人教版八年级上册《12.3角平分线的性质》同步测试题（含答案解析）.docx

角平分线的性质测试题 时间：60分钟 总分： 100‎ 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、选择题（本大题共11小题，共33.0分）‎ 1. 如图，AD是‎△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF//AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分‎∠ABF，AE=2BF.‎给出下列四个结论：‎①DE=DF；‎②DB=DC；‎③AD⊥BC；‎④AC=3BF，其中正确的结论共有‎(‎　　‎)‎ ‎ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 如图，AD是‎△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、点F，连接EF与AD相交于点O，下列结论不一定成立的是‎(‎　　‎)‎ ‎ A. DE=DF B. AE=AF C. OD=OF D. ‎OE=OF 3. 如图，在‎△ABC中，‎∠ABC=‎‎50‎‎∘‎，‎∠ACB=‎‎60‎‎∘‎，点E在BC的延长线上，‎∠ABC的平分线BD与‎∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎∠BAC=‎‎60‎‎∘‎ B. ‎∠DOC=‎‎85‎‎∘‎ C. BC=CD D. ‎AC=AB 4. 如图，在Rt△ABC中，‎∠C=‎‎90‎‎∘‎，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于‎1‎‎2‎MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4‎，AB=15‎，则‎△ABD的面积是‎(‎　　‎‎)‎ A. 15 B. 30 C. 45 D. 60‎ 5. 为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在‎(‎　　‎‎)‎ A. 三角形ABC三条高线的交点处 B. 三角形ABC三条角平分线的交点处 C. 三角形ABC三条中线的交点处 D. 三角形ABC三边垂直平分线的交点处 第13页，共14页 1. 如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则‎△APD与‎△APE全等的理由是‎(‎　　‎‎)‎ A. SAS B. AAA C. SSS D. HL ‎ 2. 如图，OP平分‎∠MON，PA⊥ON，垂足为A，OA=8‎，PA=6‎，Q是射线OM上的一个动点，则线段PQ的最小值是‎(‎　　‎‎)‎ A. 10 B. 8 C. 4 D. 6 ‎ 3. 三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是‎(‎　　‎‎)‎ A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 4. 如图：‎△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是‎(‎　　‎)‎ ‎①PA=PC  ‎②BP平分‎∠ABC  ‎③P到AB，BC的距离相等  ‎④BP平分‎∠APC． ‎ A. ‎①②‎ B. ‎①④‎ C. ‎③②‎ D. ‎‎③④‎ 5. 如图，BD是‎∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S‎△ABC‎=36cm‎2‎，AB=18cm，BC=12cm，则DE的长是‎(‎　　‎‎)‎ A. 2cm B. 4cm C. ‎1.2cm D. ‎2.4cm ‎ 6. 如图，点P为定角‎∠AOB的平分线上的一个定点，且‎∠MPN与‎∠AOB互补，若‎∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：‎(1)PM=PN恒成立；‎(2)OM+ON的值不变；‎(3)‎四边形PMON的面积不变；‎(4)MN的长不变，其中正确的个数为‎(‎　　‎)‎ ‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ 二、填空题（本大题共11小题，共33.0分）‎ 7. 第13页，共14页 如图，‎∠AOE=∠BOE=‎‎15‎‎∘‎，EF//OB，EC⊥OB，若EC=2‎，则EF=‎______． ‎ 1. 如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，‎∠BAC=‎‎40‎‎∘‎，‎∠ADG=‎‎130‎‎∘‎，则‎∠DGF=‎______． ‎ 2. 如图，‎△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且‎△ABC的周长为18，则‎△ABC的面积为______． ‎ 3. 如图，在Rt△ABC中，‎∠C=‎‎90‎‎∘‎，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于‎1‎‎2‎MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AB交边BC于点D，若CD=4‎，AB=15‎，则‎△ABD的面积是______．‎ 4. 已知：如图，Rt△ABC中，‎∠C=‎‎90‎‎∘‎，沿过点B的一条直线BE折叠‎△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则‎∠A=‎ ______ 度‎.‎ 5. 边长为7，24，25的‎△ABC内有一点P到三边距离相等，则这个距离为______ ．‎ 6. 如图，OC平分‎∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，若PM=5‎，则PN的最小值为______． ‎ 7. 如图，在Rt△ABC中，‎∠C=‎‎90‎‎∘‎，AB=8‎，AD平分‎∠BAC，交BC边于点D，若CD=2‎，则‎△ABD的面积为______． ‎ 8. 如图，在‎△ABC中，‎∠C=‎‎90‎‎∘‎，BD平分‎∠ABC，若CD=3cm，则点D到AB的距离为______ cm． ‎ 9. 随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路‎(‎如图所示‎)‎，建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有______处‎.‎ 10. 已知OC平分‎∠AOB，点P为OC上一点，PD⊥OA于D，且PD=3cm，过点P作PE//OA交OB于E，‎∠AOB=‎‎30‎‎∘‎，求PE的长度______cm．‎ 第13页，共14页 三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）‎ 1. 如图，‎△ABC中，AD⊥BC，‎∠B=2∠C，E，F分别是BC，AC的中点，若DE=3‎，求线段AB的长．‎ ‎ ‎ 2. 如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2AD，梯形周长为40，对角线BD平分‎∠ABC，求梯形的腰长及两底边的长． ‎ ‎ ‎ 3. 某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到两条公路m、n的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置‎.(‎要有作图痕迹‎)‎ ‎ ‎ 第13页，共14页 ‎ ‎ 四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）‎ 1. 如图，BD是‎△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG． ‎(1)‎请判断四边形EBGD的形状，并说明理由； ‎(2)‎若‎∠ABC=‎‎30‎‎∘‎，‎∠C=‎‎45‎‎∘‎，ED=2‎‎10‎，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值． ‎ ‎ ‎ 2. 如图，‎∠AOB=‎‎90‎‎∘‎，OM平分‎∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由． ‎ 第13页，共14页 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. A 2. C 3. B 4. B 5. B 6. D 7. D 8. C 9. C 10. D 11. B ‎ ‎12. 4  ‎ ‎13. ‎150‎‎∘‎  ‎ ‎14. 27  ‎ ‎15. 30  ‎ ‎16. 30  ‎ ‎17. 3  ‎ ‎18. 5  ‎ ‎19. 8  ‎ ‎20. 3  ‎ ‎21. 4  ‎ ‎22. 6  ‎ ‎23. 解：作BH平分‎∠ABC交AC于H，连结HE，如图， ‎∵BH平分‎∠ABC， ‎∴∠CBH=‎1‎‎2‎∠ABC， ‎∵∠B=2∠C， ‎∴∠CBH=∠C， ‎∴△HBC为等腰三角形， ‎∵‎点E为BC的中点， ‎∴HE⊥BC， ‎∵AD⊥BC， ‎∴HE//AD， ‎∴AHHC=‎DEEC， ‎∵BH为‎∠ABC的平分线， ‎∴AHHC=‎BABC， ‎∴DEEC=‎BABC，即‎3‎EC‎=‎BA‎2EC， ‎∴AB=6‎．  ‎ 第13页，共14页 ‎24. 解：‎∵‎四边形ABCD是等腰梯形，AB//DC， ‎∴AD=BC，‎∠DBA=∠CDB， 又BD平分‎∠ABC， ‎∴∠CBD=∠DBA， ‎∴∠CDB=∠CBD， ‎∴CD=BC， 又AB=2AD， AB+AD+CD+BC=40‎， ‎∴2AD+AD+AD+AD=40‎， ‎5AD=40‎， AD=8‎， ‎∴CD=8‎，AB=16‎， 即梯形腰长为8，两底边长为8和16， 答：梯形的腰长是8，两底边的长分别是8，16．  ‎ ‎25. 解：作图如图，点P即为所求作的点．   ‎ ‎26. 解：‎(1)‎四边形EBGD是菱形． 理由：‎∵EG垂直平分BD， ‎∴EB=ED，GB=GD，DF=BF， ‎∴∠EBD=∠EDB， ‎∵∠EBD=∠DBC， ‎∴∠EDF=∠GBF， 在‎△EFD和‎△GFB中， ‎∠EDF=∠GBF‎∠EFD=∠GFBDF=BF ‎∴△EFD≌‎△GFB， ‎∴ED=BG， ‎∴BE=ED=DG=GB， ‎∴‎四边形EBGD是菱形． ‎(2)‎作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小， 在Rt△EBM中，‎∵∠EMB=‎‎90‎‎∘‎，‎∠EBM=‎‎30‎‎∘‎，EB=ED=2‎‎10‎， ‎∴EM=‎1‎‎2‎BE=‎‎10‎， ‎∵DE//BC，EM⊥BC，DN⊥BC， ‎∴EM//DN，EM=DN=‎‎10‎，MN=DE=2‎‎10‎， 在Rt△DNC中，‎∵∠DNC=‎‎90‎‎∘‎，‎∠DCN=‎‎45‎‎∘‎， ‎∴∠NDC=∠NCD=‎‎45‎‎∘‎， ‎∴DN=NC=‎‎10‎， ‎∴MC=3‎‎10‎， 在Rt△EMC中，‎∵∠EMC=‎‎90‎‎∘‎，EM=‎10‎.MC=3‎‎10‎， ‎∴EC=EM‎2‎+MC‎2‎=‎(‎10‎‎)‎‎2‎+(3‎‎10‎‎)‎‎2‎=10‎． ‎∵HG+HC=EH+HC=EC， ‎∴HG+HC的最小值为10．  ‎ 第13页，共14页 ‎27. 解：PC与PD相等‎.‎理由如下： 过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F． ‎∵OM平分‎∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB， ‎∴PE=PF(‎角平分线上的点到角两边的距离相等‎)‎ 又‎∵∠AOB=‎‎90‎‎∘‎，‎∠PEO=∠PFO=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴‎四边形OEPF为矩形， ‎∴∠EPF=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴∠EPC+∠CPF=‎‎90‎‎∘‎， 又‎∵∠CPD=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴∠CPF+∠FPD=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴∠EPC=∠FPD=‎90‎‎∘‎-∠CPF． 在‎△PCE与‎△PDF中， ‎∵‎‎∠PEC=∠PFDPE=PF‎∠EPC=∠FPD， ‎∴△PCE≌‎△PDF(ASA)‎， ‎∴PC=PD．  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 解：‎∵BF//AC， ‎∴∠C=∠CBF， ‎∵BC平分‎∠ABF， ‎∴∠ABC=∠CBF， ‎∴∠C=∠ABC， ‎∴AB=AC， ‎∵AD是‎△ABC的角平分线， ‎∴BD=CD，AD⊥BC，故‎②③‎正确， 在‎△CDE与‎△DBF中， ‎∠C=∠CBFCD=BD‎∠EDC=∠BDF， ‎∴△CDE≌‎△DBF， ‎∴DE=DF，CE=BF，故‎①‎正确； ‎∵AE=2BF， ‎∴AC=3BF，故‎④‎正确． 故选：A． 根据等腰三角形的性质三线合一得到BD=CD，AD⊥BC，故‎②③‎正确；通过‎△CDE≌‎△DBF，得到DE=DF，CE=BF，故‎①④‎正确． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．‎ ‎2. 解：‎∵AD是‎△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ‎∴DE=DF，‎∠AED=∠AFD=‎‎90‎‎∘‎， 在Rt△ADE和Rt△ADF中， DE=DFAD=AD， ‎∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)‎， ‎∴AE=AF； ‎∵AD是‎△ABC的角平分线， ‎∴∠EAO=∠FAO， 在‎△AEO和‎△AFO中， AE=AF‎∠EAO=∠FAOAO=AO， ‎∴△AEO≌‎△AFO(SAS)‎， ‎∴OE=OF； 故选C． 首先运用角平分线的性质得出DE=DF，再由HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得出AE=AF；根据SAS即可证明‎△AEG≌‎△AFG，即可得到OE=OF． ‎ 第13页，共14页 本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．‎ ‎3. 解：‎∵∠ABC=‎‎50‎‎∘‎，‎∠ACB=‎‎60‎‎∘‎， ‎∴∠BAC=‎180‎‎∘‎-∠ABC-∠ACB=‎180‎‎∘‎-‎50‎‎∘‎-‎60‎‎∘‎=‎‎70‎‎∘‎， 故A选项错误， ‎∵BD平分‎∠ABC， ‎∴∠ABO=‎1‎‎2‎∠ABC=‎1‎‎2‎×‎50‎‎∘‎=‎‎25‎‎∘‎， 在‎△ABO中， ‎∠AOB=‎180‎‎∘‎-∠BAC-∠ABO=‎180‎‎∘‎-‎70‎‎∘‎-‎25‎‎∘‎=‎‎85‎‎∘‎， ‎∴∠DOC=∠AOB=‎‎85‎‎∘‎， 故B选项正确； ‎∵CD平分‎∠ACE， ‎∴∠CBD=‎1‎‎2‎∠ABC=‎1‎‎2‎×‎50‎‎∘‎=‎‎25‎‎∘‎， ‎∵CD平分‎∠ACE， ‎∴∠ACD=‎1‎‎2‎(‎180‎‎∘‎-‎60‎‎∘‎)=‎‎60‎‎∘‎， ‎∴∠BDC=‎180‎‎∘‎-‎85‎‎∘‎-‎60‎‎∘‎=‎‎35‎‎∘‎， ‎∴BC≠CD， 故C选项错误； ‎∵∠ABC=‎‎50‎‎∘‎，‎∠ACB=‎‎60‎‎∘‎， ‎∴AC≠AB， 故D选项错误． 故选：B． 根据三角形的内角和定理列式计算即可求出‎∠BAC=‎‎70‎‎∘‎，再根据角平分线的定义求出‎∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出‎∠AOB，再根据对顶角相等可得‎∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出‎∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可‎∠BDC，判断出‎∠BDC≠∠DBC，根据‎∠ABC=‎‎50‎‎∘‎，‎∠ACB=‎‎60‎‎∘‎，‎∠ABC≠∠ACB=‎‎60‎‎∘‎即可判定AC≠AB． 本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键．‎ ‎4. 解：由题意得AP是‎∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E， 又‎∵∠C=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴DE=CD， ‎∴△ABD的面积‎=‎1‎‎2‎AB⋅DE=‎1‎‎2‎×15×4=30‎． 故选：B． 判断出AP是‎∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．‎ ‎5. 解：‎∵‎度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ‎∴‎度假村应该在‎△ABC三条角平分线的交点处． 故选B． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． ‎ 第13页，共14页 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．‎ ‎6. 解：‎∵PD⊥AB，PE⊥AC， ‎∴∠ADP=∠AEP=‎‎90‎‎∘‎， 在Rt△ADP和‎△AEP中AP=APPD=PE， ‎∴Rt△ADP≌‎△AEP(HL)‎， 故选：D． 根据题中的条件可得‎△ADP和‎△AEP是直角三角形，再根据条件DP=EP，AP=AP可根据HL定理判定‎△APD≌‎△APE． 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.‎结合已知条件在图形上的位置选择判定方法．‎ ‎7. 解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小， ‎∵OP平分‎∠MON，PA⊥ON，PA=6‎， ‎∴PQ=PA=6‎， 故选D． 根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PQ=PA，求出即可． 本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，能得出要使PQ最小时Q的位置是解此题的关键．‎ ‎8. 解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在‎∠A、‎∠B、‎∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．‎ ‎9. 解：过点P作PD⊥BA与点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F． ‎∵AP平分‎∠DAE，CP平分‎∠ACF， ‎∴PD=PE=PF． ‎∴‎点P在‎∠ABC的平分线上，P到AB，BC的距离相等． 故‎②③‎正确． 故选C． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，过点P作PD⊥BA与点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则PD=PE=PF.‎点P在‎∠ABC的平分线上． 此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上．‎ ‎10. 解：如图，过点D作DF⊥BC于F， ‎∵BD是‎∠ABC的平分线，DE⊥AB， ‎∴DE=DF， ‎∵AB=18cm，BC=12cm， ‎∴S‎△ABC=‎1‎‎2‎×18⋅DE+‎1‎‎2‎×12⋅DE=36‎， 解得DE=2.4cm． 故选D． 过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，然后根据‎△ABC的面积列出方程求解即可． 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．‎ 第13页，共14页 ‎11. 解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ‎∵∠PEO=∠PFO=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴∠EPF+∠AOB=‎‎180‎‎∘‎， ‎∵∠MPN+∠AOB=‎‎180‎‎∘‎， ‎∴∠EPF=∠MPN， ‎∴∠EPM=∠FPN， ‎∵OP平分‎∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F， ‎∴PE=PF， 在‎△POE和‎△POF中， PE=PFOP=OP， ‎∴△POE≌‎△POF， ‎∴OE=OF， 在‎△PEM和‎△PFN中， ‎∠MPE=∠NPFPE=PF‎∠PEM=∠PFN， ‎∴△PEM≌‎△PFN， ‎∴EM=NF，PM=PN，故‎(1)‎正确， ‎∴S‎△PEM=‎S‎△PNF， ‎∴S四边形PMON=S四边形PEOF=‎定值，故‎(3)‎正确， ‎∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=‎定值，故‎(2)‎正确， MN的长度是变化的，故‎(4)‎错误， 故选：B． 如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.‎只要证明‎△POE≌‎△POF，‎△PEM≌‎△PFN，即可一一判断． 本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎12. 解：作EG⊥OA于G，如图所示： ‎∵EF//OB，‎∠AOE=∠BOE=‎‎15‎‎∘‎ ‎∴∠OEF=∠COE=‎‎15‎‎∘‎，EG=CE=2‎， ‎∵∠AOE=‎‎15‎‎∘‎， ‎∴∠EFG=‎15‎‎∘‎+‎15‎‎∘‎=‎‎30‎‎∘‎， ‎∴EF=2EG=4‎． 故答案为：4． 作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到‎∠OEF=∠COE=‎‎15‎‎∘‎，然后利用三角形的外角和内角的关系求出‎∠EFG=‎‎30‎‎∘‎，利用‎30‎‎∘‎角所对的直角边是斜边的一半解题． 本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含‎30‎‎∘‎角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出‎∠EFG=‎‎30‎‎∘‎是解决问题的关键．‎ ‎13. 解：‎∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC， ‎∴AD是‎∠BAC的平分线， ‎∵∠BAC=‎‎40‎‎∘‎， ‎∴∠CAD=‎1‎‎2‎∠BAC=‎‎20‎‎∘‎， ‎∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=‎20‎‎∘‎+‎130‎‎∘‎=‎‎150‎‎∘‎． 故答案为：‎150‎‎∘‎ 先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是‎∠BAC的平分线，求出‎∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．‎ 第13页，共14页 ‎ 本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键．‎ ‎14. 解：作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H， ‎∵△ABC的三条角平分线交于点O，OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC， ‎∴OF=OH=OE=3‎， ‎∴△ABC的面积‎=‎1‎‎2‎×(AB+BC+AC)×3=27‎， 故答案为：27． 作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OF=OH=OE=3‎，根据三角形的面积公式计算即可． 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．‎ ‎15. 解：作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知，AD是‎△ABC的角平分线， ‎∵∠C=‎‎90‎‎∘‎，DE⊥AB， ‎∴DE=DC=4‎， ‎∴△ABD的面积‎=‎1‎‎2‎×AB×DE=30‎， 故答案为：30． 根据角平分线的性质得到DE=DC=4‎，根据三角形的面积公式计算即可． 本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．‎ ‎16. 解：‎∵‎在Rt△ABC中，‎∠C=‎‎90‎‎∘‎，‎△BCE与‎△BDE重合， ‎∴ED⊥AB，‎∠EBA=∠EBC， 又点D是AB的中点， ‎∴EA=EB， ‎∴∠A=∠EBA=∠EBC.‎设‎∠A=∠EBA=∠EBC=x ‎∵∠A+∠EBA+∠EBC=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴3∠x=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴x=‎‎30‎‎∘‎． ‎∴∠A=‎‎30‎‎∘‎． 只要证明‎∠A=∠EBA=∠EBC，设‎∠A=∠EBA=∠EBC=x列出方程即可解决问题． 本题考查翻折变换、垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用翻折不变性，学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎17. 解：‎∵‎7‎‎2‎+‎24‎‎2‎=‎‎25‎‎2‎， ‎∴△ABC是直角三角形， 根据题意画图，如图所示： 连接AP，BP，CP． 设PE=PF=PG=x， S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎×AB×CB=84‎， S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎AB×x+‎1‎‎2‎AC×x+‎1‎‎2‎BC×x=‎1‎‎2‎(AB+BC+AC)⋅x=‎1‎‎2‎×56x=28x， 则‎28x=84‎， x=3‎． 故答案为：3． 首先根据三边长确定三角形是直角三角形，再根据题意画出图形，连接AP，BP，CP 第13页，共14页 ‎，根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长． 此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角形的面积‎.‎注意构造辅助线，则直角三角形的面积有两种表示方法：一是整体计算，即两条直角边乘积的一半；二是等于三个小三角形的面积和，即‎1‎‎2‎‎(AB+AC+BC)x，然后即可计算x的值．‎ ‎18. 解：当PN⊥OA时，PN的值最小， ‎∵OC平分‎∠AOB，PM⊥OB， ‎∴PM=PN， ‎∵PM=5‎， ‎∴PN的最小值为5． 故答案为：5． 根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，从而得解． 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．‎ ‎19. 解：作DE⊥AB于E， ‎∵AD平分‎∠BAC，‎∠C=‎‎90‎‎∘‎，DE⊥AB， ‎∴DE=DC=2‎， ‎∴△ABD的面积‎=‎1‎‎2‎×AB×DE=8‎， 故答案为：8． 作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE的长，根据三角形的面积公式计算即可． 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．‎ ‎20. 解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ‎∵∠C=‎‎90‎‎∘‎，BD平分‎∠ABC， ‎∴DE=CD， ‎∵CD=3cm， ‎∴DE=3cm， 即点D到AB的距离为3cm． 故答案为：3． 过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，从而得解． 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．‎ ‎21. 解：如图所示，加油站站的地址有四处， 故答案为：4． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解． 本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．‎ ‎22. 解：过P作PF⊥OB于F， ‎∵∠AOB=‎‎30‎‎∘‎，‎ 第13页，共14页 OC平分‎∠AOB， ‎∴∠AOC=∠BOC=‎‎15‎‎∘‎， ‎∵PE//OA， ‎∴∠EPO=∠AOP=‎‎15‎‎∘‎， ‎∴∠BEP=∠BOC+∠EPO=‎‎30‎‎∘‎， ‎∴PE=2PF， ‎∵OC平分‎∠AOB，PD⊥OA于D，PF⊥OB于F，PD=3cm， ‎∴PD=PF=3cm， ‎∴PE=6cm， 故答案为：6． 过P作PF⊥OB于F，根据角平分线的定义可得‎∠AOC=∠BOC=‎‎15‎‎∘‎，根据平行线的性质可得‎∠EPO=∠AOP=‎‎15‎‎∘‎，从而可得PF=PD，即可得出答案． 此题主要考查：‎(1)‎含‎30‎‎∘‎度的直角三角形的性质：在直角三角形中，‎30‎‎∘‎角所对的直角边等于斜边的一半，‎(2)‎角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．‎ ‎23. 作BH平分‎∠ABC交AC于H，连结HE，如图，由于‎∠B=2∠C，则‎∠CBH=∠C，于是可判断‎△HBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得HE⊥BC，易得HE//AD，根据平行线分线段成比例定理得AHHC‎=‎DEEC，接着根据角平分线的性质定理得AHHC‎=‎BABC，则DEEC‎=‎BABC，然后把BC=2EC代入计算即可得到AB=6‎． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例‎.‎也考查了等腰三角形的判定与性质和角平分线性质．‎ ‎24. 根据等腰梯形性质得到AD=BC，‎∠DBA=∠CDB，根据角平分线性质推出‎∠CDB=∠CBD，推出CD=BC，根据已知梯形的周长求出即可． 本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．‎ ‎25. 连接A、B，作AB的垂直平分线，然后作两条公路m和n夹角的平分线，其交点即为加油站的位置． 此题考查学生对角平分线的性质和线段垂直平分线的性质的理解和掌握‎.‎特别要注意让学生牢记角平分线的性质定理．‎ ‎26. ‎(1)‎结论四边形EBGD是菱形‎.‎只要证明BE=ED=DG=GB即可． ‎(2)‎作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解决问题． 本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型．‎ ‎27. 先过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，构造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，这两个三角形已具备两个条件：‎90‎‎∘‎的角以及PE=PF，只需再证‎∠EPC=∠FPD，根据已知，两个角都等于‎90‎‎∘‎减去‎∠CPF，那么三角形全等就可证． 本题考查了角平分线的性质，以及四边形的内角和是‎360‎‎∘‎、还有三角形全等的判定和性质等知识‎.‎正确作出辅助线是解答本题的关键．‎ 第13页，共14页