三角形全等的判定测试题
(时间：60分钟)
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A. ∠B=∠C
B. AD=AE
C. BD=CE
D. BE=CD
2. 如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
3. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB//ED，AC//FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A. AB=DE B. AC=DF C. ∠A=∠D D. BF=EC
4. 如图，已知∠1=2，AC=AD，从下列条件：①AB=AE②BC=ED③∠C=∠D④∠B=∠E中添加一个条件，能使△ABC≌△AED的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 如图，CB=CA，∠ACB=90∘，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ⋅AC，
其中正确的结论的个数是( )
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三角形全等的判定测试题
(时间：60分钟)
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A. ∠B=∠C
B. AD=AE
C. BD=CE
D. BE=CD
2. 如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
3. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB//ED，AC//FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A. AB=DE B. AC=DF C. ∠A=∠D D. BF=EC
4. 如图，已知∠1=2，AC=AD，从下列条件：①AB=AE②BC=ED③∠C=∠D④∠B=∠E中添加一个条件，能使△ABC≌△AED的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 如图，CB=CA，∠ACB=90∘，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ⋅AC，
其中正确的结论的个数是( )
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A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
1. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交BE于点F，若BF=AC，则∠ABC等于( )
A. 45∘
B. 48∘
C. 50∘
D. 60∘
2. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为( )
A. 25
B. 5.5
C. 7.5
D. 12.5
3. 用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是( )
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
4. 下列各组所述几何图形中，一定全等的是( )
A. 一个角是45∘的两个等腰三角形
B. 两个等边三角形
C. 各有一个角是40∘，腰长都是8cm的两个等腰三角形
D. 腰长相等的两个等腰直角三角形
5. 如图，AB//DC，AB=DC，要使∠A=∠C，直接利用三角形全等的判定方法是( )
A. AAS B. SAS C. ASA D. SSS
二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）
6. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45∘，将△DAE绕点D逆时针旋转90∘，得到△DCM.若AE=1，则FM的长为______．
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1. 已知：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则▱ABCD的面积是______ ．
2. 如图，在▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD，MN与AC交于点O，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，连接BO.若∠DAC=28∘，则∠OBC的度数为______ ∘.
3. 如图，AB=AC，若要判定△ABD≌△ACD，则需要添加的一个条件是：______ ．
4. 如图，∠A=∠E，AC⊥BE，AB=EF，BE=10，CF=4，则AC= ______ ．
5. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，则下列结论：
①DE=DF；②AD平分∠BAC；③AE=AD；④AC-AB=2BE中
正确的是______ ．
6. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段上，连接EF、CF，则下列结论
①∠BCD=2∠DCE；
②EF=CF；
③∠DFE=3∠AEF，
④S△BEC=2S△CEF
中一定成立的是______ .(把所有正确结论的序号都填在横线上)
7. 如图，AB、CD相交于点O，AD=CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是______ ．
8. 如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线.将△DCB绕着点D顺时针旋转45∘得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.则下列结论：
①四边形
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AEGF是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG=112.5∘④BC+FG=1.5
其中正确的结论是______．
三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
1. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
(1)求证：△AEC≌△ADB；
(2)若AB=2，∠BAC=45∘，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．
2. 如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，若CF=3，CE=4，求AP的长．
3. 在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F．
(1)如图①，请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？
(2)若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？
(3)若点P在CD的延长线上，如图③，请直接写出结论．
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1. 如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．
四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
2. 如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN
(1)求证：AM=BN；
(2)分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系(不需证明)；
(3)如图4，当BM=AB时，证明：MN⊥AB．
3. 如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)证明：∠1=∠3．
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答案和解析
【答案】
1. D 2. C 3. C 4. C 5. D 6. A 7. D
8. A 9. D 10. B
11. 52
12. 32
13. 62
14. ∠BAD=∠DAC
15. 6
16. ①②④
17. ②③
18. ∠A=∠C或∠ADO=∠CBO
19. ①②③
20. 解：(1)由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，
∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
AE=AD∠CAE=∠DABAC=AB，
∴△AEC≌△ADB(SAS)；
(2)∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC=45∘，
∴∠DBA=∠BAC=45∘，
由(1)得：AB=AD，
∴∠DBA=∠BDA=45∘，
∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，
∴BD2=2AB2，即BD=22，
∴AD=DF=FC=AC=AB=2，
∴BF=BD-DF=22-2．
21. 解：连接PC
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADP=∠CDP，
∵PD=PD，
∴△APD≌△CPD，(4分)
∴AP=CP，(5分)
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90∘，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴四边形PFCE是矩形，(8分)
∴PC=EF，(9分)
∵∠DCB=90∘，
∴在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2=42+32=25，
∴EF=5，(11分)
∴AP=CP=EF=5.(12分)
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22. 解：(1)在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF；
证明：∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90∘，
∴∠BAE+∠DAF=90∘，
又∵∠AFD=90∘，
∴∠ADF+∠DAF=90∘，
∴∠BAE=∠ADF，
在△BAE和△ADF中，
∠BEA=∠AFD∠BAE=∠ADFAB=DA
∴△BAE≌△ADF(AAS)，
∴BE=AF，AE=DF，
∵AF-AE=EF，
∴BE-DF=EF．
(2)在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF-BE=EF；
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90∘，
∴∠BAE+∠DAF=90∘，
又∵∠AFD=90∘，
∴∠ADF+∠DAF=90∘，
∴∠BAE=∠ADF，
在△BAE和△ADF中，
∠BEA=∠AFD∠BAE=∠ADFAB=DA
∴△BAE≌△ADF(AAS)，
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE-AF=EF，
∴DF-BE=EF．
(3)在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF，
理由为：∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90∘，
∴∠BAE+∠DAF=90∘，
又∵∠AFD=90∘，
∴∠ADF+∠DAF=90∘，
∴∠BAE=∠ADF，
在△BAE和△ADF中，
∠BEA=∠AFD∠BAE=∠ADFAB=DA
∴△BAE≌△ADF(AAS)，
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE+AF=EF，
∴DF+BE=EF．
23. 解：延长AD到E使AD=DE，连接CE，
在△ABD和△ECD中
AD=DE∠ADB=∠EDCBD=DC，
∴△ABD≌△ECD，
∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，
在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，
∴AC2=AE2+CE2，
∴∠E=90∘，
由勾股定理得：CD=DE2+CE2=61，
∴BC=2CD=261，
答：BC的长是261．
24. 解：(1)证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形，
∴∠BPA=∠MPN=60∘，AB=BP=AP，PM=PN=MN，
∴∠BPA-∠MPB=∠MPN-∠MPB，
∴∠APM=∠BPN．
在△APM≅≅△PBN中
AP=PB∠APM=∠BPNPM=PN，
∴△APM≌△PBN(SAS)，
∴AM=BN．
(2)图2中BN=AB+BM；
图3中BN=BM-AB．
(3)证明：∵△PAB和△PMN是等边三角形，
∴∠ABP=∠PMN=60∘，AB=PB，
∴∠PBM=120∘，
∵BM=AB=PB，
∴∠BMP=30∘，
∴∠BMN=∠PMN+∠BMP=90∘，
∴MN⊥AB．
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25. 证明：(1)∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CBE=∠2+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
AB=CB∠ABE=∠CBDBE=BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)；
(2)∵△ABE≌△CBD，
∴∠A=∠C，
∵∠AFB=∠CFE，
∴∠1=∠3．
【解析】
1. 解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．
故选：D．
欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
2. 解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90∘；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90∘，即∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CED中，
∠ABC=∠DEC=90∘∠ACB=∠CDEAC=DC，
∴△ACB≌△DCE(AAS)，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=1+9=10，
∴b的面积为10，
故选C．
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明△ACB≌△DCE．
3. 解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选C．
分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS、ASA、HL进行判断即可．
本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
4. 解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，
即∠CAB=∠DAE，
①加上条件AB=AE可利用SAS
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定理证明△ABC≌△AED；
②加上BC=ED不能证明△ABC≌△AED；
③加上∠C=∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；
④加上∠B=∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED；
故选：C．
由∠1=∠2结合等式的性质可得∠CAB=∠DAE，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
此题主要考查了三角形全等的判定方法，解题时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5. 解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90∘，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90∘，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG=90∘，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，∠G=∠C ∠AFG=∠CAD AF=AD ，
∴△FGA≌△ACD(AAS)，
∴AC=FG，①正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90∘，FG⊥CA，
∴FG//BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90∘，S△FAB=12FB⋅FG=12S四边形CBFG，②正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90∘，
∴∠ABC=∠ABF=45∘，③正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90∘，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD⋅FE=AD2=FQ⋅AC，④正确；
或：AD2表示正方形的面积；连接AQ，FQ×AC=FQ×AB=FQ×GF=△AFQ面积的2倍(FQ为底，GF为高)=△AFQ面积的2倍(AF为底，AD为高)=正方形的面积，所以结论4是对的
故选：D．
由正方形的性质得出∠FAD=90∘，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；
证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB=12FB⋅FG=12S四边形CBFG，②正确；
由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45∘，③正确；
证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出AD⋅FE=AD2=FQ⋅AC，④正确．
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．
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6. 解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠BFC=90∘，
∴∠FBD=∠CAD，
在△FDB和△CAD中，
∠FBD=∠CAD∠BDF=∠ADCBF=AC，
∴△FDB≌△CAD，
∴DA=DB，
∴∠ABC=∠BAD=45∘，
故选：A．
根据垂直的定义得到∠ADB=∠BFC=90∘，得到∠FBD=∠CAD，证明△FDB≌△CAD，根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7.
解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，AD=ADDF=DH，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH(HL)，
∴SRt△ADF=SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，DE=DGDF=DH
∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL)，
∴SRt△DEF=SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为60和35，
∴35+SRt△DEF=60-SRt△DGH，
∴SRt△DEF=252．
故选D．
过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
8. 解：由作法易得，，，那么△OCD≌△O'C'D'，可得∠A'O'B'=∠AOB，所以利用的条件为SSS．
故选：A．
由作法可知，两三角形的三条边对应相等，所以利用SSS可证得△OCD≌△O'C'D'，那么∠A'O'B'=∠AOB．
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本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点；由作法找准已知条件是正确解答本题的关键．
9. 解：A、因为没有指出该角是顶角还是底角则无法判定其全等，故本选项错误；
B、因为没有指出其边长相等，而全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误；
C、因为没有说明该角是顶角还是底角，故本选项错误．
D、因为符合SAS，故本选项正确；
故选D．
利用三角形全等的判定方法对选项这个进行判断.(如：SAS、ASA、AAS、HL等)
本题考查了全等三角形的判定方法的理解及运用，做题时要确定各角、边的对应关系．
10. 解：∵AB////DC，
∴∠ABD=∠CDB，
在△ABD和△CDB中
∵AB=CD∠ABD=∠CDBBD=BD，
∴△ABD≌△CDB(SAS)，
∴∠A=∠C．
故选B．
根据平行线性质得出∠ABD=∠CDB，再加上AB=DC，BD=BD，根据全等三角形的判定定理SAS即可推出△ABD≌△CDB，推出∠A=∠C，即可得出答案．
本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
11. 解：∵△DAE逆时针旋转90∘得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180∘，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90∘，
∴∠EDF+∠FDM=90∘，
∵∠EDF=45∘，
∴∠FDM=∠EDF=45∘，
在△DEF和△DMF中，
DE=DM∠EDF=∠FDMDF=DF，
∴△DEF≌△DMF(SAS)，
∴EF=MF，
设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，
∵EB=AB-AE=3-1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即22+(4-x)2=x2，
解得：x=52，
∴FM=52．
故答案为：52．
由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90∘，由∠EDF=45∘，得到∠MDF为45∘，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF
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与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为FM的长．
此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
12. 【分析】
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解答本题需要掌握两点：①平行四边形的对边相等且平行，②全等三角形的对应边、对应角分别相等.利用平行四边形的性质可证明△AOF≌△COE，所以可得△COE的面积为3，进而可得△BOC的面积为8，又因为△BOC的面积=14▱ABCD的面积，进而可得问题答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAC=∠BCA，∠AFE=∠CEF，
又∵AO=CO，
在△AOE与△COF中，
∠FAC=∠BCF∠AFE=∠CEFAO=CO，
∴△AOF≌△COE，
∴△COE的面积为3，
∵S△BOF=5，
∴△BOC的面积为8，
∵△BOC的面积=14▱ABCD的面积，
∴▱ABCD的面积=4×8=32，
故答案为32．
13. 【分析】
本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质.根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【解答】
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB//CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵∠MAO=∠NCOAM=CN∠AMO=∠CNO，
∴△AMO≌△CNO(ASA)，
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90∘，
∵∠DAC=28∘，
∴∠BCA=∠DAC=28∘，
∴∠OBC=90∘-28∘=62∘．
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故答案为62．
14. 解：，∵在△ABD与△ACD中，AB=AC，AD=AD，
∴添加∠BAD=∠DAC时，可以根据SAS判定△ABD≌△ACD，
故答案是：∠BAD=∠DAC
根据题意知，在△ABD与△ACD中，AB=AC，AD=AD，所以由三角形判定定理SAS可以推知，只需添加∠BAD=∠DAC即可．
本题考查了全等三角形的判定.本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15. 解：∵AC⊥BE，
∴∠ACB=∠ECF=90∘，
在△ABC和△EFC中，∠ACB=∠ECF ∠A=∠E AB=EF ，
∴△ABC≌△EFC(AAS)，
∴AC=EC，BC=CF=4，
∵EC=BE-BC=10-4=6，
∴AC=EC=6；
故答案为：6．
由AAS证明△ABC≌△EFC，得出对应边相等AC=EC，BC=CF=4，求出EC，即可得出AC的长．
本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．
16. 解：在Rt△BDE和Rt△CDF中，BE=CFBD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，故①正确；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DFAD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∴AB+BE=AC-FC，
∴AC-AB=BE+FC=2BE，
即AC-AB=2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AEBE，
∴S△BECAE，
∴AE
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