数学试卷（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设是虚数单位，则复数在复平面上对就的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.用数学归纳法证明：对任意正偶数，均有，在验证正确后，归纳假设应写成（ ）
A．假设时命题成立 B．假设时命题成立
C．假设时命题成立 D．假设时命题成立
3.假设有两个分类变量和的列联表为：
对同一样本，以下数据能说明与有关系的可能性最大的一组为（ ）
A． B． C． D．
4.从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有（ ）
A．30 B．32 C．34 D．35
5.已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）
A．0.125 B．0.625 C．0.750 D．0.875
6.已知，曲线在点处的切线的斜率为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
7.两个线性相关变量与的统计数据如下表：
9
9.5
10
10.5
11
11
10
8
6
5
其回归直线方程是，则相应于点的残差为（ ）
A．0.1 B．0.2 C．-0.2 D．-0.1
8.甲、乙、丙三人独立进行体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为，，，且他们是否通过测试互不影响，若三人中只有甲通过的概率为，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为（ ）
A． B． C． D．
9.已知圆，过点的直线中被圆截得的最短弦长为，类比上述方法：设球是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球的截面，则最小截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
10.设，则等于（ ）
A．242 B．121 C．244 D．122
11.某班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
12. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上.）
13.已知复数满足，则_____________.
14.若展开式中二项系数之和是32，常数项为15，则实数____________.
15.已知函数在上有零点，则实数的取值范围是__________.
16.观察下面数表:
1
3,5
7,9,11,13
15,17,19,21,23,25,27,29
…………
设999是该表第行的第个数，则_________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知复数其中是虚数单位.
（1）若，求的值；
（2）若的实部为2，且，求证：.
18.（本小题满分12分）
从0，2，4，6，8这五个数字中任取2个，从1，3，5，7，9这五个数字中任取1个.
（1）问能组成多少个没有重复数字的三位数？
（2）求在（1）中的这些三位数中任取一个三位数恰好能被5整除的概率.
19.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，且在上单调递减，求实数的取值范围.
20.（本小题满分12分）
在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立，在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分，将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止，投篮的方案有以下两种：方案1，先在处投一球，以后都在处投；方案2，都在处投篮，甲同学在处投篮的命中率为0.2，在处投篮的命中率为0.5.
（1）当甲同学选择方案1时，求甲同学测试结束后所得总分的分布列和数学期望;
（2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.
21.（本小题满分12分）
禽流感是家禽养殖业的最大威胁，为考查某种药物预防禽流感的效果进行家禽试验，得到如下丢失数据的列联表：
患病
未患病
总计
未服用药
25
15
40
服用药
40
总计
80
设从未服用药的家禽中任取两只，取到未患病家禽数为；从服用药物的家禽中任取两只，取到未患病家禽数为，工作人员曾计算过：的概率是的概率的.
（1）求出列联表中数据的值；
（2）能否在犯错概率不超过0.005的前提下认为药物有效；
（3）求与的期望并比较大小，请解释所得结论的实际含义.
下面的临界值表供参考：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，其中）
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；
（2）设，若在上存在一点，使得成立，求的取值范围.
临汾一中2015-2016学年高二（下）期末测试
数学试卷（理科）参考答案
一、选择题：
1-5.BCDAD 6-10.BCABD 11-12.CB
二、填空题：
13. 14. -3 15. 16. 254
三、解答题：
17. 解：.
（1）∵，
∴，
解得，或.
（2）∵的实部为2，∴，
∴，
∵，∴，当且仅当时等号成立，
∴，
∴原不等式成立.
18.解：（1）在0，2，4，6，8中；
①若取0，则可组成个三位数.
②若不取0，则可组成个三位数.
共计：个三位数.
（2）是5的倍数有两种情形：
①0为个位数，这时有个.
②5为个位数，这里又应分含0与不含0的两类.
含0时：个；不含0时：个.
∴是5的倍数的三位数共有个.
故.
当时，由得；由得或.
∴函数的单调增区间为，减区间为.
（2）由（1）知函数在和处取得极值，
∵，∴，解得，、
∴，则，∴
∵在上单调递减，
∴在上恒成立，即函数在上的最小值不大于0，
∵函数在上的最大值为，
∴，即实数的取值范围.
20.解：（1）设该同学在处投中为事件，不中为事件，
在处投中为事件，不中为事件，则事件相互独立，
甲同学测试结束后所得总分的可能值为.
则,
，
，
∴的分布列为：
0
2
3
4
0.2
0.4
0.2
0.2
∴数学期望.
（2）甲同学选择1方案通过测试的概率为，选择2方案通过测试的概率为，
则，
，
∵，∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大.
21.解：（1）∵的概率是的概率的倍，
∴，
即，解得（舍去）或，
∴，.
（2）由（1）可得：
,
∴能在犯错概率不超过0.005的前提认为该药物有效.
（3）的取值为0，1，2，
则，，，
0
1
2
,
的取值为0，1，2，
则，，，
0
1
2
,
∵，∴药物有一定的效果.
22.解：（1），
当时，在上恒成立，
函数在单调递增，∴在上没有极值点.
当时，，得，，得，
∴在上递减，在上递增，即在处有极小值，无极大值.
∴当时，在上没有极值点，
当时，在上有一个极值点.
（2）设，
，
不等式对任意恒成立，即函数在上的最小值大于零.
①当，即时，在上单调递减，
所以的最小值为，
由可得，
因为，所以.
②当，即时，在上单调递增，
所以最小值为，由可得，即.
③当，即时，可得最小值为，
因为，所以，
故.
即.
综上可得，的取值范围是.
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