第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
知识要点
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为__2___的整式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式为__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)___．
3．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的__解___，也叫做一元二次方程的__根___．
知识构建
知识点1：一元二次方程的概念
1．下列方程是一元二次方程的是( D )
A．ax2＋bx＋c＝0 B．3x2－2x＝3(x2－2)
C．x3－2x－4＝0 D．(x－1)2－1＝0
2．关于x的一元二次方程(a－3)x2＋x＋a2－9＝0，其中a的取值范围为( C )
A．a＞3 B．a≥3
C．a≠3 D．a＜3
3．已知关于x的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，当m__≠±2___时，它是一元二次方程；当m 时，它是一元一次方程．
知识点2：一元二次方程的一般形式
5
4．方程3x2＝5x－1化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是( B )
A．3，5，－1 B．3，－5，1
C．3，－5，－1 D．3，5，1
5．将一元二次方程2y2－1＝y化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：一般形式为2y2－y－1＝0，其中二次项系数是2，一次项系数是－，常数项是－1
知识点3：一元二次方程的解(根)
6．下列关于x的方程中，一定有实数根－1的是( C )
A．x2－x＋2＝0 B．x2＋x－2＝0
C．x2－x－2＝0 D．x2＋1＝0
7．(2014·长沙)已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝ ．
知识点4：用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
8．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( B )
A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6
C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
9．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．
(1)正方体的表面积为54，求正方体的边长x；
解：6x2＝54，一般形式为6x2－54＝0
5
(2)x个球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队数x.
解：x(x－1)＝30，一般形式为x2－x－30＝0
知识运用
10．下列是方程3x2＋5x－2＝0的解的是( C )
A．x＝－1 B．x＝1
C．x＝－2 D．x＝2
11．已知实数a，b满足a2－3a＋1＝0，b2－3b＋1＝0，则关于一元二次方程x2－3x＋1＝0的根的说法中正确的是( D )
A．x＝a，x＝b都不是该方程的解
B．x＝a是该方程的解，x＝b不是该方程的解
C．x＝b是该方程的解，x＝a不是该方程的解
D．x＝a，x＝b都是该方程的解
12．若关于x的一元二次方程为ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2015－a－b的值是( A )
A．2020 B．2010
C．2016 D．2014
13．若方程(m－2)x2＋x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
14．小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一边长x厘米，则另一边长 厘米，列方程得 ．
5
15．如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的，AB＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等．设小矩形的长为x，则可列出的方程为 ．
16．分别根据下列条件，写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般形式．
(1)a＝5，b＝－4，c＝－1；
(2)二次项系数为3，一次项系数为－7，常数项为2.
解：(1)5x2－4x－1＝0
(2)3x2－7x＋2＝0
17．根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式．
(1)一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条信息，这样共有756条消息；
(2)两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数．
解：(1)x(x－1)＝756，x2－x－756＝0
(2)设这两个连续奇数分别为n，n＋2，则n2＋(n＋2)2＝130，2n2＋4n－126＝0
18．关于x的方程(a－3)x|a|－1＋x－5＝0是一元二次方程，求a的值．
5
解：由定义可得解得a＝－3
能力拓展
19．已知k是方程x2－101x＋1＝0的一个不为0的根，不解方程，你能求出k2－100k＋的值吗？如果能，请写出解答过程；如果不能，请说明理由．(用方程根的定义解答)
解：∵k2－101k＋1＝0，∴k2－100k＝k－1，k2＋1＝101k，原式＝k－1＋＝－1＝－1＝100
5
微信/支付宝扫码支付