【2015/2016】
1、【2015高考上海文数】设为的反函数，则 .
【答案】
【解析】因为为的反函数，，解得，所以.
【考点定位】反函数，函数的值.
【名师点睛】点在原函数的图象上，在点必在反函数的图象上.两个函数互为反函数，则图象关于直线对称.
2.【2015高考上海文数】方程的解为 .
【答案】2
【考点定位】对数方程.
【名师点睛】利用，将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.
3. 【2016高考上海文数】已知点在函数的图像上，则.
【答案】
【解析】试题分析：
将点（3，9）代入函数中得，所以，用表示得，所以.
【考点】反函数的概念以及指、对数式的转化
【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解（反解x）、二换（x与y互换）、三注（注意定义域）.本题较为容易.
4. 【2016高考上海文数】设、、是定义域为的三个函数．对于命题：①若、、均是增函数，则、、均是增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.
(A)①和②均为真命题 (B)①和②均为假命题
(C)①为真命题，②为假命题 (D)①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】
【考点】抽象函数、函数的单调性、函数的周期性
【名师点睛】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，是高考常考内容.本题有一定难度.解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项或通过举反例应用“排除法”等.本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等.
5. 【2015高考上海文数】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知函数，其中为实数.
（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.
【答案】（1）是非奇非偶函数；（2）函数在上单调递增.
【考点定位】函数的奇偶性、单调性.
【名师点睛】函数单调性的判断
(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．
(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．
(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．
(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．
6. 【2016高考上海文数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分.
有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到点或河边运走.于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图.
（1）求菜地内的分界线的方程；
（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为.设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另有一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的“经验值”.
【答案】（1）（）；（2）矩形面积为，五边形面积为，五边形面积更接近于面积的“经验值”．
【解析】
（2）依题意，点的坐标为．
所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差
的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”．
【考点】抛物线的定义及其标准方程、面积计算
【名师点睛】本题主要考查抛物线的实际应用，“出奇”之处在于有较浓的“几何味”，即研究几何图形的面积，解题关键在于能读懂题意.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力、数学的应用意识等.
7.【2016高考上海文数】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知R，函数=.
（1）当时，解不等式>1；
（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；
（3）设>0，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【解析】
（2）有且仅有一解，
等价于有且仅有一解，等价于有且仅有一解．
当时，，符合题意；
当时，，．
综上，或．
【考点】对数函数的性质、函数与方程、二次函数的性质
【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答本题的关键是利用转化与化归思想、应用函数的性质，将问题转化成二次函数问题，再应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题的易错点是将复杂式子进行变形的能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.
一．基础题组
1. 【2014上海,文3】设常数，函数，若，则 .
【答案】3
【解析】由题意，则，所以.
【考点】函数的定义.
2. 【2014上海,文9】设若是的最小值，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意，当时，的极小值为，当时，极小值为，是的最小值，则.
【考点】函数的最值问题..
3. 【2014上海,文11】若，则满足的取值范围是 .
【答案】
【考点】幂函数的性质.
4. 【2013上海,文8】方程＝3x的实数解为______．
【答案】log34
【解析】＋1＝3x＝3x－13x－1＝±33x＝±3＋1＞03x＝4x＝log34.
5. 【2013上海,文15】函数f(x)＝x2－1(x≥0)的反函数为f－1(x)，则f－1(2)的值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由反函数的定义可知，x≥0,2＝f(x)＝x2－1x＝，选A.
6. 【2012上海,文6】方程4x－2x＋1－3＝0的解是__________．
【答案】log23
【解析】原方程可化为(2x)2－2×2x－3＝(2x－3)(2x＋1)＝0，所以2x＝3，x＝log23.
7. 【2012上海,文9】已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__________.
【答案】3
【解析】由g(1)＝f(1)＋2＝1，得f(1)＝－1.
由f(x)为奇函数得f(－1)＝1.
所以g(－1)＝f(－1)＋2＝1＋2＝3.
8. 【2012上海,文13】已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)，B(，1)，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为__________．
【答案】
9. 【2011上海,文3】若函数f(x)＝2x＋1的反函数为f－1(x)，则f－1(－2)＝________.
【答案】
【解析】
10. 【2011上海,文14】设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数．若函数f(x)＝x＋g(x)在区间0,1]上的值域为－2,5]，则f(x)在区间0,3]上的值域为________．
【答案】－2,7]
【解析】
11. 【2011上海,文15】下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1 C．y＝x2 D．
【答案】A
【解析】
12. 【2010上海,文9】 函数f(x)＝log3(x＋3)的反函数的图像与y轴的交点坐标是________．
【答案】 (0，－2)
【解析】法一：函数f(x)＝loga(x＋3)的反函数为g(x)＝ax－3，而g(0)＝a0－3＝－2.
∴g(x)的图像都过点(0，－2)．
法二：∵f(－2)＝loga1＝0，∴函数f(x)的图像都过点(－2,0)，
又∵原函数与其反函数的图像关于直线y＝x对称，
∴其反函数的图像经过点(0，－2)．
13. 【2010上海,文17】若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间 …( )
A．(0,1) B．(1,1.25)
C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)
【答案】D
14. (2009上海,文1)函数=x3+1的反函数f-1(x)=__________.
【答案】
【解析】∵x∈R,∴∈R.
由y=x3+1,得.
故该函数的反函数为f-1(x)= ,x∈R.
15. 【2008上海,文4】若函数的反函数为，则 ．
【答案】
【解析】令则且
16. 【2008上海,文9】若函数（常数）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式 ．
【答案】
【解析】是偶函数，则其图象关于
y轴对称, 且值域为，
17. 【2008上海,文11】在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．如果
是围成的区域（含边界）上的点，那么当取到最大值时，点的坐标
是 ．
【答案】
18. 【2007上海,文1】方程的解是 .
【答案】
【解析】
19．【2007上海,文2】函数的反函数 .
【答案】
【解析】
20. 【2007上海,文8】某工程由四道工序组成，完成它们需用时间依次为天.四道工序的先后顺序及相互关系是：可以同时开工；完成后，可以开工；完成后，可以开工.若该工程总时数为9天，则完成工序需要的天数最大是 .
【答案】3
【解析】
21.【2007上海,文15】设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”. 那么，下列命题总成立的是（ ）
Ａ.若成立，则成立 Ｂ.若成立，则成立
Ｃ.若成立，则当时，均有成立
Ｄ.若成立，则当时，均有成立
【答案】D
【解析】
22. 【2006上海,文3】若函数的反函数的图像过点，则.
【答案】
23. 【2006上海,文8】方程的解是_______.
【答案】5
【解析】方程的解满足，解得x=5.
24. 【2005上海,文1】函数的反函数=__________.
【答案】
【解析】
反函数=
25. 【2005上海,文2】方程的解是__________.
【答案】x=0
【解析】
26.【2005上海,文13】若函数，则该函数在上是（ ）
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
【答案】A
二．能力题组
1. 【2014上海,文20】（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6
分，第二小题满分1分.
设常数，函数
（1） 若=4，求函数的反函数；
（2） 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.
【答案】（1），；（2）时为奇函数，当时为偶函数，当且时为非奇非偶函数．
【解析】
【考点】反函数，函数奇偶性．
2. 【2013上海,文20】甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每一小时可获得的利润是元．
(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为元；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．
【答案】(1) 参考解析;(2) 甲厂应以 6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元
【解析】(1)生产a千克该产品，所用的时间是小时，
所获得的利润为.
所以，生产a千克该产品所获得的利润为元．
3. 【2013上海,文21】已知函数f(x)＝2sin(ωx)，其中常数ω＞0.
(1)令ω＝1，判断函数F(x)＝f(x)＋的奇偶性，并说明理由；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图像．对任意aR，求y＝g(x)在区间a，a＋10π]上零点个数的所有可能值．
【答案】(1) F(x)既不是奇函数，也不是偶函数;(2) 可能值为21或20
【解析】(1)f(x)＝2sinx，
F(x)＝f(x)＋＝2sinx＋2sin＝2(sinx＋cosx)．
＝，＝0，≠，≠－．
所以，F(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)f(x)＝2sin2x，
将y＝f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y＝2sin2＋1的图像，所以g(x)＝2sin2＋1.
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(kZ)．
因为a，a＋10π]恰含10个周期，所以，
当a是零点时，在a，a＋10π]上零点个数为21；
当a不是零点时，a＋kπ(kZ)也都不是零点，区间a＋kπ，a＋(k＋1)π]上恰有两个零点，故在a，a＋10π]上有20个零点．
综上，y＝g(x)在a，a＋10π]上零点个数的所有可能值为21或20.
4. 【2012上海,文20】已知函数f(x)＝lg(x＋1)．
(1)若0＜f(1－2x)－f(x)＜1，求x的取值范围；
(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)(x∈1,2])的反函数．
【答案】(1) ;(2) y＝3－10x ，x∈0，lg 2]
5. 【2012上海,文21】海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.
(1)当t＝0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
【答案】(1) 北偏东弧度; (2) 时速至少是25海里才能追上失事船
6. 【2011上海,文21】已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时的x的取值范围．
【答案】(1) 函数f(x)单调递减; (2) 参考解析
7. 【2010上海,文19】已知0＜x＜，化简：lg(cosx·tanx＋1－2sin2)＋lgcos(x－)]－lg(1＋sin2x)．
【答案】0
【解析】原式＝lg(sinx＋cosx)＋lg(sinx＋cosx)－lg(1＋sin2x)＝lg＝lg＝0.
8. 【2010上海,文22】若实数x、y、m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.
(1)若x2－1比3接近0，求x的取值范围；
(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab；
(3)已知函数f(x)的定义域D＝{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f(x)等于1＋sinx和1－sinx中接近0的那个值．写出函数f(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明)．
【答案】(1) (－2,2); (2)参考解析; (3)参考解析
【解析】(1)解：由题意得|x2－1|＜3，即－3＜x2－1＜3，解得－2＜x＜2.
∴x的取值范围是(－2,2)
(2)证明：当a、b是不相等的正数时，
a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a－b)2(a＋b)＞0，
又a2b＋ab2＞2ab，则a3＋b3＞a2b＋ab2＞2ab＞0，
于是，|a2b＋ab2－2ab|＜|a3＋b3－2ab|，
∴a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
9. (2009上海,文21)有时可用函数描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*),表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.
(1)证明:当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-总是下降;
(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121］,(121,127］,(127,133］.当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.
【答案】(1)参考解析; (2) 乙学科
10. 【2008上海,文17】（本题满分13分）
如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）．
【答案】445
【解析】
【解法一】设该扇形的半径为r米. 由题意，得
CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=……………………………4分
在中，……………6分
即…………………….9分
解得（米）. …………………………………………….13分
【解法二】
11. 【2008上海,文19】（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．
已知函数．
（1）若，求的值；
（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）;（2）
【解析】（1）. …………….2分
由条件可知，解得 …………6分
∵ …………..8分
12. 【2007上海,文18】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%. 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）.
（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
【答案】（1）2499.8兆瓦;（2）
【解析】（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为，，，.则2006年全球太阳电池的年生产量为
(兆瓦).
（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则.
解得.
因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到.
13.【2007上海,文19】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
已知函数，常数.
（1）当时，解不等式；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.
【答案】（1）;（2）参考解析
14. 【2006上海,文22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分
已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值.
（2）设常数，求函数的最大值和最小值；
（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由.
【答案】（1）4;（2）参考解析;（3）参考解析
【解析】 (1) 由已知得=4, ∴b=4.
(2) ∵c∈1,4], ∴∈1,2],
于是,当x=时, 函数f(x)=x+取得最小值2.
f(1)－f(2)=,
当1≤c≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+；
当2≤c≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.
15. 【2005上海,文19】（本题满分14分）已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数.
（1）求的值；
（2）当满足时，求函数的最小值.
【答案】（1）k=1,b=2;（2）-3
【解析】(1)由已知得A(,0),B(0,b),则={,b},于是=2,b=2. ∴k=1,b=2.
(2)由f(x)> g(x),得x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)
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