2015-2016学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数（i为虚数单位）的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度
3．已知变量x，y的取值如表所示：
x
4
5
6
y
8
6
7
如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系是（ ）
A．P＞Q B．P=Q
C．P＜Q D．由a的取值确定
5．设点P对应的复数为﹣3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可能为（ ）
A．（3，π） B．（3，π） C．（3，π） D．（3，π）
6．在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．下列不等式一定成立的是（ ）
A．x2+1≥2|x|（x∈R） B．lg（x2+）＞lgx（x＞0）
C．sinx+≥2（x≠kπ，k∈Z） D．＜1（x∈R）
8．极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线
C．一条直线和一个圆 D．一个圆
9．执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（ ）
A． B． C． D．
10．设n∈N*，f（n）=1+++…+，计算知f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，由此猜测（ ）
A．f（2n）＞ B．f（n2）≥ C．f（2n）≥ D．以上都不对
11．已知x＞0，y＞0，若﹣1≤lg≤2，1≤lg（xy）≤4，则lg的取值范围是（ ）
A．[﹣1，5] B．[﹣1，4] C．（2，6） D．（0，5）
12．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l倾斜角的余弦值为 ．
14．（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点，，O是极点，则△AOB的面积等于 ．
15．若不等式＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是 ．
16．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣1附近波动．经计算xi=11， yi=13， xi2=21，则实数b的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．复数z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i（m∈R），求满足下列条件的m的值．
（1）z是纯虚数；
（2）在复平面内对应的点位于第三象限．
18．如图（1），在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD．BC；若类比该命题，如图（2），三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是否是真命题．
19．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（k为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点M的坐标为（2，3）．求|MA|•|MB|的值．
20．某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？
附表及公示
P（K2≥k）
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
K2=．
21．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．
（1）解不等式f（x）＞1．
（2）当x＞0时，函数g（x）=（a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数a的取值范围．
22．在平面直角坐标系xOy中以原点O为极点以x轴为正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设点P（x，y）是曲线C上任意一点，求xy的最大值和最小值．
2015-2016学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数（i为虚数单位）的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】先对复数进行化简运算，由共轭复数的定义可得答案．
【解答】解： ==，
∴复数（i为虚数单位）的共轭复数为，
故选：B．
2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度
【考点】反证法与放缩法．
【分析】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；
“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；
“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．
【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．
故选B
3．已知变量x，y的取值如表所示：
x
4
5
6
y
8
6
7
如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】线性回归方程．
【分析】根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到的值．
【解答】解：根据所给的三对数据，得到==5， ==7，
∴这组数据的样本中心点是（5，7）
∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，
∴7=5+2，
∴=1．
故选：A．
4．若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系是（ ）
A．P＞Q B．P=Q
C．P＜Q D．由a的取值确定
【考点】分析法和综合法．
【分析】本题考查的知识点是证明的方法，观察待证明的两个式子P=+，Q=+，很难找到由已知到未知的切入点，故我们可以用分析法来证明．
【解答】解：∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，
只要证：2a+7+2＜2a+7+2，
只要证：a2+7a＜a2+7a+12，
只要证：0＜12，
∵0＜12成立，
∴P＜Q成立．
故选C
5．设点P对应的复数为﹣3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可能为（ ）
A．（3，π） B．（3，π） C．（3，π） D．（3，π）
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；点的极坐标和直角坐标的互化．
【分析】根据极坐标的定义先求出极坐标的轴长，后求出P点的角度即可．
【解答】解：复数对应点P（﹣3，3）；
极轴长为：ρ==3，
所以有：，
解得θ=，
故选：C
6．在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】把点的坐标与极坐标方程分别化为直角坐标及其方程，利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：点P（2，）化为：P，即P．
直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为直角坐标方程：x+y﹣6=0，
∴点P到直线的距离d===1．
故选：D．
7．下列不等式一定成立的是（ ）
A．x2+1≥2|x|（x∈R） B．lg（x2+）＞lgx（x＞0）
C．sinx+≥2（x≠kπ，k∈Z） D．＜1（x∈R）
【考点】基本不等式．
【分析】由重要不等式a2+b2≥2ab，即可判断A一定成立；取x=，计算可判断B不一定成立；举x=时，计算判断C不一定成立；取x=0，计算即可判断D不一定成立．
【解答】解：对于A，x2+1≥2|x|，当且仅当x=±1时，取得等号．故A一定成立；
对于B，当x=时，lg（x2+）=lgx，故B不一定成立；
对于C，当x=时，sinx=﹣，sinx+＜2，故C不一定成立；
对于D，当x=0时， =1，故D不一定成立．
故选：A．
8．极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线
C．一条直线和一个圆 D．一个圆
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，就可以得出结论
【解答】解：极坐标方程ρcosθ=2sin2θ可化为：ρcosθ=4sinθcosθ
∴cosθ=0或ρ=4sinθ
∴或x2+y2﹣4y=0
∴极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为一条直线和一个圆
故选C．
9．执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（ ）
A． B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i≤8，即i=2，4，6，8，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．
【解答】解：当i=2时，S=0+=，i=4；
当i=4时，S=+=，i=6；
当i=6时，S=+=，i=8；
当i=8时，S=+=，i=10；
不满足循环的条件i≤8，退出循环，输出S=．
故选A．
10．设n∈N*，f（n）=1+++…+，计算知f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，由此猜测（ ）
A．f（2n）＞ B．f（n2）≥ C．f（2n）≥ D．以上都不对
【考点】类比推理．
【分析】本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的不等式f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，分析不等式左边的自变量，及右边数的与项的关系，我们易得左边的自变量值为2n，右边的分母都为2，分子为n+2，由此归纳推理后，不难等到第n个不等式．
【解答】解：由已知f（2）=f（21）=，
f（4）=f（22）＞，
f（8）=f（23）＞，
f（16）=f（24）＞，
f（32）=f（25）＞，
…
故猜测f（2n）≥．
故选C
11．已知x＞0，y＞0，若﹣1≤lg≤2，1≤lg（xy）≤4，则lg的取值范围是（ ）
A．[﹣1，5] B．[﹣1，4] C．（2，6） D．（0，5）
【考点】不等式的基本性质；对数的运算性质．
【分析】由1≤lg（xy）≤4，﹣1≤lg≤2，可得：1≤lgx+lgy≤4，﹣1≤lgx﹣lgy≤2，而lg=2lgx﹣lgy，设2lgx﹣lgy=m（lgx+lgy）+n（lgx﹣lgy），利用“待定系数法”即可得出．
【解答】解：由1≤lg（xy）≤4，﹣1≤lg≤2，可得：1≤lgx+lgy≤4，﹣1≤lgx﹣lgy≤2，
而lg=2lgx﹣lgy
设2lgx﹣lgy=m（lgx+lgy）+n（lgx﹣lgy），
∴，
解得m=，n=．
∴lg=2lgx﹣lgy=（lgx+lgy）+（lgx﹣lgy），
∴﹣1≤lg≤5，
故选：A．
12．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】归纳推理．
【分析】由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出m3的“分裂数”中有一个是59时，m的值．
【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，
59是从3开始的第29个奇数
当m=7时，从23到73，用去从3开始的连续奇数共=27个
当m=8时，从23到83，用去从3开始的连续奇数共=35个
故m=8
故选C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l倾斜角的余弦值为 ．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】设直线l倾斜角为θ．直线l的参数方程为（t为参数）化为，可得tanθ=﹣，利用三角函数的定义即可得出．
【解答】解：设直线l倾斜角为θ．
直线l的参数方程为（t为参数）化为，
则tanθ=﹣，
∵θ∈（0，π），
∴=﹣．
故答案为：﹣．
14．（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点，，O是极点，则△AOB的面积等于 ．
【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．
【分析】根据点的极坐标的意义可得 OA=1，OB=3，∠AOB=，由此求得△AOB的面积sin∠AOB的值．
【解答】解：在极坐标系下，点，，O是极点，则OA=1，OB=3，∠AOB=﹣=，
∴△AOB的面积等于sin∠AOB=，
故答案为．
15．若不等式＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是 （1，3） ．
【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】由题意求出的最小值，只要|a﹣2|+1小于最小值，即可满足题意，求出a的范围即可．
【解答】解：∵x与同号，∴．（当且仅当x=±1时取“=”）
∴2＞|a﹣2|+1．∴|a﹣2|＜1，解得1＜a＜3．
故答案为：（1，3）
16．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣1附近波动．经计算xi=11， yi=13， xi2=21，则实数b的值为 ．
【考点】线性回归方程．
【分析】求出各对应点的坐标，代入曲线方程，可以求出实数b的值．
【解答】解：根据题意，把对应点的坐标代入曲线y=bx2﹣1，
y1=bx12﹣1，y2=bx22﹣1，…y6=bx62﹣1，
∴y1+y2+…+y6=b（x12+x22+…+x62）﹣6，
∴13=b×21﹣6，
∴b=，
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．复数z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i（m∈R），求满足下列条件的m的值．
（1）z是纯虚数；
（2）在复平面内对应的点位于第三象限．
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】（1）利用纯虚数的定义和性质求解．
（2）利用z在复平面内对应的点位于第三象限的性质求解．
【解答】解：（1）若z是纯虚数，
则，
解得m=﹣2．…
（2）若z在复平面内对应的点位于第三象限，
则
解得﹣3＜m＜﹣2．…
18．如图（1），在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD．BC；若类比该命题，如图（2），三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是否是真命题．
【考点】四种命题的真假关系；类比推理．
【分析】利用类比推理，将平面中的线与空间中的面类比，得到类比结论．
通过连接DM，据BC⊥AM，BC⊥AD得到BC⊥ADE得到BC⊥ED得到满足平面条件的三角形AED，利用平面三角形的性质得证．
【解答】解：命题是：三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，
则有S△ABC2=S△BCM•S△BCD是一个真命题．
证明如下：
在图（2）中，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC．
因为AD⊥面ABC，所以AD⊥AE．
又AM⊥DE，所以AE2=EM•ED．
于是==S△BCM•S△BCD．
故有S△ABC2=S△BCM•S△BCD
19．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（k为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点M的坐标为（2，3）．求|MA|•|MB|的值．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（I）将极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出圆C的直角坐标方程；
（II）求出直线l的标准参数方程，代入圆C的方程，利用根与系数的关系得出|MA|•|MB|的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵ρ=2sinθ，∴ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．
∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，即x2+（y﹣1）2=1．
（Ⅱ）直线l的标准参数方程为（t为参数）．
代入圆C的直角坐标方程，得．
即，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1•t2=7．
∴|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=7．
20．某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？
附表及公示
P（K2≥k）
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
K2=．
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；
（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．
【解答】解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，
25周岁以下组工人100×=40名，
所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），
25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），
故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，
其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共=7种，
故所求的概率为：；
（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），
“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以可得K2=≈1.79，
因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
21．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．
（1）解不等式f（x）＞1．
（2）当x＞0时，函数g（x）=（a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数a的取值范围．
【考点】绝对值三角不等式；分段函数的应用．
【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的解集．
（2）由条件利用基本不等式求得，f（x）∈[﹣3，1），再由，求得a的范围．
【解答】（1）解：当x＞2时，原不等式可化为x﹣2﹣x﹣1＞1，此时不成立；
当﹣1≤x≤2时，原不等式可化为2﹣x﹣x﹣1＞1，即﹣1≤x＜0，
当x＜﹣1时，原不等式可化为2﹣x+x+1＞1，即x＜﹣1，
综上，原不等式的解集是{x|x＜0}．
（2）解：因为当x＞0时，，当且仅当时“=”成立，
所以，，所以f（x）∈[﹣3，1），
∴，即a≥1为所求．
22．在平面直角坐标系xOy中以原点O为极点以x轴为正半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设点P（x，y）是曲线C上任意一点，求xy的最大值和最小值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）原方程可化为，把代入化简即可得出．
（Ⅱ）设，，代入化简，利用同角三角函数基本关系式、三角函数单调性即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）原方程可化为，
即ρ2﹣4ρcosθ﹣sinθ+6=0，
∵，
∴x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．
（Ⅱ）设，，
则=，
设t=cosθ+sinθ，则，∴，
t2=1+2sinθcosθ，从而2sinθcosθ=t2﹣1．
∴xy=t2+2t+3=+1，
当时，xy取得最小值1；当时，xy取得最大值9．
2016年8月4日
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