2015-2016学年黑龙江省大庆市实验中学高三（上）开学数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，集合B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（ ）
A．（1，2） B．{2} C．{﹣1，2} D．{1，2}
2．（5分）（2015广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（ ）
A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
3．（5分）（2015湖北）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（ ）
A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1
4．（5分）（2015大庆三模）执行如图所示的程序框图，若输出结果为63，则M处的条件为（ ）
A．k＜64？ B．k≥64？ C．k＜32？ D．k≥32？
5．（5分）（2016洛阳二模）将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（ ）
A． B． C．0 D．
6．（5分）（2016宁波模拟）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（ ）
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β
7．（5分）（2015福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A．8+2 B．11+2 C．14+2 D．15
8．（5分）（2015大庆三模）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．4 D．8
9．（5分）（2015大庆三模）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A．4π B．8π C．12π D．16π
10．（5分）（2015泉州校级模拟）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则=（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．﹣
11．（5分）（2015秋单县校级月考）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（ ）
A． +=1 B． +=1
C． +=1 D． +=1
12．（5分）（2015大庆三模）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数y=f′（x）．当x≠0时，f′（x）+＞0．若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜C B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）
13．（5分）（2014春海淀区期中）在△ABC中，AB=，AC=1，∠A=30°，则△ABC的面积为 ．
14．（5分）（2004上海）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为 ．
15．函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为 ．
16．（5分）（2016成都校级二模）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点．则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（2015重庆）已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．
18．（12分）（2015广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
19．（12分）（2015大庆二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1A=BD=2，AC=2．
（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；
（2）求三棱锥A﹣C1CD的体积．
20．（12分）（2015商丘三模）如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．
（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．
21．（12分）（2015大庆三模）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数），h（x）=1﹣x﹣xlnx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求h（x）的最大值；
（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．
四.请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.[选修4-1，几何证明选讲]
22．（10分）（2015河北）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2016南通模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．
（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；
（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．
[选修4-5；不等式选讲]
24．（2015河北）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
2015-2016学年黑龙江省大庆市实验中学高三（上）开学数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，集合B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（ ）
A．（1，2） B．{2} C．{﹣1，2} D．{1，2}
【分析】求出A中方程的解确定出A，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中方程变形得：（x﹣1）（x﹣2）=0，
解得：x=1或x=2，即A={1，2}，
∵B={x|x＞﹣1}，
∴A∩B={1，2}，
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）（2015广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（ ）
A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
【分析】利用完全平方式展开化简即可．
【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算；注意i2=﹣1．
3．（5分）（2015湖北）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（ ）
A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1
C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，
故选：C
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
4．（5分）（2015大庆三模）执行如图所示的程序框图，若输出结果为63，则M处的条件为（ ）
A．k＜64？ B．k≥64？ C．k＜32？ D．k≥32？
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=64时，应该满足条件，退出循环，输出S的值为63，从而可判断M处的条件为：k≥64？
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
k=1，S=0
不满足条件，S=1，k=2
不满足条件，S=3，k=4
不满足条件，S=7，k=8
不满足条件，S=15，k=16
不满足条件，S=31，k=32
不满足条件，S=63，k=64
由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S的值为63．
故可判断M处的条件为：k≥64？
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．
5．（5分）（2016洛阳二模）将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（ ）
A． B． C．0 D．
【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得φ的一个可能取值．
【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，
可得到的函数y=sin[2（x+）+φ）]=sin（2x++φ）的图象，
再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈z，
则φ的一个可能取值为，
故选：B．
【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题．
6．（5分）（2016宁波模拟）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（ ）
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β
【分析】可通过线面垂直的性质定理，判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质，判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义，即可判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断D．
【解答】解：A．若α⊥β，a⊥α，a⊄β，b⊄β，b⊥α，则a∥b，故A错；
B．若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，则a∥b，故B错；
C．若b⊥β，α∥β，则b⊥α，又a⊂α，则a⊥b，故C正确；
D．若α⊥β，b∥β，设α∩β=c，由线面平行的性质得，b∥c，若a∥c，则a∥b，故D错．
故选C．
【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直，考查线面、面面平行、垂直的判定和性质，熟记这些是迅速解题的关键．
7．（5分）（2015福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A．8+2 B．11+2 C．14+2 D．15
【分析】判断出该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，运用梯形，矩形的面积公式求解即可．
【解答】解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，
底面的梯形上底1，下底2，高为1，
∴侧面为（4）×2=8，
底面为（2+1）×1=，
故几何体的表面积为8=11，
故选：B．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，关键是能够恢复判断几何体的形状．
8．（5分）（2015大庆三模）设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．4 D．8
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=2x﹣y的最大值．
【解答】解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），
平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，
经过点A（4，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，
将A的坐标代入z=2x﹣y，得z=2×4﹣0=8，
即目标函数z=2x﹣y的最大值为8．
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
9．（5分）（2015大庆三模）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A．4π B．8π C．12π D．16π
【分析】根据题意，可将棱柱ABC﹣A1B1C1补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积．
【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90°，AA1=2，
∴可将棱柱ABC﹣AA1B1C1补成长方体，长方体的对角线=4，即为球的直径，
∴球的直径为4，
∴球的表面积为4π×22=16π，
故选：D．
【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
10．（5分）（2015泉州校级模拟）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则=（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】由题意可得OC=，OP=，∠AOP=45°，运用向量的三角形法则和向量的数量积的定义，计算即可得到所求值．
【解答】解：由题意可得AB=，OC=，OP=，∠AOP=45°，
则=（﹣）
=﹣=（）2﹣1×
=﹣．
故选：B．
【点评】本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义和性质，注意运用向量的平方即为模的平方，属于基础题．
11．（5分）（2015秋单县校级月考）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（ ）
A． +=1 B． +=1
C． +=1 D． +=1
【分析】设椭圆的右焦点为F′，由|OP|=|OF|及椭圆的对称性知，△PFF′为直角三角形；由勾股定理，得|PF′|；由椭圆的定义，得a2；由b2=a2﹣c2，得b2；然后根据椭圆标准方程的形式，直接写出椭圆的方程．
【解答】解：由题意可得c=2，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，
所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，
由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|===8，
由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36，
于是 b2=a2﹣c2=36﹣=16，
所以椭圆的方程为+=1．
故选：C．
【点评】本题属容易题，主要考查了椭圆的定义及其几何特征．对于椭圆标准方程的求解，关键是根据题设或图形的几何特征，列出关于a，b，c的三个方程，这样才能确定a2，b2，属于中档题．
12．（5分）（2015大庆三模）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数y=f′（x）．当x≠0时，f′（x）+＞0．若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜C B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【分析】根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f′（x）+＞0．
当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，
当x＜0时，xf′（x）+f（x）＜0，判断单调性即可证明a，b，c 的大小．
【解答】解：∵定义域为R的奇函数y=f（x），
∴F（x）=xf（x）为R上的偶函数，
F′（x）=f（x）+xf′（x）
∵当x≠0时，f′（x）+＞0．
∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，
当x＜0时，xf′（x）+f（x）＜0，
即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．
F（）=a=f（）=F（ln），F（﹣2）=b=﹣2f（﹣2）=F（2），F（ln）=c=（ln）f（ln）=F（ln2），
∵ln＜ln2＜2，
∴F（ln）＜F（ln2）＜F（2）．
即a＜c＜b
故选：D
【点评】本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的）
13．（5分）（2014春海淀区期中）在△ABC中，AB=，AC=1，∠A=30°，则△ABC的面积为 ．
【分析】直接利用三角形面积公式求得答案．
【解答】解：S△ABC=ABACsinA=××1×=．
故答案为：
【点评】本题主要考查了正弦定理的运用．注意熟练掌握正弦定理及其变形公式的灵活运用．
14．（5分）（2004上海）圆心在直线x=2上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4），B（0，﹣2），则圆C的方程为 （x﹣2）2+（y+3）2=5 ．
【分析】要求圆的标准方程，即要找到圆心坐标和半径，根据图形可知圆心坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出圆心到A的距离即为圆的半径，然后根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．
【解答】解：根据垂径定理可得AB的垂直平分线y=﹣3过圆心，
而圆心过x=2，则圆心坐标为（2，﹣3），
圆的半径r=|AC|==，
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=5．
故答案为：（x﹣2）2+（y+3）2=5
【点评】此题考查学生灵活运用垂径定理及两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道综合题．
15．函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为 3+2 ．
【分析】根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．
【解答】解：∵x=﹣2时，y=loga1﹣1=﹣1，
∴函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），
∵点A在直线mx+ny+1=0上，
∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0， +=（+）（2m+n）=3++≥3+2，
当且仅当=时取等号， +的最小值为3+2．
故答案为：3+2．
【点评】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．
16．（5分）（2016成都校级二模）设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点．则实数a的取值范围是 （，） ．
【分析】方法一：g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点可化为|lnx|﹣ax=0在区间（0，4）上有三个不同的解，令令a==；讨论函数的取值即可，
方法二：首先，画出函数y=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，4）上有三个零点，进行判断
【解答】解：方法一：∵g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，
∴|lnx|﹣ax=0在区间（0，4）上有三个不同的解，
令a==；
则当0＜x＜1时，﹣的值域为（0，+∞）；
当1≤x＜4时，a=在[1，e]上是增函数，
0≤≤，
在[e，4）上是减函数，
≤≤；
故当a∈（，）时，有三个不同的解．
方法二：函数y=|lnx|的图象如图示：
当a≤0时，显然，不合乎题意，
当a＞0时，如图示
当x∈（0，1]时，存在一个零点，
当x＞1时，f（x）=lnx，
可得g（x）=lnx﹣ax，（x∈（1，3]）
g′（x）=﹣a=，
若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数，
若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数，
此时f（x）必须在（1，4）上有两个交点，
∴，
解得，≤a＜，
在区间（0，3]上有三个零点时，
故实数a的取值范围为（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根及函数的取值的关系应用，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（2015重庆）已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得{bn}前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得：
，解得．
代入等差数列的通项公式得：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
设{bn}的公比为q，则，从而q=2，
故{bn}的前n项和．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．
18．（12分）（2015广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；
（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；
（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．
【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，
解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；
（2）月平均用电量的众数是=230，
∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，
∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，
∴月平均用电量的中位数为224；
（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，
月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，
月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，
∴抽取比例为=，
∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户
【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．
19．（12分）（2015大庆二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1A=BD=2，AC=2．
（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；
（2）求三棱锥A﹣C1CD的体积．
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明A1C⊥平面BB1D1D；
（2）根据三棱锥的条件公式，即可求三棱锥A﹣C1CD的体积．
【解答】证明：（1）∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD，
∵A1O∩AC=0，∴BD⊥平面A1AC，
∴BD⊥A1C，
由已知A1A=2，AC=2，
又AO=OC，A1O⊥AC，
∴A1A=A1C=2，A1A2=A1C2=AC2，
∴A1C⊥A1A，
∵B1B∥A1A，∴A1C⊥B1B，
∵BD∩B1B=B，
∴A1C⊥平面BB1D1D．
（2）连结A1C1，
∵AA1∥C1C，且AA1=C1C，
∴四边形ACC1A1是平行四边形，
∴A1C1∥AC，
三棱锥A﹣C1CD的体积===×=．
【点评】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥的体积的计算，要求熟练掌握空间线面垂直的判定定理和三棱锥的体积公式．
20．（12分）（2015商丘三模）如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．
（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．
【分析】（Ⅰ）通过△OAB的面积为，求出，然后求出抛物线的方程．
（Ⅱ） 直线CD斜率不存在时，求出三角形的面积；直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x﹣4），与抛物线联立，然后求出三角形的面积，推出S△OCD最小值．
【解答】解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为，所以，…（2分）
代入椭圆方程得，
抛物线的方程是：y2=8x…（6分）
（Ⅱ） 直线CD斜率不存在时，；
直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x﹣4），代入抛物线，得ky2﹣8y﹣32k=0，y1+y2=，y1y2=32，
，
综上S△OCD最小值为．…（12分）
【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．
21．（12分）（2015大庆三模）已知函数f（x）=（e是自然对数的底数），h（x）=1﹣x﹣xlnx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求h（x）的最大值；
（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出函数的导数，求得单调区间和极值，进而得到最值；
（Ⅲ）结合（Ⅱ）的结论，以及指数函数的单调性即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=，得f（1）=，
f′（x）=，所以k=f′（1）=0，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=．
（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x＞0．
所以h′（x）=﹣lnx﹣2．
令h′（x）=0得，x=e﹣2．
因此当x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈（e﹣2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．
所以h（x）在x=e﹣2处取得极大值，也是最大值．
h（x）的最大值为h（e﹣2）=1+e﹣2．
（Ⅲ）证明：因为g（x）=xf′（x），所以g（x）=，
x＞0，g（x）＜1+e﹣2等价于1﹣x﹣xlnx＜ex（1+e﹣2）．
由（Ⅱ）知h（x）的最大值为h（e﹣2）=1+e﹣2，故1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，
只需证明x＞0时，ex＞1成立，这显然成立．
所以1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜ex（1+e﹣2）．
因此对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．
四.请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.[选修4-1，几何证明选讲]
22．（10分）（2015河北）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．
【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．
【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，
在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
连接OE，则∠OBE=∠OEB，
又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，
由已知得AB=2，BE=，
由射影定理可得AE2=CEBE，
∴x2=，即x4+x2﹣12=0，
解方程可得x=
∴∠ACB=60°
【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2016南通模拟）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．
（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；
（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；
（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．
由，得，即，
∴，即．
化为标准方程得：．
圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x﹣y+=0的距离d=＞1．
∴直线l与曲线C相离；
（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，
则x+y=sinθ+cosθ=，
∴x+y的取值范围是．
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了由点到直线的距离判断直线和圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用，是基础题．
[选修4-5；不等式选讲]
24．（2015河北）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，
即①，或②，
或③．
解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．
综上可得，原不等式的解集为（，2）．
（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，
由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），
B（2a+1，0），
故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），
由△ABC的面积大于6，
可得 [2a+1﹣]（a+1）＞6，求得a＞2．
故要求的a的范围为（2，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
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