人教版八年级上册《13.3等腰三角形》同步测试题（含答案解析）.docx

等腰三角形测试题 时间：90分钟 总分： 100‎ 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）‎ 1. 如图，在▱ABCD中，AB=3‎，AD=5‎，‎∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为‎(‎　　‎‎)‎ A. 3 B. ‎2.5‎ C. 2 D. ‎1.5‎ ‎ 2. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，‎∠DHO=‎‎20‎‎∘‎，则‎∠CAD的度数是‎(‎　　‎)‎ ​‎ A. ‎20‎‎∘‎ B. ‎25‎‎∘‎ C. ‎30‎‎∘‎ D. ‎‎40‎‎∘‎ 3. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为‎50‎‎∘‎，那么这个等腰三角形的顶角等于‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎15‎‎∘‎或‎75‎‎∘‎ B. ‎140‎‎∘‎ C. ‎40‎‎∘‎ D. ‎140‎‎∘‎或‎40‎‎∘‎ 4. 已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是‎(‎　　‎‎)‎ A. 18cm B. 21cm C. 18cm或21cm D. 无法确定 5. 如图，‎△ODC是由‎△OAB绕点O顺时针旋转‎30‎‎∘‎后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且‎∠AOC的度数为‎100‎‎∘‎，则‎∠B的度数是‎(‎　　‎)‎ ‎ A. ‎40‎‎∘‎ B. ‎35‎‎∘‎ C. ‎30‎‎∘‎ D. ‎‎15‎‎∘‎ 6. 如果一个等腰三角形的一个角为‎30‎‎∘‎，则这个三角形的顶角为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎120‎‎∘‎ B. ‎30‎‎∘‎ C. ‎90‎‎∘‎ D. ‎120‎‎∘‎或‎30‎‎∘‎ 7. 如图，‎△ABC中，AB+BC=10‎，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则‎△BCD的周长是‎(‎　　‎‎)‎ A. 6 B. 8 C. 10 D. 无法确定 ‎ 8. 已知a、b、c是‎△ABC的三条边，且满足a‎2‎‎+bc=b‎2‎+ac，则‎△ABC是‎(‎　　‎‎)‎ 第15页，共16页 等腰三角形测试题 时间：90分钟 总分： 100‎ 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）‎ 1. 如图，在▱ABCD中，AB=3‎，AD=5‎，‎∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为‎(‎　　‎‎)‎ A. 3 B. ‎2.5‎ C. 2 D. ‎1.5‎ ‎ 2. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，‎∠DHO=‎‎20‎‎∘‎，则‎∠CAD的度数是‎(‎　　‎)‎ ​‎ A. ‎20‎‎∘‎ B. ‎25‎‎∘‎ C. ‎30‎‎∘‎ D. ‎‎40‎‎∘‎ 3. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为‎50‎‎∘‎，那么这个等腰三角形的顶角等于‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎15‎‎∘‎或‎75‎‎∘‎ B. ‎140‎‎∘‎ C. ‎40‎‎∘‎ D. ‎140‎‎∘‎或‎40‎‎∘‎ 4. 已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是‎(‎　　‎‎)‎ A. 18cm B. 21cm C. 18cm或21cm D. 无法确定 5. 如图，‎△ODC是由‎△OAB绕点O顺时针旋转‎30‎‎∘‎后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且‎∠AOC的度数为‎100‎‎∘‎，则‎∠B的度数是‎(‎　　‎)‎ ‎ A. ‎40‎‎∘‎ B. ‎35‎‎∘‎ C. ‎30‎‎∘‎ D. ‎‎15‎‎∘‎ 6. 如果一个等腰三角形的一个角为‎30‎‎∘‎，则这个三角形的顶角为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎120‎‎∘‎ B. ‎30‎‎∘‎ C. ‎90‎‎∘‎ D. ‎120‎‎∘‎或‎30‎‎∘‎ 7. 如图，‎△ABC中，AB+BC=10‎，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则‎△BCD的周长是‎(‎　　‎‎)‎ A. 6 B. 8 C. 10 D. 无法确定 ‎ 8. 已知a、b、c是‎△ABC的三条边，且满足a‎2‎‎+bc=b‎2‎+ac，则‎△ABC是‎(‎　　‎‎)‎ 第15页，共16页 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 1. 如图，下列条件不能推出‎△ABC是等腰三角形的是‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎∠B=∠C B. AD⊥BC，‎∠BAD=∠CAD C. AD⊥BC，‎∠BAD=∠ACD D. AD⊥BC，BD=CD ‎ 2. 如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4‎，过点E作EF//BC，分别交BD，CD于G，F两点‎.‎若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为‎(‎　　‎‎)‎ A. 3 B. ‎2‎‎3‎ C. ‎13‎ D. 4 ‎ 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）‎ 3. 如图，在‎△ABC中，‎∠ACB=3∠B，AB=10‎，AC=4‎，AD平分‎∠BAC，交BC于点D，CE⊥AD于E，则CE=‎ ______ ． ‎ 4. 如图，‎∠AOB=‎‎60‎‎∘‎，OC平分‎∠AOB，如果射线OA上的点E满足‎△OCE是等腰三角形，那么‎∠OEC的度数为______． ‎ 5. 如图，在‎△ABC中，‎∠B=‎‎30‎‎∘‎，‎∠C=∠B，AB=2‎3‎cm，点P从点B开始以‎1cm/s的速度向点C移动，当‎△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为______．‎ 6. 平行四边形ABCD中，‎∠ABC的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为______cm．‎ 7. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则‎△BDM的周长的最小值为______． ‎ 8. 如图，等腰‎△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=‎______cm． ‎ 9. 如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为______．‎ 第15页，共16页 1. 如图，‎△ABC中，点D在边BC上，若AB=AD=CD，‎∠BAD=‎‎100‎‎∘‎，则‎∠C=‎______度‎.‎ 2. 如图，在‎△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点‎.‎若BD平分‎∠ABC，则‎∠A=‎______‎ ‎‎∘‎‎.‎ ‎ 3. 如图，在‎△ABC中，AB=AC=13‎，BC=10‎，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，则DE的长是______． ‎ 三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）‎ 4. 如图，‎△ABC中，AB=AC，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且BD=CE，‎∠DEF=∠B ‎(1)‎求证：‎△BDE≌‎△CEF； ‎(2)‎若‎∠A=‎‎40‎‎∘‎，求‎∠EDF的度数． ‎ ‎ ‎ 5. 如图，在‎△ABC中，AB=AC，E在CA延长线上，AE=AF，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由． ‎ ‎ ‎ 第15页，共16页 ‎ ‎ 1. 如图，在▱ABCD中，AE平分‎∠BAD交DC于点E，AD=5cm，AB=8cm，求EC的长．‎ ‎ ‎ 2. 在‎△ABC中，AB=CB，‎∠ABC=‎‎90‎‎∘‎，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF． ‎(1)‎求证：‎△ABE≌‎△CBF； ‎(2)‎若‎∠CAE=‎‎25‎‎∘‎，求‎∠BFC度数．‎ ‎ ‎ 四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）‎ 3. 如图1，在‎△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD，CD． ‎(1)‎试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由； ‎(2)‎如图2，若将‎△DCE绕点E 第15页，共16页 旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由； ‎(3)‎如图3，若将‎(2)‎中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ‎①‎试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论； ‎②‎你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． ‎ 1. 如图，‎△ABC中，AB=BC，‎∠ABC=‎‎45‎‎∘‎，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F． ‎(1)‎求证：BF=AC； ‎(2)‎若CD=3‎，求AF的长． ‎ ‎ ‎ 第15页，共16页 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. C 2. A 3. D 4. C 5. B 6. D 7. C 8. C 9. C 10. C ‎ ‎11. 3  ‎ ‎12. ‎120‎‎∘‎或‎75‎‎∘‎或‎30‎‎∘‎  ‎ ‎13. ‎2‎3‎s或6s  ‎ ‎14. 32或34  ‎ ‎15. 8  ‎ ‎16. 4  ‎ ‎17. 17  ‎ ‎18. 20  ‎ ‎19. 36  ‎ ‎20. ‎60‎‎13‎  ‎ ‎21. ‎(1)‎证明：‎∵∠DEC=∠B+∠BDE=∠CEF+∠DEF，‎∠DEF=∠B， ‎∴∠CEF=∠BDE． ‎∵AB=AC， ‎∴∠C=∠B． 又‎∵CE=BD， ‎∴△BDE≌‎△CEF． ‎(2)‎解：‎∵△BDE≌‎△CEF ‎∴DE=FE． 所以‎△DEF是等腰三角形． ‎∴∠EDF=∠EFD 又，‎△ABC中，AB=AC，‎∠A=‎‎40‎‎∘‎ ‎∴∠B=‎‎70‎‎∘‎， 已知‎∠DEF=∠B ‎∴∠DEF=‎‎70‎‎∘‎ ‎∴∠EDF=∠EFD=‎1‎‎2‎×(‎180‎‎∘‎-‎70‎‎∘‎)=‎‎55‎‎∘‎．  ‎ ‎22. 解：EF⊥BC，理由为： 证明：‎∵AB=AC，AD⊥BC， ‎∴∠BAD=∠CAD， ‎∵AE=AF， ‎∴∠E=∠EFA， ‎∵∠BAC=∠E+∠EFA=2∠EFA， ‎∴∠EFA=∠BAD， ‎∴EF//AD， ‎∵AD⊥BC， ‎∴EF⊥BC， 则EF与BC的位置关系是垂直．  ‎ ‎23. 解：在平行四边形ABCD中，则AB//CD， ‎∴∠2=∠3‎， 又AE平分‎∠BAD，即‎∠1=∠3‎， ‎∴∠1=∠2‎，即DE=AD， 又AD=5cm，AB=8cm， ‎∴EC=CD-DE=8-5=3cm． 故EC 第15页，共16页 的长为3cm．  ‎ ‎24. 证明：‎(1)∵∠ABC=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴∠ABC=∠CBF=‎‎90‎‎∘‎， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ‎∵‎AE=CFAB=CB， ‎∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)‎； ‎(2)∵AB=CB，‎∠ABC=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴∠CAB=∠ACB=‎‎45‎‎∘‎， ‎∵∠CAE=‎‎25‎‎∘‎， ‎∴∠BAE=‎45‎‎∘‎-‎25‎‎∘‎=‎‎20‎‎∘‎， ‎∵Rt△ABE≌Rt△CBF， ‎∴∠BCF=∠BAE=‎‎20‎‎∘‎， ‎∴∠BFC=‎90‎‎∘‎-‎20‎‎∘‎=‎‎70‎‎∘‎．  ‎ 第15页，共16页 ‎25. 解：‎(1)BD=AC，BD⊥AC， 理由是：延长BD交AC于F． ‎∵AE⊥BC， ‎∴∠AEB=∠AEC=‎‎90‎‎∘‎， 在‎△BED和‎△AEC中BE=AE‎∠BED=∠AECDE=EC ‎∴△BED≌‎△AEC， ‎∴BD=AC，‎∠DBE=∠CAE， ‎∵∠BED=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴∠EBD+∠BDE=‎‎90‎‎∘‎， ‎∵∠BDE=∠ADF， ‎∴∠ADF+∠CAE=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴∠AFD=‎180‎‎∘‎-‎90‎‎∘‎=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴BD⊥AC； ‎(2)‎不发生变化． 理由：‎∵∠BEA=∠DEC=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED， ‎∴∠BED=∠AEC， 在‎△BED和‎△AEC中BE=AE‎∠BED=∠AECDE=EC ‎∴△BED≌‎△AEC， ‎∴BD=AC，‎∠BDE=∠ACE， ‎∵∠DEC=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴∠ACE+∠EOC=‎‎90‎‎∘‎， ‎∵∠EOC=∠DOF， ‎∴∠BDE+∠DOF=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴∠DFO=‎180‎‎∘‎-‎90‎‎∘‎=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴BD⊥AC； ‎(3)‎能． ‎∵△ABE和‎△DEC是等边三角形， ‎∴AE=BE，DE=EC，‎∠EDC=∠DCE=‎‎60‎‎∘‎，‎∠BEA=∠DEC=‎‎60‎‎∘‎， ‎∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED， ‎∴∠BED=∠AEC， 在‎△BED和‎△AEC中BE=AE‎∠BED=∠AECDE=EC ‎∴△BED≌‎△AEC， ‎∴∠BDE=∠ACE， ‎∴∠DFC=‎180‎‎∘‎-(∠BDE+∠EDC+∠DCF)‎ ‎=‎180‎‎∘‎-(∠ACE+∠EDC+∠DCF)‎ ‎=‎180‎‎∘‎-(‎60‎‎∘‎+‎60‎‎∘‎)‎ ‎=‎‎60‎‎∘‎，即BD与AC所成的角的度数为‎60‎‎∘‎或‎120‎‎∘‎  ‎ ‎26. 解：‎(1)AD⊥BD，‎∠BAD=‎‎45‎‎∘‎， ‎∴AD=BD， ‎∵∠BFD=∠AFE，‎∠AFE+∠CAD=‎‎90‎‎∘‎，‎∠CAD+∠ACD=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴∠BFD=∠ACD， 在‎△BDF和‎△ACD中， ‎∠BFD=∠ACD‎∠BDF=∠ADCBD=AD， ‎∴△BDF≌‎△ADC(AAS)‎， ‎∴BF=AC； ‎(2)‎连接CF， ‎∵△BDF≌‎△ADC， ‎∴DF=DC， ‎∴△DFC是等腰直角三角形． ‎∵CD=3‎，CF=‎2‎CD=3‎‎2‎， ‎∵AB=BC，BE⊥AC， ‎∴AE=EC，BE是AC的垂直平分线． ‎∴AF=CF， ‎∴AF=3‎‎2‎．  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 【分析】‎ 此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质‎.‎能证得‎△BCE是等腰三角形是解此题的关键‎.‎由平行四边形ABCD中，CE平分‎∠BCD，可证得‎△BCE是等腰三角形，继而利用AE=BE-AB，求得答案． 【解答】 解：‎∵‎四边形ABCD是平行四边形， ‎∴AD//BC，AD=BC=5‎， ‎∴∠E=∠ECD， ‎∵CE平分‎∠BCD， ‎∴∠BCE=∠ECD， ‎∴∠E=∠BCE， ‎∴BE=BC=5‎， ‎∴AE=BE-AB=5-3=2‎；‎ 第15页，共16页 ‎ 故选C．‎ ‎2. 【分析】 此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质‎.‎注意证得‎△OBH是等腰三角形是关键‎.‎由四边形ABCD是菱形，可得OB=OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，‎∠DHO=‎‎20‎‎∘‎，可求得‎∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得‎△OBH是等腰三角形，继而求得‎∠ABD的度数，然后求得‎∠CAD的度数． 【解答】‎ 解：‎∵‎四边形ABCD是菱形， ‎∴OB=OD，AC⊥BD， ‎∵DH⊥AB， ‎∴OH=OB=‎1‎‎2‎BD， ‎∵∠DHO=‎‎20‎‎∘‎， ‎∴∠OHB=‎90‎‎∘‎-∠DHO=‎‎70‎‎∘‎， ‎∴∠ABD=∠OHB=‎‎70‎‎∘‎， ‎∴∠CAD=∠CAB=‎90‎‎∘‎-∠ABD=‎‎20‎‎∘‎． 故选A． ‎ ‎3. 解：当为锐角三角形时可以画图， 高与右边腰成‎50‎‎∘‎夹角，由三角形内角和为‎180‎‎∘‎可得，顶角为‎40‎‎∘‎； 当为钝角三角形时可画图， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为‎180‎‎∘‎， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为‎40‎‎∘‎，三角形的顶角为‎140‎‎∘‎． 故选D． 首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况． 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解答此题时考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．‎ ‎4. 解：‎(1)‎当腰是5cm时，三角形的三边是：5cm，5cm，8cm，能构成三角形， 则等腰三角形的周长‎=5+5+8=18cm； ‎(2)‎当腰是8cm时，三角形的三边是：5cm，8cm，8cm，能构成三角形， 则等腰三角形的周长‎=5+8+8=21cm． 因此这个等腰三角形的周长为18或21cm． 故选：C． 题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．‎ 第15页，共16页 ‎5. 解：‎∵△COD是‎△AOB绕点O顺时针旋转‎30‎‎∘‎后得到的图形， ‎∴∠AOD=∠BOC=‎‎30‎‎∘‎，AO=DO， ‎∵∠AOC=‎‎100‎‎∘‎， ‎∴∠BOD=‎100‎‎∘‎-‎30‎‎∘‎×2=‎‎40‎‎∘‎， ‎∠ADO=∠A=‎1‎‎2‎(‎180‎‎∘‎-∠AOD)=‎1‎‎2‎(‎180‎‎∘‎-‎30‎‎∘‎)=‎‎75‎‎∘‎， 由三角形的外角性质得，‎∠B=∠ADO-∠BOD=‎75‎‎∘‎-‎40‎‎∘‎=‎‎35‎‎∘‎． 故选B． 根据旋转的性质可得‎∠AOD=∠BOC=‎‎30‎‎∘‎，AO=DO，再求出‎∠BOD，‎∠ADO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．‎ ‎6. 解：当‎30‎‎∘‎角是顶角时，顶角‎=‎‎30‎‎∘‎； 当‎30‎‎∘‎角是底角时，顶角‎=‎180‎‎∘‎-‎30‎‎∘‎-‎30‎‎∘‎=‎‎120‎‎∘‎； 故选D． 题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析，从而求解． 本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．‎ ‎7. 解：‎∵DE是AC的垂直平分线，‎∴AD=DC， ‎△BCD的周长‎=BC+BD+DC=BC+BD+AD=10‎ 故选C． 垂直平分线可确定两条边相等，然后再利用线段之间的转化进行求解． 本题主要考查垂直平分线性质和等腰三角形的知识点，熟练掌握等腰三角形的性质．‎ ‎8. 解：已知等式变形得：‎(a+b)(a-b)-c(a-b)=0‎，即‎(a-b)(a+b-c)=0‎， ‎∵a+b-c≠0‎， ‎∴a-b=0‎，即a=b， 则‎△ABC为等腰三角形． 故选：C． 已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状． 此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．‎ ‎9. 解： 由‎∠B=∠C可得AB=AC，则‎△ABC为等腰三角形，故A可以； 由AD⊥BC且‎∠BAD=∠CAD，可得‎△BAD≌‎△CAD，则可得AB=AC，即‎△ABC为等腰三角形，故B可以； 由AD⊥BC，‎∠BAD=∠ACD，无法求得AB=AC或AC=BC，故C不可以； 由AD⊥BC，BD=CD，可得AD为线段BC的垂直平分线，可得AB=AC，故D可以； 故选C． 根据等腰三角形的判定逐项判断即可． 本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键．‎ 第15页，共16页 ‎10. 解：解法一：如图1，过M作MK⊥CD于K，过N作NP⊥CD于P，过M作MH⊥PN于H， 则MK//EF//NP， ‎∵∠MKP=∠MHP=∠HPK=‎‎90‎‎∘‎， ‎∴‎四边形MHPK是矩形， ‎∴MK=PH，MH=KP， ‎∵NP//EF，N是EC的中点， ‎∴CPPF=CNEN=1‎，NPEF‎=CNEC=‎‎1‎‎2‎， ‎∴PF=‎1‎‎2‎FC=‎1‎‎2‎BE=2‎，NP=‎1‎‎2‎EF=3‎， 同理得：FK=DK=1‎， ‎∵‎四边形ABCD为正方形， ‎∴∠BDC=‎‎45‎‎∘‎， ‎∴△MKD是等腰直角三角形， ‎∴MK=DK=1‎，NH=NP-HP=3-1=2‎， ‎∴MH=2+1=3‎， 在Rt△MNH中，由勾股定理得：MN=NH‎2‎+MH‎2‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎‎13‎； 解法二：如图2，连接FM、EM、CM， ‎∵‎四边形ABCD为正方形， ‎∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=‎‎90‎‎∘‎，BC=CD， ‎∵EF//BC， ‎∴∠GFD=∠BCD=‎‎90‎‎∘‎，EF=BC， ‎∴EF=BC=DC， ‎∵∠BDC=‎1‎‎2‎∠ADC=‎‎45‎‎∘‎， ‎∴△GFD是等腰直角三角形， ‎∵M是DG的中点， ‎∴FM=DM=MG，FM⊥DG， ‎∴∠GFM=∠CDM=‎‎45‎‎∘‎， ‎∴△EMF≌‎△CMD， ‎∴EM=CM， 过M作MH⊥CD于H， 由勾股定理得：BD=‎6‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=6‎‎2‎， EC=‎4‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=2‎‎13‎， ‎∵∠EBG=‎‎45‎‎∘‎， ‎∴△EBG是等腰直角三角形， ‎∴EG=BE=4‎， ‎∴BG=4‎‎2‎， ‎∴DM=‎‎2‎ ‎∴MH=DH=1‎， ‎∴CH=6-1=5‎， ‎∴CM=EM=‎1‎‎2‎‎+‎‎5‎‎2‎=‎‎26‎， ‎∵CE‎2‎=EM‎2‎+CM‎2‎， ‎∴∠EMC=‎‎90‎‎∘‎， ‎∵N是EC的中点， ‎∴MN=‎1‎‎2‎EC=‎‎13‎； 故选C． 方法三：连EM，延长EM于H，使EM=MH，连DH，CH，可证‎△EGM≌HDM，再证‎△EBC≌‎△HDC，利用中位线可证MN=‎1‎‎2‎EC=‎1‎‎2‎×2‎13‎=‎‎13‎． 故选：C． 解法一：作辅助线，构建矩形MHPK和直角三角形NMH，利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得：MK=FK=1‎，NP=3‎，PF=2‎，利用勾股定理可得MN的长； 解法二：作辅助线，构建全等三角形，证明‎△EMF≌‎△CMD，则EM=CM，利用勾股定理得：BD=‎6‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=6‎‎2‎，EC=‎4‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=2‎‎13‎，可得‎△EBG是等腰直角三角形，分别求EM=CM的长，利用勾股定理的逆定理可得‎△EMC是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长． 本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理，属于基础题，本题的关键是证明‎△EMC是直角三角形．‎ ‎11. 解：延长CE交AB于F， ‎∵CE⊥AD， ‎∴∠AEF=∠AEC=‎‎90‎‎∘‎， ‎∵AD平分‎∠BAC， ‎∴∠FAE=∠CAE， 在‎△AEF与‎△ACE中， ‎∠FAE=∠ACEAE=AE‎∠AEF=∠AEC， ‎∴△AEF≌‎△ACE， ‎∴AF=AC=4‎，‎∠AFE=∠ACE，EF=CE， ‎∴BF=6‎， ‎∵∠AFC=∠B+∠ECD， ‎∴∠ACF=∠B+∠ECD， ‎∴∠ACB=2∠ECD+∠B， ‎∵∠ACB=3∠B， ‎∴2∠ECD+∠B=3∠B， ‎∴∠B=∠ECD， ‎∴CF=BF=6‎， ‎∴CE=‎1‎‎2‎CF=3‎． 故答案为：3． 延长CE交AB于F，根据垂直的定义得到‎∠AEF=∠AEC=‎‎90‎‎∘‎，根据角平分线的定义得到‎∠FAE=∠CAE，推出‎△AEF≌‎△ACE，根据全等三角形的性质得到AF=AC=4‎，‎∠AFE=∠ACE，EF=CE，求得BF=6‎，由三角形的外角的性质得到‎∠AFC=∠B+∠ECD，等量代换得到‎∠ACF=∠B+∠ECD，得到‎∠B=∠ECD，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．‎ ‎12. 解：‎∵∠AOB=‎‎60‎‎∘‎，OC平分‎∠AOB， ‎∴∠AOC=‎‎30‎‎∘‎， ‎①‎当E在E‎1‎时，OE=CE， ‎∵∠AOC=∠OCE=‎‎30‎‎∘‎， ‎∴∠OEC=‎180‎‎∘‎-‎30‎‎∘‎-‎30‎‎∘‎=‎‎120‎‎∘‎； ‎②‎当E在E‎2‎点时，OC=OE， 则‎∠OCE=∠OEC=‎1‎‎2‎(‎180‎‎∘‎-‎30‎‎∘‎)=‎‎75‎‎∘‎； ‎③‎当E在E‎3‎时，OC=CE， 则‎∠OEC=∠AOC=‎‎30‎‎∘‎； 故答案为：‎120‎‎∘‎或‎75‎‎∘‎或‎30‎‎∘‎． 求出‎∠AOC 第15页，共16页 ‎，根据等腰得出三种情况，OE=CE，OC=OE，OC=CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．‎ ‎13. 解：当AB=AP时，点P与点C重合，如图1所示， 过点A作AD⊥BC于点D， ‎∵∠B=‎‎30‎‎∘‎，AB=2‎3‎cm， ‎∴BD=AB⋅cos‎30‎‎∘‎=2‎3‎×‎3‎‎2‎=3cm， ‎∴BC=6cm，即运动的时间6s； 当AB=BP时， ‎∵AB=2‎3‎cm， ‎∴BP=2‎3‎cm， ‎∴‎运动的时间‎2‎3‎s.‎ 故答案为：‎2‎3‎s或6s． 由于等腰三角形的另一腰不确定，故应分AB=AP与AB=BP两种情况进行讨论． 本题考查的是等腰三角形的判定，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．‎ ‎14. 解：‎∵‎四边形ABCD是平行四边形， ‎∴AD=BC，AB=CD，AD//BC， ‎∴∠AEB=∠CBE， ‎∵BE平分‎∠ABC， ‎∴∠ABE=∠CBE， ‎∴∠ABE=∠AEB， ‎∴AB=AE， ‎(1)‎当AE=5‎时，AB=5‎， 平行四边形ABCD的周长是‎2×(5+5+6)=32‎； ‎(2)‎当AE=6‎时，AB=6‎， 平行四边形ABCD的周长是‎2×(5+6+6)=34‎； 故答案为：32或34． 由平行四边形ABCD推出‎∠AEB=∠CBE，由已知得到‎∠ABE=∠CBE，推出AB=AE，分两种情况‎(1)‎当AE=5‎时，求出AB的长；‎(2)‎当AE=6‎时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长． 本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出AE=AB.‎用的数学思想是分类讨论思想．‎ ‎15. 解：连接AD交EF与点M'‎，连结AM． ‎∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ‎∴AD⊥BC， ‎∴S‎△ABC=‎1‎‎2‎BC⋅AD=‎1‎‎2‎×4×AD=12‎，解得AD=6‎ 第15页，共16页 ‎， ‎∵EF是线段AB的垂直平分线， ‎∴AM=BM． ‎∴BM+MD=MD+AM． ‎∴‎当点M位于点M'‎处时，MB+MD有最小值，最小值6． ‎∴△BDM的周长的最小值为DB+AD=2+6=8‎． 连接AD交EF与点M'‎，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM=MB，则BM+DM=AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为‎△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长． 本题考查的是轴对称‎-‎最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．‎ ‎16. 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理‎.‎关键要熟知等腰三角形的三线合一可得‎.‎先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可． 【解答】 解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=‎1‎‎2‎BC=‎1‎‎2‎×6=3cm，在直角‎△ABD中， 由勾股定理得：AB‎2‎=BD‎2‎+AD‎2‎， 所以，AD=AB‎2‎-BD‎2‎=‎5‎‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎=4cm． 故答案为4．‎ ‎17. 解：‎(1)‎若3为腰长，7为底边长， 由于‎3+3