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2015-2016学年山东省枣庄市滕州市高一（下）期末数学试卷
一、选择题（每题5分）
1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边上有一点P（﹣2，1），则sinα的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．有一组数据：1，1，4，5，5，5，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．5和4 B．5和4.5 C．5和5 D．1和5
3．某扇形的圆心角的弧度数为1，周长为6，则该扇形的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．﹣+=（ ）
A． B．2 C．2 D．
5．有下列等式：①sin（π+α）=﹣sinα；②cos（+α）=﹣sinα；③tan（π﹣α）=﹣tanα，其中正确等式的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．在边长为4的正方形内随机取一点，该点到正方形的四条边的距离都大于1的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），且回归直线方程为=a+bx，则最小二乘法的思想是（ ）
A．使得 最小
B．使得|yi﹣（ai+bxi）|最小
C．使得 最小
D．使得 2最小
8．某运动员进行射击训练，若该运动员进行了5次射击，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．恰好击中3次，击中奇数次
B．击中不少于3次，击中不多于4次
C．恰好击中3次，恰好击中4次
D．击中不多于3次，击中不少于4次
9．已知sin（α+）=1，则cos（2α﹣）的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．用设计模拟试验的方法求这三天中恰有一天下雨的概率，利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数，我们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，这样可以体现下雨的概率是40%，因为是三天，所以每三个随机数作为一组，例如，产生了20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，028，556，488，720，123，536，983，则得到三天中恰有一天下雨的概率近似为（ ）
A．25% B．30% C．40% D．45%
11．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果是（ ）
A． B． C． D．
12．将函数f（x）=cos（x+φ）的图象上每点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则下列直线中是函数f（x）图象的对称轴的是（ ）
A．x=﹣ B．x= C．x=﹣ D．x=
二、填空题（每题5分）
13．函数f（x）=tanx，x∈的值域是 ．
14．某校有男生1200人，女生900人，为了解该校学生对某项体育运动的喜爱情况，采用按性别分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个容量为70的样本，则样本中女生的人数为 ．
15．已知向量=（1，﹣2），=（1+m，1﹣m），若∥，则实数m的值为 ．
16．若数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为3，则数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1，2x5+1的方差为 ．
17．在边长为2的正三角形ABC中，D为边BC的中点，E为边AC上任意一点，则•的最小值是 ．
三、解答题
18．已知向量与的夹角为60°．
（1）若，都是单位向量，求|2+|；
（2）若||=2， +与2﹣5垂足，求||．
19．已知α为第四象限角，且cosα﹣|sinα﹣cosα|=﹣，求tanα，sin2α，cos2α的值．
20．一个袋子中装有三个编号分别为1，2，3的红球和三个编号分别为1，2，3的白球，三个红球按其编号分别记为a1，a2，a3，三个白球按其编号分别记为b1，b2，b3，袋中的6个球除颜色和编号外没有任何差异，现从袋中一次随机地取出两个球，
（1）列举所有的基本事件，并写出其个数；
（2）规定取出的红球按其编号记分，取出的白球按其编号的2倍记分，取出的两个球的记分之和为一次取球的得分，求一次取球的得分不小于6的概率．
21．如图是根据某班50名同学在某次数学测验中的成绩（百分制）绘制的概率分布直方图，其中成绩分组区间为：．
（1）求图中a的值；
（2）计算该班本次的数学测验成绩不低于80分的学生的人数；
（3）根据频率分布直方图，估计该班本次数学测验成绩的平均数与中位数（要求中位数的估计值精确到0.1）
22．已知函数f（x）=2cosxsin（x+）﹣a，且x=﹣是方程f（x）=0的一个解．
（1）求实数a的值及函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若关于x的方程f（x）=b在区间（0，）上恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，直接写出实数b的取值范围及x1+x2+x3的取值范围（不需要给出解题过程）
2015-2016学年山东省枣庄市滕州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分）
1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边上有一点P（﹣2，1），则sinα的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】根据任意角的三角函数的定义即可求出．
【解答】解：由题意可得 x=﹣2，y=1，r==，
∴sinα===﹣，
故选：D．
2．有一组数据：1，1，4，5，5，5，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．5和4 B．5和4.5 C．5和5 D．1和5
【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】数据：1，1，4，5，5，5中出现次数最多的数是5，按从小到大排列，位于中间的两位数是4，5，由此能求出众数和中位数．
【解答】解：数据：1，1，4，5，5，5中出现次数最多的数是5，
∴众数为5，
按从小到大排列，位于中间的两位数是4，5，
∴中位数是： =4.5．
故选：B．
3．某扇形的圆心角的弧度数为1，周长为6，则该扇形的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】扇形面积公式．
【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．
【解答】解：设扇形的半径为：R，所以，2R+R=6，所以R=2，
扇形的弧长为：2，半径为2，
扇形的面积为：S=×2×2=2．
故选：B．
4．﹣+=（ ）
A． B．2 C．2 D．
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【分析】利用向量的三角形法则即可得出．
【解答】解：﹣+==，
故选：D．
5．有下列等式：①sin（π+α）=﹣sinα；②cos（+α）=﹣sinα；③tan（π﹣α）=﹣tanα，其中正确等式的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】利用诱导公式，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：根据诱导公式 ①sin（π+α）=﹣sinα正确；
②cos（+α）=﹣sinα正确；
③tan（π﹣α）=tan（﹣α）=﹣tanα正确，
故选：D．
6．在边长为4的正方形内随机取一点，该点到正方形的四条边的距离都大于1的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及该点到正方形的四条边的距离都大于1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．
【解答】解：由题意，正方形的面积为4×4=16，
在边长为4的正方形内随机取一点，该点到正方形的四条边的距离都大于1，面积为2×2=4
由几何概型的公式，边长为4的正方形内随机取一点，该点到正方形的四条边的距离都大于1的概率是=，
故选：B．
7．已知两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），且回归直线方程为=a+bx，则最小二乘法的思想是（ ）
A．使得 最小
B．使得|yi﹣（ai+bxi）|最小
C．使得 最小
D．使得 2最小
【考点】最小二乘法．
【分析】根据最小二乘法是通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，对照选项即可得出正确的结论．
【解答】解：最小二乘法是通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，利用最小二乘法使得这组数据与实际数据之间误差的平方和为最小，
即使得 2最小．
故选：D．
8．某运动员进行射击训练，若该运动员进行了5次射击，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．恰好击中3次，击中奇数次
B．击中不少于3次，击中不多于4次
C．恰好击中3次，恰好击中4次
D．击中不多于3次，击中不少于4次
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】由已知条件利用互斥事件、对立事件的定义和性质求解．
【解答】解：某运动员进行射击训练，该运动员进行了5次射击，
在A中，恰好击中3次，击中奇数次能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在B中，击中不少于3次，击中不多于4次能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
在C中，恰好击中3次，恰好击中4次不能同时发生，
但能同时不发生，是互斥而不对立事件，故C正确；
在D中，击中不多于3次，击中不少于4次不能同时发生，也不能同时不发生，故D错误．
故选：C．
9．已知sin（α+）=1，则cos（2α﹣）的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】由已知利用诱导公式可求sin（α+）=﹣1，进而利用诱导公式可求cos（α﹣）的值，利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．
【解答】解：∵sin（α+）=sin=﹣sin（α+）=1，
∴sin（α+）=﹣1，
∴sin（α+）=cos[﹣（α+）]=cos（α﹣）=﹣1，
∴cos（2α﹣）=2cos2（α﹣）﹣1=2×（﹣1）2﹣1=1．
故选：B．
10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．用设计模拟试验的方法求这三天中恰有一天下雨的概率，利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数，我们用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，这样可以体现下雨的概率是40%，因为是三天，所以每三个随机数作为一组，例如，产生了20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，028，556，488，720，123，536，983，则得到三天中恰有一天下雨的概率近似为（ ）
A．25% B．30% C．40% D．45%
【考点】模拟方法估计概率．
【分析】由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有可以通过列举得到共9组随机数，根据概率公式，得到结果．
【解答】解：由题意知模拟三天中恰有一天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，
在20组随机数中表示三天中恰有一天下雨的有：925，458，683，257，028，488，720，536，983共9组随机数，
∴所求概率为45%．
故选：D．
11．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果是（ ）
A． B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】根据执行循环的n值，可得算法的功能是求S的值，再根据正弦函数的周期性，即可求出S的值．
【解答】解：由程序框图知：执行循环的条件是n＜26，
算法的功能是求S=sin+sin+sinπ+sin+sin+…+sin的值，
且sin是以6为周期的数列；
所以输出的S=++0﹣﹣+…+=．
故选：A．
12．将函数f（x）=cos（x+φ）的图象上每点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则下列直线中是函数f（x）图象的对称轴的是（ ）
A．x=﹣ B．x= C．x=﹣ D．x=
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求变换后的图象对应的解析式为y=cos（2x++φ），由图象关于坐标原点对称，可得φ=kπ+，k∈Z，从而可求f（x）的对称轴方程为x=（m﹣k）π﹣，m，k∈Z，进而得解．
【解答】解：将函数f（x）=cos（x+φ）的图象上每点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），
可得函数的解析式为y=cos（2x+φ），
再将所得的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的解析式为：y=cos（2x++φ），
∵所得的图象关于坐标原点对称，
∴y=cos（2x++φ）为奇函数，
∴+φ=kπ+，k∈Z，
∴φ=kπ+，k∈Z．
∴f（x）=cos（x+kπ+），k∈Z．
∴x+kπ+=mπ，m∈Z，解得：x=（m﹣k）π﹣，m，k∈Z，
∴当m=k时，x=﹣是f（x）的一条对称轴．
故选：A．
二、填空题（每题5分）
13．函数f（x）=tanx，x∈的值域是 ．
【考点】正切函数的图象．
【分析】根据正切函数的图象与性质，即可求出函数f（x）在上的值域．
【解答】解：∵函数f（x）=tanx，在x∈上是单调增函数，
∴tan0≤tanx≤tan，
即0≤tanx≤1，
∴函数f（x）在上的值域是．
故答案为：．
14．某校有男生1200人，女生900人，为了解该校学生对某项体育运动的喜爱情况，采用按性别分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个容量为70的样本，则样本中女生的人数为 30 ．
【考点】分层抽样方法．
【分析】由所给的学校的总人数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，即可求出样本中女生的人数．
【解答】解：∵某校有男生1200人，女生900人，采用分层抽样法抽取容量为70的样本，
∴每个个体被抽到的概率=，
∴样本中女生的人数为900×=30人，
故答案为：30．
15．已知向量=（1，﹣2），=（1+m，1﹣m），若∥，则实数m的值为 ﹣3 ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】根据=（x1，y1），=（x2，y2），∥，则x1y2﹣x2y1=0，建立等式关系，解之即可求出所求．
【解答】解：∵=（1，﹣2），=（1+m，1﹣m），∥，
∴x1y2﹣x2y1=0，即：1×（1﹣m）﹣（﹣2）×（1+m）=0，
解得：m=﹣3，
故答案为：﹣3．
16．若数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为3，则数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1，2x5+1的方差为 12 ．
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】根据平均数与方差的计算公式，进行推导，即可求出对应的方差．
【解答】解：依题意，得=（x1+x2+x3+x4+x5），
∴2x1+1、2x2+1、2x3+1、2x4+1、2x5+1的平均数为
=
=2×（x1+x2+x3+x4+x5）+1=2+1，
∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为
S2= =3，
∴数据2x1+1、2x2+1、2x3+1、2x4+1、2x5+1的方差为
S′2=
= ×4=3×4=12．
故答案为：12．
17．在边长为2的正三角形ABC中，D为边BC的中点，E为边AC上任意一点，则•的最小值是 ﹣6 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】建立坐标系，将正三角形放入坐标系中，利用坐标法结合向量数量积的坐标公式进行求解即可．
【解答】解：当三角形放入坐标系中，
则B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），A（0，），
设=x=x（﹣1，），0≤x≤1，
则•=•（+）
=（0，﹣）•（1﹣x， +x）
=﹣3（x+1），
∵0≤x≤1，
∴1≤x+1≤2，
则﹣6≤﹣3（x+1）≤﹣3，
则•的最小值是﹣6，
故答案为：﹣6．
三、解答题
18．已知向量与的夹角为60°．
（1）若，都是单位向量，求|2+|；
（2）若||=2， +与2﹣5垂足，求||．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）若，都是单位向量，根据向量数量积和模长的关系即可求|2+|；
（2）若||=2， +与2﹣5垂足，得（+）•（2﹣5）=0，结合数量积的定义建立方程即可求||．
【解答】解：（1）若，都是单位向量，
则|2+|2=4||2+4•+||2=4×12+4×1×1×cos60°+12=4+2+1=7，
则|2+|=．
（2）若||=2， +与2﹣5垂足，
则（+）•（2﹣5）=0
即2||2﹣3•﹣5||2=0，
∵||=2，向量与的夹角为60°．
∴2×22﹣3×2||cos60°﹣5||2=0，
即8﹣3||﹣5||2=0．
得||=1或||=﹣（舍），故||=1
19．已知α为第四象限角，且cosα﹣|sinα﹣cosα|=﹣，求tanα，sin2α，cos2α的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】根据同角的三角函数关系与二倍角的公式，进行计算即可．
【解答】解：因为α为第四象限角，
所以sinα＜0，cosα＞0，
从而sinα﹣cosα＜0，
由cosα﹣|sinα﹣cosα|=﹣，
得cosα﹣（cosα﹣sinα）=﹣，即sinα=﹣；
所以cosα=﹣=；
tanα===﹣；
sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）×=﹣；
cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=．
20．一个袋子中装有三个编号分别为1，2，3的红球和三个编号分别为1，2，3的白球，三个红球按其编号分别记为a1，a2，a3，三个白球按其编号分别记为b1，b2，b3，袋中的6个球除颜色和编号外没有任何差异，现从袋中一次随机地取出两个球，
（1）列举所有的基本事件，并写出其个数；
（2）规定取出的红球按其编号记分，取出的白球按其编号的2倍记分，取出的两个球的记分之和为一次取球的得分，求一次取球的得分不小于6的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）利用列举法能求出所有的基本事件．
（2）由已知利用列举法能求出一次取球的得分不小于6的概率．
【解答】解：（1）一个袋子中装有三个编号分别为1，2，3的红球和三个编号分别为1，2，3的白球，
三个红球按其编号分别记为a1，a2，a3，三个白球按其编号分别记为b1，b2，b3，
袋中的6个球除颜色和编号外没有任何差异，现从袋中一次随机地取出两个球，
所有的基本事件为：
{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，b3}，{a2，a3}，{a2，b1}，{a2，b2}，
{a2，b3}，{a3，b1}，{a3，b2}，{a3，b3}，{b1，b2}，{b1，b3}，{b2，b3}，
共有15个基本事件．
（2）一次取球得到的所有基本事件的相应得分为（括号内为一次取球的得分）：
{a1，a2}（3），{a1，a3}（4），{a1，b1}（3），{a1，b2}（5），{a1，b3}（7），
{a2，a3}（5），{a2，b1}（4），{a2，b2}（6），{a2，b3}（8），{a3，b1}（5），
{a3，b2}（7），{a3，b3}（9），{b1，b2}（6），{b1，b3}（8），{b2，b3}（10），
记事件A为“一次取球的得分不小于6”，
则事件A包含的基本事件为：
{a1，b3}，{a2，b2}，{a2，b3}，{a3，b2}，{a3，b3}，{b1，b2}，{b1，b3}，{b2，b3}，
共8个，
∴一次取球的得分不小于6的概率p=．
21．如图是根据某班50名同学在某次数学测验中的成绩（百分制）绘制的概率分布直方图，其中成绩分组区间为：．
（1）求图中a的值；
（2）计算该班本次的数学测验成绩不低于80分的学生的人数；
（3）根据频率分布直方图，估计该班本次数学测验成绩的平均数与中位数（要求中位数的估计值精确到0.1）
【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
【分析】（1）根据频率分布直方图，所有小矩形的面积之和为1，即可求出a的值，
（2）先求出成绩不低于80分的学生的频率，即可求出相对应的人数，
（3）根据平均数和中位数的定义即可计算．
【解答】解：（1）频率分布直方图，所有小矩形的面积之和为1，由此得
（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1
解得a=0.006
（2）该班本次的数学测验成绩不低于80分学生的人数为
50×（0.022×10+0.018×10）=20
（3）该班本次数学测验成绩的平均数的估计值为
0.04×45+0.06×55+0.22×65+0.28×75+0.22×85+0.18×95=76.2
前三个区间的频率之和为0.04+0.06+0.22=0.32＜0.5，前四个区间的频率之和为
0.04+0.06+0.22+0.28=0.6＞0.5，所以该班本次数学测验成绩的中位数在70于80之间．
该班本次数学测验成绩的中位数的估计值为70+×10≈76.4
22．已知函数f（x）=2cosxsin（x+）﹣a，且x=﹣是方程f（x）=0的一个解．
（1）求实数a的值及函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若关于x的方程f（x）=b在区间（0，）上恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，直接写出实数b的取值范围及x1+x2+x3的取值范围（不需要给出解题过程）
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）根据f（﹣）=0求出a的值，再化简f（x），求出f（x）的最小正周期；
（2）根据正弦函数的图象与性质，即可求出f（x）的单调递减区间是；
（3）根据函数f（x）的图象与性质，结合题意，即可得出b与x1+x2+x3的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=2cosxsin（x+）﹣a，且x=﹣是方程f（x）=0的一个解，
∴f（﹣）=0，
即2cos（﹣）sin（﹣+）﹣a=0，
解得a=sin=，
∴f（x）=2cosxsin（x+）﹣
=2cosx（sinx+cosx）﹣
=sinxcosx+cos2x﹣
=sin2x+﹣
=sin2x+cos2x
=sin（2x+）；
∴函数f（x）的最小正周期为T==π；
（2）令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；
∴函数f（x）的单调递减区间是[+kπ， +kπ]，（k∈Z）；
（3）关于x的方程f（x）=b在区间（0，）上恰有三个不相等的实数根x1，x2，x3，
则实数b的取值范围是（，1）；
x1+x2+x3的取值范围是（，）．
2016年8月4日
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