因式分解的应用测试题
时间：60分钟 总分： 100
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 已知a、b、c为的三边，且满足，则是
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是
A. B.
C. D.
3. 已知a、b、c是的三条边，且满足，则是
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
4. 已知，则计算：的结果为
A. 3 B. C. 5 D.
5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是
A. B.
C. D.
6. 已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是
A. 底与边不相等的等腰三角形 B. 等边三角形
C. 钝角三角形 D. 直角三角形
7. 若的三边a、b、c满足，则的面积是
A. 338 B. 24 C. 26 D. 30
8. 的三边为a、b、c且满足，则是
A. 等腰三角形或直角三角形 B. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形 D. 直角三角形
9. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字；州、爱、我、福、游、美现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是
A. 我爱美 B. 福州游 C. 爱我福州 D. 美我福州
10. 下列各式从左到右的变形属于分解因式的是
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 若实数x满足，则______．
12. 已知，，则的值为______．
13. 利用因式分解计算：______．
14. 已知，则 ______ ．
15. 已知与互为相反数，计算的结果是______ ．
16. 计算的值为______ ．
17. 如果，，则______．
18. 已知，，，则______．
19. 在实数范围内分解因式：______．
20. 把下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解______ ．
7
三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
1. 利用因式分解计算：
．
2. 已知a、b、c、为的三边长，，且为等腰三角形，求的周长．
3. 请你说明：当n为自然数时，能被24整除．
4. 已知，求的值．
四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
5.
7
已知在中，三边长a、b、c满足，试判断的形状并加以说明．
1.
7
已知a，b，c为的三条边的长，且满足．
试判断的形状，并说明理由；
若，，求的面积．
答案和解析
【答案】
1. C 2. D 3. C 4. A 5. B 6. D 7. D
8. A 9. C 10. B
11.
12.
13. 90000
14. 5
15. 48
16. 1
17. 10
18. 3
19.
20.
21. 解：原式；
原式．
22. 解：，
，
，
，，
，，
等腰，
，
的周长为5．
23. 解：原式
，
则当n为自然数时，能被24整除．
24. 解：原式
，
由得：，
把代入原式．
25. 解：三角形是等腰三角形．
，
，
，
，
则，，
，
则三角形是等腰三角形．
26. 解：是等腰三角形，理由如下：
，b，c
7
为的三条边的长，，
，
因式分解得：，
，
，
是等腰三角形；
如图，作底边BC上的高AD．
，，
，
，
的面积．
【解析】
1. 解：移项得，，
，
，
所以，或，
即或，
因此，等腰三角形或直角三角形．
故选C．
移项并分解因式，然后解方程求出a、b、c的关系，再确定出的形状即可得解．
本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a、b、c的关系式是解题的关键．
2. 解：A、，是整式的乘法运算，故此选项错误；
B、，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
C、，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
D、，正确．
故选：D．
分别利用因式分解的定义分析得出答案．
此题主要考查了因式分解的定义，正确把握定义是解题关键．
3. 解：已知等式变形得：，即，
，
，即，
则为等腰三角形．
故选：C．
已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到，即可确定出三角形形状．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4. 解：
；
故选：A．
观察已知可转化为，再对提取公因式因式分解的过程中将作为一个整体代入，逐次降低m的次数，使问题得以解决．
此题考查的是因式分解的应用解决本题的关键是将作为一个整体出现，逐次降低m的次数．
5. 解：因式分解是指将一个多项式化为几个整式的乘积，
故选
7
根据因式分解的意义即可判断．
本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
6. 解：，
，
，，，
，
此三角形是直角三角形．
故选D．
根据给出的条件求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理来判定三角形的形状．
本题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是绝对值、偶次方的性质、勾股定理的逆定理、完全平方公式，关键是证出a，b，c之间的关系．
7. 解：由，
得：，
即：，
，，
解得，，，
，即，
，
即三角形ABC为直角三角形．
．
故选：D．
把已知的式子变形，利用完全平方公式分组因式分解，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c的数值，再进一步三处面积即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用、完全平方公式、非负数的性质判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
8. 解：，
，
或．
当只有成立时，是等腰三角形．
当只有成立时，是直角三角形．
当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形．
故选：A．
因为a，b，c为三边，根据，可找到这三边的数量关系．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及对三角形形状的掌握．
9. 解：，
，，，四个代数式分别对应爱、我，福，州，
结果呈现的密码信息可能是“爱我福州”，
故选C．
对因式分解，即可得到结论．
本题考查了因式分解的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10. 解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故C不符合题意；
D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故D不符合题意；
故选：B
7
．
分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
本题考查了因式分解的意义这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．
11. 解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
把分解成与相加，然后把所求代数式整理成用表示的形式，然后代入数据计算求解即可．
本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．
12. 解：，，
，
故答案为：．
根据，，可以求得的值．
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确因式分解的方法，利用题目中的已知条件解答．
13. 解：原式
．
通过观察，显然符合完全平方公式．
运用公式法可以简便计算一些式子的值．
14. 解：，
．
此题可以将变形得，再把代入即可得到结果．
本题考查了因式分解的应用，关键在于对前三项提取公因式后整理成已知条件的形式．
15. 解：依题意得
，则
，
解得 ，．
所以，
故答案为：48．
根据互为相反数的性质和非负数的性质求得a，b的值，再进一步代入求解．
此题考查了非负数的性质、互为相反数的性质几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0；互为相反数的两个数的和为0．
16. 解：原式
，
故答案为：1．
根据完全平方公式，可得答案．
本题考查了因式分解，利用完全平方公式：是解题关键．
17.
7
解：，，
．
故答案为：10．
直接提取公因式xy，进而求出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
18. 解：，，，
，，，
则原式．
故答案为：3．
已知等式整理变形后，利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
19. 解：
把3写成的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式．
本题考查平方差公式分解因式，把3写成的平方是利用平方差公式的关键．
20. 解：拼接如图：
长方形的面积为：，还可以表示面积为：，
我们得到了可以进行因式分解的公式：．
故答案是：．
一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，长方形的面积为：，拼成长方形的长为，宽为，由此画图解决问题．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法和数形结合是解本题的关键．
21. 原式利用平方差公式变形，计算即可得到结果；
原式变形后，利用完全平方公式变形，计算即可得到结果．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
22. 已知等式配方后，利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出三角形周长．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
23. 原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．
此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
24. 本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．先将分式的分母分解因式，再约分，然后将已知变形为代入原式即可求解．
25. 把原式根据完全平方公式进行因式分解，根据非负数的性质求出a、c的关系，判断即可．
本题考查的是因式分解的应用，掌握分组分解法、公式法因式分解的一般步骤是解题的关键．
26. 由已知条件得出，用分组分解法进行因式分解得出，得出，因此，即可得出结论；
作底边BC上的高根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用勾股定理求出，再根据三角形的面积公式即可求解．
本题考查了因式分解的应用、等腰三角形的判定、勾股定理以及面积的计算；运用因式分解求出是解决问题的关键．
7
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