理科数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共15个小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3. 与的等比中项是（ ）
A．1 B．-1 C． D．
4.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：（ ）
广告费用（万元）
1
2
4
5
销售额（万元）
6
14
28
32
根据上表中的数据可以求得线性回归方程中的为6．6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为：（ ）
A．66.8万元 B．67.6万元 C．66.4万元 D．66.2万元
5.已知是空间中两不同直线，是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若直线，则
B．若平面，则
C．若，则
D．若平面，，则
6.一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99．依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为一，二，三，…，十．现用系统抽样方法抽取一个容量为10
的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码是个位数字与的个位数字相同，若，则在第七组中抽取的号码是（ ）
A．66 B．65 C．64 D．63
7.设是定义在上的偶函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
8.已知，且，则下列不等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9.函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
10.如图是计算的值的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
11.若正数满足，则的最小值是（ ）
A．24 B．25 C．28 D．30
12.三棱锥三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为
，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
13. ，点在内，且，设，则等于（ ）
A． B． C． D．3
14.已知不等式组表示的平面区域内为，点．若点是上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
15.已知为锐角，且，函数，数列的首项，则有（ ）
A． B． C． D．
第II卷 （非选择题，共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
16.已知直线互相垂直，则的值是___________．
17.在中，若，则的值等于___________．
18.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为___________．
19.将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是_________．
20.设变量满足约束条件且目标函数的最大值是4，则等于________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
21.（本小题满分10分）
在中，角的对边分别为，且成等差数列．
（1）若，求的面积；
（2）若成等比数列，试判断的形状．
22.（本小题满分12分）
设数列的各项都是正数，且对任意，都有，其中为数列的前项和．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若数列的前项和为，求．
23. （本小题满分12分）
在如图所示的四棱锥，四边形为正方形，平面，且分别为的中点，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
24. （本小题满分12分）
已知不等式的解集为．
（1）求集合；
（2）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
25．（本小题满分12分）
已知圆和圆．
（1）判断圆和圆的位置关系；
（2）过圆的圆心作圆的切线，求切线的方程；（结果必须写成一般式）；
（3）过圆的圆心作动直线交圆于两点．试问：在以为直径的所有圆中，是否存在这样的圆，使得圆经过点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
26．（本小题满分12分）
已知函数（为常数）为上的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）令，若关于的方程有唯一实数解，求实数的取值范围．
参考答案
A卷： 1.C 2.D 3.C 4.A 5.D 6. A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C 12. B 13.B 14.C 15.A
B卷：1.D 2.B 3.C 4.D 5.C 6.D 7.B 8.A 9.A 10.D 11.B 12.B 13.D 14.B 15.C
16. 0或1 17. 18． 19． 20．
21．解：∵成等差数列，可得．
∴结合，可得．
（1）∵，∴由正弦定理，得．
∵，可得，∴为锐角，得，从而．
因此，的面积为．
（2）∵成等比数列，即，
∴由正弦定理，得，
又∵根据余弦定理，得，
∴，整理得，可得，
∵，∴，可得为等边三角形．
当时，，∴，又，∴，
所以，数列是以3为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知，，∴，
设；∵，∴
∴，
∴
23．证明：
（1）连结，分别交于点，连结，
∵为中点，为中点，∴，
又，∴为中点，又，∴为的中点，
∴，∴．
∵平面，平面，
∴平面．
（2）解：∵平面，∴，又，
∴平面，
由图可知，二面角为钝角，
∴二面角的余弦值 为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
24．解：（1）或或，∴
（2）∵，∴，
∵，
∴，
由题可得，，∴．
25．解：（1）因为圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
所以圆和圆的圆心距，
所以圆与圆相离，
（2）设切线的方程为：，即，
所以到的距离，解得，
所以切线的方程为或，
（3）①当直线的斜率不存在时，直线经过圆的圆心，
此时直线与圆的交点为，
即为圆的直径，而点在圆上，
即圆也是满足题意的圆
②当直线的斜率存在时，设直线，
由，消去整理，得，
由，得或，设，
则有，①
由①得，②
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．③
若存在以为直径的圆经过点，则，所以，
因此，
即，
则，所以，满足题意，
此时以为直径的圆的方程为，
即，亦即，
综上，在以为直径的所有圆中，
存在圆或，使得圆经过点．
26．解：（1）由题意知，即，
所以，此时，
而，所以为奇函数，故为所求；
（2）由（1）知，因为，所以，
故恒成立等价于恒成立，因为，所以只需，即可使原不等式恒成立，故的取值范围是．
（3）由题意，化简得，
方程，即有唯一实数解，
令，则，即等价为有一个正根或两个相等正根，
设，则满足或由，得，即，
当时，，满足题意由得，
综上，的取值范围为或．
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