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高一数学必修五知识方法回顾(一)
解三角形
一、基础知识
1.正弦定理
(1)(为外接圆的半径)
(2)解决问题：①两边及其一边对角；②两角(三角)一边
(3)边角互化
①，，
②，，
(4)
(5)中，，
①
②
③
(6)中，(大边对大角)
(7)角平分线定理：在中，的角平分线与边相交于点，则.
(8)①， ②
③
(9)已知两边及其一边的对角，用正弦定理判断解的个数
(在中，已知和角)
2.余弦定理
(1)余弦定理：，，
余弦定理的另一种形式
，，
(2)解决问题：①两边夹角求另一边；②三边求角
3.基本结论
(1)在中，分别为角的对边，
(2)为锐角三角形
为钝角三角形(为锐角)
为锐角三角形
4.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方叫仰角，目标视线在水平线下方叫俯角.
(2)方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如点B的方位角为.
二、基础方法
方法1 正、余弦定理的应用
在解三角形，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础，如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系。
例1 的内角所对的边分别为
(1)若成等差数列，证明：；
(2)若成等比数列，求的最小值.
方法2 有关三角形面积问题的求解方法
1.灵活运用正、余弦定理实现边角转化
2.合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等。
3.三角形的面积公式形式多样，选择合适的形式入手，是顺利解题的关键。
例2 在中，内角所对的边分别为.已知，，
.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
方法3 实际应用问题中的解三角形
例3 如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.
现在甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留1后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运行的速度为，山路长为，经测量，，.
(1)求索道的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
三、习题归类跟踪
1.在锐角中，角所对的边长分别为，若，则角等于( )
A. B. C. D.
2.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
3.钝角三角形的面积是，，，则( )
A.5 B. C.2 D.1
4.在中，内角所对的边分别是，若，则的面积是( )
A.3 B. C. D.
5.在中，，，，则
6.在中，内角所对的边分别为.已知的面积为，，，则的值为
7.设的内角的对边分别为，若，，，则
8.若锐角的面积为，且，，则等于
9.如图，在中，已知点在边上，，，，，则的长为 .
10.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度 .
第10题图 第11题图
11.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度约等于 m.(用四舍五入法将结果精确到个位，参考数据：，，，，)
12.已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为
13.在中，内角的对边分别为，已知.
(1)求的值；
(2)若，，求的面积.
14.如图，在中，，，，为内一点，.
(1)若，求；
(2)若，求.
15.中，是上的点，平分，面积是的2倍.
(1)求；
(2)若，求和的长.
16.的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
高一数学必修五知识方法回顾(一)
解三角形参考答案
例1.解析（1）∵成等差数列，∴.
由正弦定理得
∵，
∴.
（2）∵成等比数列，∴.
由余弦定理得
，
当且仅当时等号成立
∴的最小值为.
例2 解析（1）由题意得
，
即，
由，得，又，
∴，
即，
所以.
（2）由，，，得，
由，得，从而，
故，
所以，的面积为
例3 解析 （1）在中，因为，，
所以，.
从而
.
由，得()
所以索道的长为.
(2)设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处130，所以由余弦定理得
.
因，即，故当时，最小，所以乙出发分钟后，甲、乙两游客距离最短.
(3)由，得.
乙从出发时，甲已走了，还需走才能到达.
设乙步行的速度为，由题意得.
解得，所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：)范围内.
三、习题归类跟踪
1.D 解析：由正弦定理可知：，因为为三角形的内角，所以，故，又因为为锐角三角形，所以，故，选D.
2.C 解析：在中，由余弦定理得
，解得，再由正弦定理得，故选C.
3.B ，∴，∴或135°.若，则由余弦定理得，∴为直角三角形，不符合题意，因此，由余弦定理得
，∴.故选B.
4.C ，即①.∵，∴由余弦定理得②，由①和②得，∴，故选 C.
5.答案：1
解析：在中，由余弦定理的推论可得，由正弦定理可知.
6.答案：8
解析：因为，，所以，由得，又因为，所以，由余弦定理得，故.
7.答案：1
解析：在中，由，可得或，结合可知，从而
，利用正弦定理，可得.
8.7
解析：设内角所对的边分别为，由已知及得，因为为锐角，所以，，由余弦定理得，故，即.
9.
解析：.故在中，由余弦定理知：，故.
10.
解析：依题意有，，，，.，
在中，由，得，
有，
在中，，
则此山的高度.
11.60
解析：不妨设气球在地面的投影为点，则，于是，
，
∴.
12.答案：
解析：因为，所以可化为，由正弦定理可得，即
，由余弦定理可得，又，故，因为，所以，当且仅当时取等号.由三角形面积公式知，故面积的最大值为.
13.解析：(1)由正弦定理，设.
则
所以
即
化简可得
又，所以.
因为.
(2)由得.
由余弦定理及，，得，解得，从而.
又因为，且，所以.
因此.
14.解析：（1）由已知得，，所以.
在中，由余弦定理得.故.
（2）设，由已知得.
在中，由正弦定理得，
化简得.
所以，即.
15.解析：（1），.
因为，，所以.
由正弦定理可得.
（2）因为，所以.
在和中，由余弦定理知
，
.
故.
由（1）知，所以.
16.解析（1）由已知及正弦定理得. ①
又，
故. ②
由①②和得.
又，所以.、
（2）的面积.
由已知及余弦定理得.
又，故，当且仅当时，等号成立.
因此面积的最大值为.
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