2 第1课时 矩形的概念及其性质
知识点 1 矩形边、角的性质
1．若矩形ABCD的两邻边长分别是1，2，则其对角线BD的长是( )
A. B．3 C. D．2
2．如图1－2－1所示，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
图1－2－1 图1－2－2
3．如图1－2－2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是( )
A．30° B．22.5° C．15° D．10°
4．如图1－2－3，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO＝BO.
图1－2－3
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知识点 2 矩形对角线的性质
5．如图1－2－4，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
图1－2－4 图1－2－5
6．教材例1变式题如图1－2－5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是( )
A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm
图1－2－6
7．如图1－2－6，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF＝________ cm.
8．如图1－2－7，在矩形ABCD中，过点B作BE∥AC交DA的延长线于点E.求证：BE＝BD.
图1－2－7
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知识点 3 直角三角形斜边上的中线的性质
9．若直角三角形两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线的长是( )
A．5 B．10 C. D.
图1－2－8
10．如图1－2－8，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )
A．15° B．25°
C．35° D．45°
11．如图1－2－9，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.
图1－2－9
12．如图1－2－10，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( )
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A．3 B．4 C．5 D．6
图1－2－10 图1－2－11
13．如图1－2－11，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )
A．5 B．8 C．13 D．20
14．如图1－2－12，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，折叠矩形，使顶点D与对角线交点O重合，折痕为CE，已知△CDE的周长是10 cm，则矩形ABCD的周长为( )
A．15 cm B．18 cm C．19 cm D．20 cm
图1－2－12
图1－2－13
15．如图1－2－13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若CD＝6 cm，则EF＝________ cm.
16．2017·荆州如图1－2－14，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.
(1)求证：△ACD≌△EDC；
(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．
图1－2－14
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17．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图1－2－15①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD.
应用：如图1－2－15②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE＝FB，AF与BE交于点O.
(1)求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
(2)连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
图1－2－15
9
9
1．C
2．A
3．C .
4．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC.
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC－∠DOC＝∠BOD－∠DOC，
即∠AOD＝∠BOC.
在△AOD和△BOC中，∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOC，AD＝BC，
∴△AOD≌△BOC，∴AO＝BO.
5．B
6．A
7．2.5
8．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AD∥BC.
又∵BE∥AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴BE＝AC，∴BE＝BD.
9．A .
10．C.
11．证明：在Rt△ABC中，
∵E为斜边AB的中点，
∴CE＝AB.
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在Rt△ABD中，
∵E为斜边AB的中点，
∴DE＝AB.
∴CE＝DE.
12．C
13．D
14．D
15．6
16．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°.
由平移的性质得：DE＝AC，EC＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，
∴AD＝EC.
在△ACD和△EDC中，AD＝EC，∠ADC＝∠ECD，CD＝DC，
∴△ACD≌△EDC.
(2)△BDE是等腰三角形．理由如下：
∵AC＝BD，DE＝AC，
∴BD＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
17．解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠BFO.
又∵∠AOE＝∠FOB，AE＝FB，
∴△AOE≌△FOB，∴EO＝BO，
∴AO是△ABE的边BE上的中线，
∴△AOB和△AOE是“友好三角形”．
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(2)∵△AOE和△DOE是“友好三角形”，
∴S△AOE＝S△DOE，AE＝ED＝AD＝BC＝3.
∵△AOB和△AOE是“友好三角形”，
∴S△AOB＝S△AOE.
∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE＝S△FOB，
∴S△AOD＝S△ABF，
∴S四边形CDOF＝S矩形ABCD－2S△ABF＝4×6－2××4×3＝12.
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