3 第1课时 公式法
知识点 1 一元二次方程的求根公式
1．用公式法解－x2＋3x＝1时，需先求出a，b，c的值，则a，b，c依次为( )
A．－1，3，－1 B．1，－3，－1
C．－1，－3，－1 D．－1，3，1
2．用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
知识点 2 用公式法解一元二次方程
3．方程x2＋3x－14＝0的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
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4．2017·都匀期末方程2x2－4x＋1＝0的根是( )
A．x1＝1＋，x2＝1－
B．x1＝2＋2 ，x2＝2－2
C．x1＝1＋，x2＝1－
D．x1＝2＋，x2＝2－
5．用公式法解方程：(1)x2－2x＝1；
(2)4x2－3＝12x.
知识点 3 一元二次方程根的判别式
6．2017·广元方程2x2－5x＋3＝0的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．两根异号
7．2017·安顺若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( )
A．0 B．－1
8
C．2 D．－3
8．2017·长春若关于x的一元二次方程x2＋4x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是________．
9．2017·潍坊若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．
10．已知关于x的方程x2＋2 x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k≥0 B．k＞0
C．k≥－1 D．k＞－1
11．2017·锦州关于x的一元二次方程x2＋4kx－1＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
12．已知三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长是( )
A．14 B．12
C．12或14 D．以上都不对
13．2017·通辽若关于x的一元二次方程(k＋1)x2＋2(k＋1)x＋k－2＝0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )
图2－3－1
14．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步．经过计算，你的结论是：长比宽多( )
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A．12步 B．24步
C．36步 D．48步
15．若在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为( )
A．x＝－2
B．x1＝－2，x2＝3
C．x1＝，x2＝
D．x1＝，x2＝
16．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0.
(1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)为m选取一个合适的整数值，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根．
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18．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
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1．A .
2．D ．
3．B
4．C [
5．解：(1)x2－2x－1＝0，
x＝＝1±，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
(2)4x2－12x－3＝0，
x＝
＝
＝，
∴x1＝＋，x2＝－.
6．B
7．D .
8．4
9． k≤1且k≠0
10．A
11．A．
12．B
13．A 14．A
15．D
8
16．解：∵关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(2m－1)2－4×1×4＝0，
∴2m－1＝±4，
∴m＝或m＝－.
17．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即[－2(m＋1)]2－4m2＞0，
解得m＞－.
(2)∵m＞－，∴可取m＝0，此时方程为x2－2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2.(答案不唯一)
18．解：(1)△ABC是等腰三角形．
理由：∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2＋2b×(－1)＋(a－c)＝0，
∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，
即a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
(2)△ABC是直角三角形．
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，
∴4b2－4a2＋4c2＝0，
即a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形．
(3)当△ABC是等边三角形时，
(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0可整理为2ax2＋2ax＝0，
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∴x2＋x＝0，
解得x1＝0，x2＝－1.
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