九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元综合测试（北师大版）.doc

第一章　特殊平行四边形　‎ 一、选择题(本大题共6小题，共24分)‎ ‎1．下列关于▱ABCD的叙述中，正确的是(　　)‎ A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形 ‎2．如图1，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是(　　)‎ A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形 C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形 图1‎ 10‎ ‎　　　图2‎ ‎3．如图2，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的度数为(　　)‎ A．75° B．65° C．55° D．50°‎ ‎4．如图3，P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(　　)‎ A. B. C. D．不确定 图3‎ ‎　　　图4‎ ‎5．如图4，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是(　　)‎ A．2.5 B. C. D．2‎ ‎6．如图5，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为(　　)‎ 图5‎ 10‎ A．(2，2 ) B．(，2－)‎ C．(2，4－2 ) D．(，4－2 )‎ 二、填空题(本大题共6小题，共30分)‎ ‎7．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形的较短对角线的长是________．‎ ‎8．如图6所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝‎2 cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B′重合，则AC＝________ cm.‎ 图6‎ ‎　　　图7‎ ‎9．如图7所示，若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为________．‎ ‎10．如图8，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是________．‎ 图8‎ ‎　　　　图9‎ ‎11．如图9所示，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．‎ ‎　图10‎ 10‎ ‎12．如图10，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为________．‎ 三、解答题(共46分)‎ ‎13．(10分)如图11，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.‎ ‎(1)求证：四边形BEDF是菱形；‎ ‎(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝，求菱形BEDF的面积．‎ ‎　图11‎ ‎14．(10分)如图12，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝‎20 cm，BD＝‎12 cm，两动点E，F同时以‎2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．‎ ‎(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；‎ ‎(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？‎ 图12‎ 10‎ ‎15．(12分)如图13，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，E，F分别是AB，AC的中点．‎ ‎(1)求证：四边形AEDF是菱形；‎ ‎(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.‎ 图13‎ ‎16．(14分)如图14，四边形ABCD是正方形，E是直线CD上的点，将△ADE沿AE 10‎ 对折得到△AFE，直线EF交边BC于点G，连接AG.‎ ‎(1)求证：△ABG≌△AFG；‎ ‎(2)当DE是线段CD的一半时，请你在备用图中利用尺规作图画出符合题意的图形(保留作图痕迹，不写作法)；‎ ‎(3)在(2)的条件下，求∠EAG的度数．‎ 图14‎ 10‎ ‎1．C　2.D　3.B　4.A ‎5．B　．‎ ‎6．C　‎ ‎7．6　.‎ ‎8．4　‎ ‎9．(2＋，)　‎ ‎10．45°　.‎ ‎11．12　12. ‎13．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC.‎ ‎∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，‎ 即OE＝OF，‎ ‎∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，‎ ‎∴四边形BEDF为菱形．‎ ‎(2)∵正方形ABCD的边长为4，‎ ‎∴BD＝AC＝4 .‎ ‎∵AE＝CF＝，∴EF＝AC－2 ＝2 ，‎ ‎∴S菱形BEDF＝BD·EF＝×4 ×2 ＝8.‎ ‎14．解：(1)证明：连接DE，EB，BF，FD.‎ 10‎ ‎∵两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，‎ ‎∴AE＝CF.‎ ‎∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，‎ ‎∴OD＝OB，OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，‎ ‎∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，‎ ‎∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，‎ 即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．‎ ‎(2)当点E在OA上，点F在OC上，EF＝BD＝‎12 cm时，四边形BEDF为矩形．‎ ‎∵运动时间为t，‎ ‎∴AE＝CF＝2t，‎ ‎∴EF＝20－4t＝12，‎ ‎∴t＝2；‎ 当点E在OC上，点F在OA上时，‎ EF＝BD＝‎12 cm，EF＝4t－20＝12，‎ ‎∴t＝8.‎ 因此，当点E，F的运动时间t为2 s或8 s时，四边形BEDF为矩形．‎ ‎15．解：(1)证明：∵AD⊥BC，E，F分别是AB，AC的中点，‎ ‎∴在Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，‎ 在Rt△ACD中，DF＝AC＝AF.‎ 又∵AB＝AC，‎ ‎∴AE＝AF＝DE＝DF，‎ ‎∴四边形AEDF是菱形．‎ ‎(2)如图，∵菱形AEDF的周长为12，‎ ‎∴AE＝3.‎ 10‎ 设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，‎ ‎∴x2＋2xy＋y2＝49.①‎ 由四边形AEDF是菱形得AD⊥EF，‎ ‎∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，‎ ‎∴(y)2＋(x)2＝32，‎ 即x2＋y2＝36.②‎ 把②代入①，可得2xy＝13，‎ ‎∴xy＝，‎ ‎∴菱形AEDF的面积S＝xy＝.‎ ‎16．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.‎ ‎∵将△ADE沿AE对折得到△AFE，‎ ‎∴AF＝AD＝AB，∠AFE＝∠D＝90°.‎ 在Rt△ABG和Rt△AFG中，‎ ∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．‎ ‎(2)如图所示：‎ ‎(3)∵△AFE≌△ADE，△ABG≌△AFG，‎ 10‎ ‎∴∠EAF＝∠EAD，∠GAF＝∠GAB.‎ ‎∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，‎ ‎∴∠EAG＝∠EAF＋∠GAF＝×90°＝45°.‎ 10‎