人教版八年级上册《11.3多边形的内角和与外角和》同步测试（含答案解析）.docx

多边形的内角和与外角和 时间：60分钟 总分: 100‎ 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）‎ 1. 如图，把‎△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则‎∠A与‎∠1+∠2‎之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是‎(‎　　‎)‎ ‎ A. ‎∠A=∠1+∠2‎ B. ‎3∠A=2∠1+∠2‎ C. ‎2∠A=∠1+∠2‎ D. ‎‎3∠A=2(∠1+∠2)‎ 2. 正n边形的内角和等于‎1080‎‎∘‎，则n的值为‎(‎　　‎‎)‎ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ 3. 如图，在‎△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，若‎∠A=‎‎50‎‎∘‎，则‎∠BPC等于‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎90‎‎∘‎ B. ‎130‎‎∘‎ C. ‎270‎‎∘‎ D. ‎315‎‎∘‎ ‎ 4. 如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转‎24‎‎∘‎，再沿直线前进10米，又向左转‎24‎‎∘‎，‎…‎，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是‎(‎　　‎‎)‎ A. 140米 B. 150米 C. 160米 D. 240米 5. 如图，已知‎△ABC为直角三角形，‎∠C=‎‎90‎‎∘‎，若沿图中虚线剪去‎∠C，则‎∠1+∠2=(‎　　‎‎)‎ A. ‎90‎‎∘‎ B. ‎135‎‎∘‎ C. ‎270‎‎∘‎ D. ‎315‎‎∘‎ ‎ 6. 正多边形的一个内角是‎150‎‎∘‎，则这个正多边形的边数为‎(‎　　‎‎)‎ A. 10 B. 11 C. 12 D. 13‎ 7. 已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是‎(‎　　‎‎)‎ A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形 8. 若正多边形的一个外角是‎40‎‎∘‎，则这个正多边形是‎(‎　　‎‎)‎ A. 正七边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形 9. 已知一个多边形的内角和与外角和的比是9：2，则这个多边形的边数是‎(‎　　‎‎)‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12‎ 第9页，共10页 1. 如图，在五边形ABCDE中，‎∠A+∠B+∠E=α，DP、CP分别平分‎∠EDC、‎∠BCD，则‎∠P的度数是‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎1‎‎2‎α-‎‎90‎‎∘‎ B. ‎90‎‎∘‎‎+‎1‎‎2‎α C. ‎1‎‎2‎α D. ‎540‎‎∘‎‎-‎1‎‎2‎α ‎ 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）‎ 2. 两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则‎∠AOB等于______度‎.‎ 3. 若正多边形的每一个内角为‎135‎‎∘‎，则这个正多边形的边数是______．‎ 4. 一个正多边形的一个外角为‎30‎‎∘‎，则它的内角和为______．‎ 5. 一个n边形的内角和是‎1260‎‎∘‎，那么n=‎______．‎ 6. 一个多边形的内角和是它外角和的8倍，则这个多边形是______ 边形．‎ 7. 下图中x的值为_______________． ‎ 8. 把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若‎∠1=‎‎52‎‎∘‎，‎∠2=‎‎18‎‎∘‎，则‎∠3=‎______． ‎ 9. 若一个多边形的边数为6，则这个多边形的内角和为______ 度‎.‎ 三、计算题（本大题共5小题，共30.0分）‎ 10. 平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，若CE=2‎，DF=1‎，‎∠EBF=‎‎60‎‎∘‎，求平行四边形ABCD的面积． ‎ ‎ ‎ 第9页，共10页 ‎ ‎ 1. 已知：如图，AB//CD，求图形中的x的值． ‎ ‎ ‎ 2. 已知：多边形的内角和与外角和的比是7：2，求这个多边形的边数． ‎ 3. 小华从点A出发向前走10m，向右转‎36‎‎∘‎然后继续向前走10m，再向右转‎36‎‎∘‎，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回到点A时共走多少米？若不能，写出理由． ‎ 4. 如图，小东在足球场的中间位置，从A点出发，每走6m向左转‎60‎‎∘‎，已知AB=BC=6m． ‎(1)‎小东是否能走回A点，若能回到A点，则需走几m，走过的路径是一个什么图形？为什么？‎(‎路径A到B到C到‎…)‎ ‎(2)‎求出这个图形的内角和． ‎ ‎ ‎ 第9页，共10页 ‎ ‎ 四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）‎ 1. 如图1是一个五角星 ‎(1)‎计算：‎∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． ‎(2)‎当BE向上移动，过点A时，如图2，五个角的和‎(‎即‎∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)‎有无变化？说明你的理由． ‎ 2. 如图，将一个多边形按图所示减掉一个角，所得多边形的内角和为‎1800‎‎∘‎，求原多边形的边数． ‎ ‎ ‎ 第9页，共10页 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. C 2. B 3. B 4. B 5. C 6. C 7. C 8. C 9. C 10. A ‎ ‎11. 108  ‎ ‎12. 8  ‎ ‎13. ‎1800‎‎∘‎  ‎ ‎14. 9  ‎ ‎15. 十八  ‎ ‎16. ‎130‎‎∘‎  ‎ ‎17. ‎42‎‎∘‎  ‎ ‎18. 720  ‎ ‎19. 解：‎∵BE⊥CD，BF⊥AD， ‎∴∠BEC=∠BFD=‎‎90‎‎∘‎， ‎∵∠EBF=‎‎60‎‎∘‎， ‎∵∠D+∠BED+∠BFD+∠EBF=‎‎360‎‎∘‎， ‎∴∠D=‎‎120‎‎∘‎， ‎∵‎平行四边形ABCD， ‎∴DC//AB，AD//BC，‎∠A=∠C ‎∴∠A=∠C=‎180‎‎∘‎-‎120‎‎∘‎=‎‎60‎‎∘‎， ‎∴∠ABF=∠EBC=‎‎30‎‎∘‎， ‎∴AD=BC=2EC=4‎ 在‎△BEC中由勾股定理得：BE=2‎‎3‎， 在‎△ABF中AF=4-1=3‎， ‎∵∠ABF=30‎， ‎∴AB=6‎， ‎∴‎平行四边形ABCD的面积是AB⋅BE=6×2‎3‎=12‎‎3‎．  ‎ ‎20. 解：‎∵AB//CD，‎∠C=‎‎60‎‎∘‎， ‎∴∠B=‎180‎‎∘‎-‎60‎‎∘‎=‎‎120‎‎∘‎， ‎∴(5-2)×‎180‎‎∘‎=x+‎150‎‎∘‎+‎125‎‎∘‎+‎60‎‎∘‎+‎‎120‎‎∘‎， ‎∴x=‎‎85‎‎∘‎．  ‎ ‎21. 解：设这个多边形的边数为n， 则有‎(n-2)‎‎180‎‎∘‎‎360‎‎∘‎‎=‎‎7‎‎2‎， 解得：n=9‎． ‎∴‎这个多边形的边数为9．  ‎ ‎22. 解：根据题意可知，‎360‎‎∘‎‎÷‎36‎‎∘‎=10‎， 所以他需要转10次才会回到起点， 它需要经过‎10×10=100m才能回到原地． 所以小华能回到点A.‎当他走回到点A时，共走100m．  ‎ ‎23. 解：‎(1)∵‎从A点出发，每走6m向左转‎60‎‎∘‎， ‎∴‎360‎‎∘‎÷‎60‎‎∘‎=6‎， ‎∴‎走过的路径是一个边长为6的正六边形； ‎(2)‎正六边形的内角和为：‎(6-2)×‎180‎‎∘‎=‎‎720‎‎∘‎．  ‎ 第9页，共10页 ‎24. 解：‎(1)AC与BE相交于点H，AD与BE相交于点G， 如图，‎∵∠AHG是‎△HCE的外角， ‎∴∠AHG=∠C+∠E， ‎∵∠AGH是‎△GBD的外角， ‎∴∠AGH=∠B+∠D， ‎∵∠A+∠AHG+∠AGH=180‎， ‎∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=‎‎180‎‎∘‎； ‎(2)‎不变，‎∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=‎‎180‎‎∘‎． 理由：由三角形的外角性质，知‎∠BAC=∠E+∠ACE，‎∠EAD=∠B+∠D， ‎∴∠C+∠E+∠CAD+∠B+∠D=‎‎180‎‎∘‎， 即‎∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=‎‎180‎‎∘‎．  ‎ ‎25. 解：设多边形截去一个角的边数为n，则 ‎(n-2)⋅‎180‎‎∘‎=‎‎1800‎‎∘‎， 解得n=12‎， ‎∵‎截去一个角后，边数增加1， ‎∴‎原来多边形的边数是11．  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 解：由题意可知：‎∠AED+∠ADE=‎180‎‎∘‎-∠A， ‎∠B+∠C=‎180‎‎∘‎-∠A ‎∵∠AED+∠ADE+∠1+∠2+∠B+∠C=‎‎360‎‎∘‎， ‎∴‎360‎‎∘‎-2∠A+∠1+∠2=‎‎360‎‎∘‎， ‎∴2∠A=∠1+∠2‎， 故选‎(C)‎ 根据三角形的内角和定理，以及四边形的内角和定理即可求出答案． 本题考查三角形的定理，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，本题属于中等题型．‎ ‎2. 【分析】‎ 考查了多边形内角和定理，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决． n边形的内角和是‎(n-2)⋅‎‎180‎‎∘‎，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【解答】 解：由题意可得： ‎(n-2)×‎180‎‎∘‎=‎‎1080‎‎∘‎， 解得n=8‎． 故选B． ‎ ‎3. 【分析】 本题主要考查垂线的性质，余角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质的知识点，关键在于根据相关的定理推出‎∠ACD和‎∠CEP的度数‎.‎由‎∠A=‎‎50‎‎∘‎，高线CD，即可推出‎∠ACD=‎‎40‎‎∘‎，然后由‎∠BPC为‎△CPE的外角，根据外角的性质即可推出结果． 【解答】‎ 解：‎∵∠A=‎‎50‎‎∘‎，CD⊥AB， ‎∴∠ACD=‎‎40‎‎∘‎ ‎∵BE⊥AC， ‎∴∠CEP=‎‎90‎‎∘‎， ‎∵∠BPC为‎△CPE 第9页，共10页 的外角， ‎∴∠BPC=∠ACD+∠CEP=‎‎130‎‎∘‎． 故选B． ‎ ‎4. 解：‎∵‎多边形的外角和为‎360‎‎∘‎，而每一个外角为‎24‎‎∘‎， ‎∴‎多边形的边数为‎360‎‎∘‎‎÷‎24‎‎∘‎=15‎， ‎∴‎小华一共走了：‎15×10=150‎米． 故选B． 多边形的外角和为‎360‎‎∘‎每一个外角都为‎24‎‎∘‎，依此可求边数，再求多边形的周长． 本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和‎.‎关键是根据多边形的外角和及每一个外角都为‎24‎‎∘‎求边数．‎ ‎5. 解：‎∵∠C=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴∠A+∠B=‎‎90‎‎∘‎． ‎∵∠A+∠B+∠1+∠2=‎‎360‎‎∘‎， ‎∴∠1+∠2=‎360‎‎∘‎-‎90‎‎∘‎=‎‎270‎‎∘‎． 故选：C． 先根据直角三角形的性质求得两个锐角和是90度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得‎∠1+∠2‎的值． 本题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和定理‎.‎知道剪去直角三角形的这个直角后得到一个四边形，根据四边形的内角和定理求解是解题的关键．‎ ‎6. 解：外角是：‎180‎‎∘‎‎-‎150‎‎∘‎=‎‎30‎‎∘‎， ‎360‎‎∘‎‎÷‎30‎‎∘‎=12‎． 则这个正多边形是正十二边形． 故选：C． 一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数‎.‎根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数． 考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．‎ ‎7. 解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为‎(n-2)×‎‎180‎‎∘‎， 依题意得‎(n-2)×‎180‎‎∘‎=‎360‎‎∘‎×4‎， 解得n=10‎， ‎∴‎这个多边形的边数是10． 故选：C． 先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为‎(n-2)×‎‎180‎‎∘‎，根据多边形的内角和是外角和的4倍，列方程求解． 本题主要考查了多边形内角和定理与外角和定理，多边形内角和‎=(n-2)⋅180(n≥3‎且n为整数‎)‎，而多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和始终为‎360‎‎∘‎．‎ ‎8. 解：多边形的每个外角相等，且其和为‎360‎‎∘‎， 据此可得‎360‎‎∘‎‎÷n=40‎， 解得n=9‎． 故选：C． 利用任意凸多边形的外角和均为‎360‎‎∘‎，正多边形的每个外角相等即可求出答案． 本题考查了正多边形外角和的知识，解题时注意：正多边形的每个外角相等，且其和为‎360‎‎∘‎．‎ 第9页，共10页 ‎9. 解：设这个多边形的边数是n，由题意得 ‎(n-2)×‎‎180‎‎∘‎：‎360‎‎∘‎‎=9‎：2． 解得n=11‎， 故选：C． 根据多边形的内角和公式，多边形的外角和，可得方程，根据解方程，可得答案． 本题考查了多边形的内角与外角，利用了多边形的内角和公式：‎(n-2)‎‎180‎‎∘‎，外角和是360．‎ ‎10. 解：‎∵‎五边形的内角和等于‎540‎‎∘‎，‎∠A+∠B+∠E=α， ‎∴∠BCD+∠CDE=‎540‎‎∘‎-α， ‎∵∠BCD、‎∠CDE的平分线在五边形内相交于点O， ‎∴∠PDC+∠PCD=‎1‎‎2‎(∠BCD+∠CDE)=‎270‎‎∘‎-‎1‎‎2‎α， ‎∴∠P=‎180‎‎∘‎-(‎270‎‎∘‎-‎1‎‎2‎α)=‎1‎‎2‎α-‎‎90‎‎∘‎． 故选：A． 根据五边形的内角和等于‎540‎‎∘‎，由‎∠A+∠B+∠E=α，可求‎∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得‎∠PDC与‎∠PCD的角度和，进一步求得‎∠P的度数． 本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键‎.‎注意整体思想的运用．‎ ‎11. 解：如图， 由正五边形的内角和，得‎∠1=∠2=∠3=∠4=‎‎108‎‎∘‎， ‎∠5=∠6=‎180‎‎∘‎-‎108‎‎∘‎=‎‎72‎‎∘‎， ‎∠7=‎180‎‎∘‎-‎72‎‎∘‎-‎72‎‎∘‎=‎‎36‎‎∘‎． ‎∠AOB=‎360‎‎∘‎-‎108‎‎∘‎-‎108‎‎∘‎-‎36‎‎∘‎=‎‎108‎‎∘‎， 故答案为：108． 根据多边形的内角和，可得‎∠1‎，‎∠2‎，‎∠3‎，‎∠4‎，根据等腰三角形的内角和，可得‎∠7‎，根据角的和差，可得答案． 本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．‎ ‎12. 解：‎∵‎所有内角都是‎135‎‎∘‎， ‎∴‎每一个外角的度数是‎180‎‎∘‎‎-‎135‎‎∘‎=‎‎45‎‎∘‎， ‎∵‎多边形的外角和为‎360‎‎∘‎， ‎∴‎360‎‎∘‎÷‎45‎‎∘‎=8‎， 即这个多边形是八边形． 故答案为：8． 先求出每一外角的度数是‎45‎‎∘‎，然后用多边形的外角和为‎360‎‎∘‎‎÷‎‎45‎‎∘‎进行计算即可得解． 本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一．‎ ‎13. 解：这个正多边形的边数为‎360‎‎∘‎‎30‎‎∘‎‎=12‎， 所以这个正多边形的内角和为‎(12-2)×‎180‎‎∘‎=‎‎1800‎‎∘‎． 故答案为‎1800‎‎∘‎． 先利用多边形的外角和等于360度计算出多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式计算． 本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理为‎(n-2)⋅180(n≥3)‎且n为整数‎)‎；多边形的外角和等于360度．‎ 第9页，共10页 ‎14. 解：由题意得：‎(n-2)×180=1260‎， 解得：n=9‎， 故答案为：9． 根据多边形的内角和公式：‎(n-2).180(n≥3)‎且n为整数‎)‎可得方程：‎(n-2)×180=1260‎，再解方程即可． 此题主要考查了多边形的内角和公式，关键是掌握内角和公式．‎ ‎15. 解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得， ‎(n-2)⋅‎180‎‎∘‎=8×‎‎360‎‎∘‎， n-2=16‎， n=18‎． 故答案是：十八． 根据多边形的外角和是360度，即可求得多边形的内角的度数，然后利用多边形的内角和定理即可求解． 本题主要考查了多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．‎ ‎16. 【分析】‎ 本题考查的是多边形的内角和定理有关知识，先计算出该五边形的内角和，然后再进行解答即可．‎ ‎【解答】‎ 解：该五边形的内角和为‎5-1‎‎×‎180‎‎∘‎=‎‎720‎‎∘‎，‎ ‎∴x+‎80‎‎∘‎+x-‎20‎‎∘‎+‎90‎‎∘‎+x=‎‎720‎‎∘‎‎，‎ 解得：x=‎‎130‎‎∘‎．‎ 故答案为‎130‎‎∘‎．‎ ‎17. 解：等边三角形的内角的度数是‎60‎‎∘‎，正方形的内角度数是‎90‎‎∘‎，正五边形的内角的度数是：‎1‎‎5‎‎(5-2)×‎180‎‎∘‎=‎‎108‎‎∘‎， 则‎∠3=‎360‎‎∘‎-‎60‎‎∘‎-‎90‎‎∘‎-‎108‎‎∘‎-∠1-∠2=‎‎42‎‎∘‎． 故答案是：‎42‎‎∘‎． 利用‎360‎‎∘‎减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去‎∠1‎和‎∠2‎即可求得． 本题考查了多边形的外角和定理，正确理解‎∠3‎等于‎360‎‎∘‎减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去‎∠1‎和‎∠2‎是关键．‎ ‎18. 解：根据题意得，‎(6-2)·‎180‎‎∘‎=‎‎720‎‎∘‎， 故答案为：720． 根据多边形的内角和公式求解即可． 此题主要考查了多边形的内角和公式，解本题的关键是熟记多边形的内角和公式．‎ ‎19. 本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，勾股定理，含‎30‎‎∘‎角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是综合运用性质求出BE和AB的长‎.‎根据四边形的内角和等于‎360‎‎∘‎，求出‎∠D=‎‎120‎‎∘‎，根据平行四边形的性质得到‎∠A=∠C=‎‎60‎‎∘‎，进一步求出‎∠ABF=∠EBC=‎‎30‎‎∘‎，根据CE=2‎，DF=1‎，求出BC、AB的长，根据勾股定理求出BE的长，根据平行四边形的面积公式即可求出答案．‎ 第9页，共10页 ‎20. 根据平行线的性质先求‎∠B的度数，再根据五边形的内角和公式求x的值． 本题主要考查了平行线的性质和多边形的内角和，属于基础题．‎ ‎21. 本题由题意得出等量关系即多边形的内角和与外角和的比是7：2，列出方程解出即可． 本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，解题的根据是已知等量关系列出方程从而解决问题．‎ ‎22. 他要想回到原点需要走成正多边形，根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，从而求出路程． 本题主要考查了多边形的外角和定理． 任何一个多边形的外角和都是‎360‎‎∘‎．‎ ‎23. ‎(1)‎利用外角和为‎360‎‎∘‎计算出多边形的边数即可； ‎(2)‎利用内角和公式直接计算即可． 本题考查了多边形的内角和外角，解题的关键是了解正六边形的内角和和外角和定理，难度不大．‎ ‎24. ‎(1)‎运用三角形的内角和定理求解； ‎(2)‎利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和求解． 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．‎ ‎25. 先根据多边形的内角和公式‎(n-2)⋅‎‎180‎‎∘‎，求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1进行计算即可． 本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种不同情况．‎ 第9页，共10页