高二数学（理）试卷
Ⅰ、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知复数（是虚数单位），则等于（ ）
A．2 B． C． D．
2.已知的取值如下表所示：
x
2
3
4
y
5
4
6
如果与呈线性相关，且线性回归方程为：，则（ ）
A． B． C． D．
3.利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得.
0.10
0．05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B．有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
4.已知离散型随机变量服从二项分布～且，则与的值分别为（ ）
A． B． C． D．
5.函数在上存在极值，则实数的取值范围（ ）
A． B．或 C． D．或
6.证明，假设时成立，当时，左端增加的项数是（ ）
A．1项 B．项 C．项 D．项
7.某班有60名学生，其中正、副班长各1人，现要选派5人参加一项社区活动，要求正、副班长至少1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四个计算式，其中错误的是（ ）
A． B． C． D．
8.如果函数满足：对于任意的，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
Ⅱ、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.某班有50名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在120分以上有 人.
10.若，则的值为 .
11.曲线与直线所围成的区域的面积为 .
12.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件，“两颗骰子的点数之和大于8”为事件，则 .
13.若为直角三角形的三边，其中为斜边，则，称这个定理为勾股定理，现将这一定理推广到立体几何中：在四面体中，，为顶点所对面的面积，分别为侧面的面积，则满足的关系式为 .
14.已知函数的定义域是，，若对任意，则不等式的解集为 .
Ⅲ、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. （本小题满分13分）
已知在的展开式中二项式系数和为256．
（1）求展开式中常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
16. （本小题满分13分）
甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一对获胜4场就结束比赛. 现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场，已知甲球队第5,6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为.
（1）求甲对以4:3获胜的概率；
（2）设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列及数学期望.
17. （本小题满分13分）
已知函数，，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）设函数，当时，若，，总有成立，求实数的取值范围.
18. （本小题满分13分）
已知一个袋子里装有颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个，现从中随机取球，每次只取一球.
（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；
（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到5次就终止游戏，记游戏结束时一共取球次，求随机变量的分布列与期望.
19. （本小题满分14分）
五名大学生被随机地分到甲、乙、丙、丁四所学校实习，每所学校至少负责安
排一名实习生.
（1）求两人同时去甲学校实习的概率；
（2）求两人不去同一所学校实习的概率；
（3）设随机变量为这五名学生中去甲学校实习的人数，求的分布列和数学期望.
20. （本小题满分14分）
已知函数.
（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；
（2）当时，，当时，与有两个交点，求实数的取值范围；
（3）证明：.
2015-2016学年度第二学期期末五校联考
高二数学（理）答案
Ⅰ、选择题
1.B 2.D 3.B 4.A 5.D 6.B 7.A 8.C
Ⅱ、填空题
9．8 10.-1 11.
12． 13. 14.
15.(1)二项式系数和为………………………………………2分
…………………………4分
(2)
第5项二项式系数最大………………………………………………………8分
…………………………………………………………………………10分
二项式系数最大的项为……………………13分
16.（1）设甲队以获胜的事件分别为B
∵甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为，
∴甲队以获胜的概率分别为……………………………………………5分
（2）随机变量X的可能取值为5，6，7……………………………………………5分6分
∴………………………………………………………………… 7分
……………………………………………………8分
…………………………………9分
∴随机变量X的分布列为
X
5
6
7
……………………………12分
………………………………………13分
17.（1）的定义域为，且………………………1分
①当时，，在上单调递增；………………………3分
②当时，由，得；由，得；
故在上单调递减，在上单调递增………………………5分
（2）当时，，………………6分
由得或……………………………………………………7分
当时，；当时，.
所以在上，…………………………………9分
而“，，总有成立”等价于
“在上的最大值不小于在上的最大值”
而在上的最大值为
所以有 …………………………………………………………11分
所以实数的取值范围是………………………………………13分
18.（1）记事件表示“第i次取到白球”（），事件表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：
. 2分
………………………………………………………4分
………………………………………………………5分
另解：记随机变量表示连续取球四次，取得白球的次数. 易知………2分
则…………5分
（2）易知：随机变量X的取值分别为2，3，4，5 ……………………………6分
，…………………………………………………………7分
……………………………………………………8分
，………………………………………………………9分
………………………………………………10分
∴随机变量X的分布列为：
X
2
3
4
5
P
∴随机变量X的期望为：…………………13分
19. （本小题满分14分）
解：（1）记“A、B两人同时甲学校实习”为事件
…………………………………………………………4分
即A、B两人同时甲学校实习的概率是
（2）记“A、B两人同时去同一学校实习”为事件
…………………………………………………………8分
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是。
（3）随机变量可能取的值为1，2 ………………………………………9分
…………………………………………………………10分
……………………………………………………11分
的分布列为 ………………………………………………13分
………………………………………………………14分
20.（1）在上单调递减
在上恒成立…………………………………………………1分
在上恒成立
在上恒成立……………………………………………………3分
……………………………………………………………4分
（2）当时，，
与有两个交点
=在上有两个根
………………………………………………………5分
令
时，在上单调递增
时，在上单调递减
处有极大值也是最大值， ………………………………7分
，……………………………………8分
…………………………………………………………9分
(3）由（1）知当时，在上单调递减
当且仅当x=1时，等号成立
即在上恒成立……………………………………………10分
令………………………………………………………12分
时，
时，
时，
…………
时，
累加可得……14分
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