河北省衡水市武邑中学2016届高三上学期期末数学试卷（理科） Word版（含解析）.doc

‎2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎2．设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a=（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣ D．‎ ‎3．已知M=，由图示程序框图输出的S为（　　）‎ A．1 B．ln2 C． D．0‎ ‎4．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=2，则a1=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎5．已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线y=的准线相切，则m的值等于（　　）‎ A．± B． C． D．±‎ ‎6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．下列命题正确的个数是（　　）‎ ‎（1）命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实根，则m≤0”‎ ‎（2）对于命题p：“∃x∈R使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”‎ ‎（3）“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 ‎（4）若p∧q为假命题，则p，q均为假命题．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎8．对于数列{an}，定义数列{an+1﹣an}为数列{an}的“等差列”，若a1=2，{an}的“等差列”的通项公式为2n，则数列{an}的前2015项和S2015=（　　）‎ A．22016﹣1 B．22016 C．22016+1 D．22016﹣2‎ ‎9．已知x0是的一个零点，x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），则（　　）‎ A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞0‎ ‎10．已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，0] B．[﹣2，0） C．[0，2] D．（0，2]‎ ‎12．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（　　）‎ A．7π B．19π C． π D． π ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，1），且⊥，则tanθ的值是　　　　　　．‎ ‎14．若函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是　　　　　　．‎ ‎15．若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为　　　　　　．‎ ‎16．点P为双曲线右支上第一象限内的一点，其右焦点为F2，若直线PF2的斜率为，M为线段PF2的中点，且|OF2|=|F2M|，则该双曲线的离心率为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知△ABC的面积为S，且．‎ ‎（1）求tan2A的值；‎ ‎（2）若，，求△ABC的面积S．‎ ‎18．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在为“老年人”．‎ ‎（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；‎ ‎（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎19．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．‎ ‎（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．‎ ‎20．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=|BF|．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若点M（﹣，）在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．‎ ‎21．已知函数，其中常数a＞0．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）已知，f'（x）表示f（x）的导数，若x1，x2∈（﹣a，a），x1≠x2，且满足f′（x1）+f′（x2）=0，试比较f′（x1+x2）与f′（0）的大小，并加以证明．‎ ‎　‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．‎ ‎（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；‎ ‎（Ⅱ）若AC=AP，求的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，‎ ‎（1）求半圆C1的参数方程；‎ ‎（2）设动点A在半圆C1上，动线段OA的中点M的轨迹为C2，点D在C2上，C2在点D处的切线与直线平行，求点D的直角坐标．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知m，n∈R+，f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．‎ ‎（1）求f（x）的最小值；‎ ‎（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值．‎ ‎　‎ ‎2015-2016学年河北省衡水市武邑中学高三（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】根据集合的基本运算进行求解．‎ ‎【解答】解：A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，17，…}，‎ 则A∩B={8，14}，‎ 故集合A∩B中元素的个数为2个，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a=（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．﹣ D．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：∵复数===是纯虚数，‎ ‎∴=0，≠0，‎ 解得a=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．已知M=，由图示程序框图输出的S为（　　）‎ A．1 B．ln2 C． D．0‎ ‎【考点】定积分；程序框图．‎ ‎【分析】根据积分的定义，分别解出M和N，再判断M与N的大小，代入程序图进行求解．‎ ‎【解答】解：∵M=dx=ln（x+1）|=ln2，N=cosxdx=sinx|=1，‎ ‎∴ln2＜1‎ ‎∴M＜N，‎ 由程序图可知求两个数的最大值，输出的是最小的一个数，‎ ‎∴S=ln2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=2，则a1=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】设公比为q＞0，由题意可得=2，a1q=2，由此求得a1的值．‎ ‎【解答】解：设公比为q＞0，由题意可得=2，a1q=2，‎ 解得 a1==q，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线y=的准线相切，则m的值等于（　　）‎ A．± B． C． D．±‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由抛物线的方程找出P，写出抛物线的准线方程，因为准线方程与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．‎ ‎【解答】解：由抛物线的方程得到p=2，所以抛物线的准线为y=﹣=﹣1，‎ 将圆化为标准方程得： +y2=，圆心坐标为（﹣，0），圆的半径r=，‎ 圆心到直线的距离d==1=r=，‎ 化简得：m2=3，解得m=±．‎ 故选D ‎　‎ ‎6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图．‎ ‎【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：‎ 则该几何体的左视图为C．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．下列命题正确的个数是（　　）‎ ‎（1）命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实根，则m≤0”‎ ‎（2）对于命题p：“∃x∈R使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”‎ ‎（3）“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 ‎（4）若p∧q为假命题，则p，q均为假命题．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】直接写出命题的逆否命题判断（1）；写出命题的否定判断（2）；求出方程的解后利用充分必要条件的判定方法判断C；由复合命题的真假判断判断D．‎ ‎【解答】解：对于（1），命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实根，则m≤0”，故（1）正确；‎ 对于（2），命题p：“∃x∈R使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故（2）正确；‎ 对于（3），由x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2，∴“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故（3）正确；‎ 对于（4），若p∧q为假命题，则p，q中至少一个为假命题，故（4）错误．‎ ‎∴正确命题的个数有3个．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．对于数列{an}，定义数列{an+1﹣an}为数列{an}的“等差列”，若a1=2，{an}的“等差列”的通项公式为2n，则数列{an}的前2015项和S2015=（　　）‎ A．22016﹣1 B．22016 C．22016+1 D．22016﹣2‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】利用“累加求和”及其等比数列的前n项和公式可得an，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a1=2，{an}的“等差列”的通项公式为2n，‎ ‎∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1‎ ‎=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2‎ ‎=+1=2n．‎ ‎∴数列{an}的前2015项和S2015=2+22+…+22015==22016﹣2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．已知x0是的一个零点，x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），则（　　）‎ A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞0‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】已知x0是的一个零点，可令h（x）=，g（x）=﹣，画出h（x）与g（x）的图象，判断h（x）与g（x）的大小，从而进行求解；‎ ‎【解答】解：∵已知x0是的一个零点，x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），‎ 可令h（x）=，g（x）=﹣，‎ 如下图：‎ 当0＞x＞x0，时g（x）＞h（x），h（x）﹣g（x）=＜0；‎ 当x＜x0时，g（x）＜h（x），h（x）﹣g（x）=＞0；‎ ‎∵x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），‎ ‎∴f（x1）＞0，f（x2）＜0，‎ 故选C；‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．‎ ‎【分析】由题意可得区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）=sin（2ωx+）+，再根据2016π≥•，求得ω的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意可得，f（x0）是函数f（x）的最小值，f（x0+2016π）是函数f（x）的最大值．‎ 显然要使结论成立，只需保证区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可．‎ 又f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）=sin2ωx+=sin（2ωx+）+，‎ 故2016π≥•，求得ω≥，‎ 故则ω的最小值为，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，0] B．[﹣2，0） C．[0，2] D．（0，2]‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=•，求出z的表达式，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：不等式组等价为，‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 设z=•，‎ ‎∵A（﹣1，1），M（x，y），‎ ‎∴z=•=x﹣y，‎ 即y=x﹣z，‎ 平移直线y=x﹣z，由图象可知当y=x﹣z，经过点D（0，2）时，直线截距最大，此时z最小为z=0﹣2=﹣2．‎ 当直线y=x﹣z，经过点B（1，1）时，直线截距最小，此时z最大为z=1﹣1=0．‎ 故﹣2≤z＜0，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（　　）‎ A．7π B．19π C． π D． π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．‎ ‎【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，‎ 三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC=，∴∠BDC=120°，∴△BDC的外接圆的半径为=1‎ 由题意可得：球心到底面的距离为，‎ ‎∴球的半径为r==．‎ 外接球的表面积为：4πr2=7π 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，1），且⊥，则tanθ的值是　﹣　．‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】由向量的数量积的性质可知， •==0，然后结合同角基本关系tanθ=可求 ‎【解答】解：由向量的数量积的性质可知， ==0‎ ‎∴tanθ==．‎ 故答案为：﹣‎ ‎　‎ ‎14．若函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是　（﹣∞，0）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的定义域，函数的导数，利用导数值求解a的范围．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x+alnx的定义域为：x＞0．‎ 函数f（x）=x+alnx的导数为：f′（x）=1+，‎ 当a≥0时，f′（x）＞0，函数是增函数，‎ 当a＜0时，函数f（x）=x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．‎ 故答案为：（﹣∞，0）．‎ ‎　‎ ‎15．若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为　﹣15　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】根据展开式的各项系数绝对值之和为4n=1024，求得n=5．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求得r的值，可得展开式中x项的系数．‎ ‎【解答】解：在的展开式中，令x=1，‎ 可得展开式的各项系数绝对值之和为4n=22n=1024=210，‎ ‎∴n=5．‎ 故展开式的通项公式为Tr+1=‎ 令=1，求得r=1，故展开式中x项的系数为﹣15．‎ 故答案为：﹣15．‎ ‎　‎ ‎16．点P为双曲线右支上第一象限内的一点，其右焦点为F2，若直线PF2的斜率为，M为线段PF2的中点，且|OF2|=|F2M|，则该双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设|PF2|=t，则|OF2|=|F2M|=t=c，求得直线PF2的倾斜角为60°，由三角函数的定义，可得P（2c， c），代入双曲线的方程，运用a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设|PF2|=t，则|OF2|=|F2M|=t=c，‎ 即t=2c，由直线PF2的斜率为，可得 直线PF2的倾斜角为60°，‎ 可得P（c+2ccos60°，2csin60°），‎ 即为P（2c， c），代入双曲线的方程可得 ‎﹣=1，‎ 由b2=c2﹣a2，e=，可得4e2﹣=1，‎ 化为4e4﹣8e2+1=0，‎ 解得e2=（舍去），‎ 即有e=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知△ABC的面积为S，且．‎ ‎（1）求tan2A的值；‎ ‎（2）若，，求△ABC的面积S．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】（1）由已知和三角形的面积公式可得，进而可得tanA=2，由二倍角的正切公式可得答案；‎ ‎（2）由（1）中的tanA=2，可得sinA，cosA，由两角和的正弦公式可得sinC，结合正弦定理可得边b，代入面积公式可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．‎ ‎∵，∴，…‎ ‎∴，∴tanA=2．…‎ ‎∴．…‎ ‎（2），即，…‎ ‎∵tanA=2，∴…，‎ ‎∴，‎ 解得．…‎ ‎∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…‎ 由正弦定理知：，可推得…‎ ‎∴．…‎ ‎　‎ ‎18．退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在为“老年人”．‎ ‎（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；‎ ‎（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】（1）由频率分布直方图，能估算所调查的600人的平均年龄．‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，“老年人”所占频率，由题意知，X～B（3，），由此能求出随机变量X的分布列和数学期望EX．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图，估算所调查的600人的平均年龄为：‎ ‎25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．‎ ‎（2）由频率分布直方图可知，“老年人”所占频率，‎ ‎∴该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，抽到“老年人”的概率为．‎ 又题意知，X～B（3，），‎ ‎∴P（X=0）==，‎ P（X=1）==，‎ P（X=2）==，‎ P（X=3）==，‎ ‎∴随机变量X的分布列如下表：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎∴随机变量X的数学期望EX==．…‎ ‎　‎ ‎19．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．‎ ‎（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连接BO，DO，由题设条件推导出DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，由已知条件推导出∠EBF=60°，由此能证明DE∥平面ABC．‎ ‎（Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，能推导出∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．‎ 法二：以OA为x轴，以OB为y轴，以OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，‎ 取AC中点O，连接BO，DO，‎ 则BO⊥AC，DO⊥AC，…‎ 又∵平面ACD⊥平面ABC，‎ ‎∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，‎ 那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，‎ ‎∵BE和平面ABC所成的角为60°，‎ ‎∴∠EBF=60°，‎ ‎∵BE=2，∴，…‎ ‎∴四边形DEFO是平行四边形，‎ ‎∴DE∥OF，‎ ‎∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC，‎ ‎∴DE∥平面ABC．…‎ ‎（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，‎ ‎∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG=F，‎ ‎∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，‎ ‎∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．…‎ Rt△EFG中，，，．‎ ‎∴．‎ 即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…‎ 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，‎ B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，，），‎ ‎∴=（﹣1，﹣，0），=（0，﹣1，），‎ 平面ABC的一个法向量为 设平面BCE的一个法向量为 则，∴，‎ ‎∴．…‎ 所以，‎ 又由图知，所求二面角的平面角是锐角，‎ 二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…‎ ‎　‎ ‎20．如图，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=|BF|．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若点M（﹣，）在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知得，由此能求出．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，设椭圆C：．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，，得，直线l的方程为2x﹣y+2=0．由，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎【解答】（本题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由已知，‎ 即，‎ ‎4a2+4b2=5a2，4a2+4（a2﹣c2）=5a2，‎ ‎∴．…‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，‎ ‎∴椭圆C：．‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 由，，得，‎ 即，‎ 即，‎ 从而，‎ 进而直线l的方程为，‎ 即2x﹣y+2=0．…‎ 由，‎ 即17x2+32x+16﹣4b2=0．‎ ‎.，．‎ ‎∵OP⊥OQ，∴，‎ 即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0．‎ 从而，解得b=1，‎ ‎∴椭圆C的方程为．…‎ ‎　‎ ‎21．已知函数，其中常数a＞0．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）已知，f'（x）表示f（x）的导数，若x1，x2∈（﹣a，a），x1≠x2，且满足f′（x1）+f′（x2）=0，试比较f′（x1+x2）与f′（0）的大小，并加以证明．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间即可；‎ ‎（2）令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，得到g（x）的单调性，得到f′（x1+x2）的表达式，通过换元法求出其最大值，从而判断出与f′（0）的大小即可．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣a，+∞），‎ 由f'（x）=0，得x1=0，，…‎ 当时，，‎ 所以f（x）在上为增函数；…‎ 当时，，‎ 所以f（x）在（0，+∞），上为增函数；在上为减函数；…‎ 当时，，‎ 所以f（x）在，（﹣a，0）上为增函数；在上为减函数；…‎ ‎（2）令 则，‎ ‎∵﹣a＜x＜a，‎ ‎∴0＜x+a＜2a，‎ ‎∴，‎ ‎∴g'（x）＜0，‎ ‎∴g（x）在（﹣a，a）上为减函数，即f'（x）在（﹣a，a）上为减函数，‎ 以题意，不妨设x1＜x2，又因为f'（0）=0，f'（x1）+f'（x2）=0，…‎ 所以，﹣a＜x1＜0＜x2＜a，所以，0＜x1+a＜a，且﹣a＜x1+x2＜a，‎ 由f'（x1）+f'（x2）=0，得，‎ ‎∴=，…‎ 令t=x1+a，‎ 则，…‎ 所以，h（t）在（0，a）内为增函数，又因为t=x1+a∈（0，a）‎ 所以，h（t）＜h（a）═0，‎ 即：‎ 所以，f'（x1）+f'（x2）＜f'（0）．…‎ ‎　‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．‎ ‎（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；‎ ‎（Ⅱ）若AC=AP，求的值．‎ ‎【考点】弦切角；相似三角形的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，结合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；‎ ‎（Ⅱ）根据AC=AP得到∠APC=∠C，结合（I）中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得．利用直角三角形中正切的定义，得到，最后通过内角相等证明出△APC∽△BPA，从而．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，‎ ‎∴∠BAP=∠C．‎ 又∵∠APD=∠CPE，‎ ‎∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．‎ ‎∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，‎ ‎∴∠ADE=∠AED．…‎ ‎（Ⅱ） 由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，‎ ‎∵∠APC=∠BPA，‎ ‎∵AC=AP，‎ ‎∴∠APC=∠C ‎∴∠APC=∠C=∠BAP．‎ 由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．‎ ‎∵BC是圆O的直径，‎ ‎∴∠BAC=90°．‎ ‎∴∠APC+∠C+∠BAP=180°﹣90°=90°．‎ ‎∴．‎ 在Rt△ABC中，，即，‎ ‎∴．‎ ‎∵在△APC与△BPA中 ‎∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，‎ ‎∴△APC∽△BPA．‎ ‎∴．‎ ‎∴． …‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，‎ ‎（1）求半圆C1的参数方程；‎ ‎（2）设动点A在半圆C1上，动线段OA的中点M的轨迹为C2，点D在C2上，C2在点D处的切线与直线平行，求点D的直角坐标．‎ ‎【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）首先把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步转化成参数方程，注意参数的取值范围．‎ ‎（2）由中点坐标公式求得点M的坐标，易得曲线C2的参数方程，结合切线与平行线的性质来求得点D的坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1）半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，，‎ 转化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0（0≤x≤2）‎ 再把半圆C1化为参数方程为：（α为参数，﹣≤α≤）；‎ ‎（2）设M（x，y），由中点坐标公式，得：‎ x==cosα，y==1+sinα．‎ 所以曲线C2的参数方程为：（α为参数，≤α≤），‎ 因为C2在点D处的切线与直线平行，则点D对应的参数α=+=．‎ 由曲线C2的参数方程得，xD=cos=﹣，yD=1+sin=．‎ 故点D的直角坐标为（﹣，）．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知m，n∈R+，f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．‎ ‎（1）求f（x）的最小值；‎ ‎（2）若f（x）的最小值为2，求的最小值．‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】（1）化绝对值函数为f（x）=，从而判断函数的单调性及最值即可；‎ ‎（2）由基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=，‎ ‎∴f（x）在是减函数，在是增函数；‎ ‎∴当x=时，f（x）取最小值=．‎ ‎（2）由（1）知，f（x）的最小值为，‎ ‎∴=2，∵m，n∈R+，‎ ‎，‎ ‎（当且仅当，即m=1，n=2时，取等号），‎ ‎∴的最小值为2．‎ ‎　‎ ‎2016年8月4日