使得当时有最小值3． -----------8分
（3）令，由（2）知，．令，
当时，，在上单调递增
∴,
即 ------------12分
微信/支付宝扫码支付