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中原名校2018—2019学年上期第一次质量考评
高三数学（理）试题
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M = [1，2], N = {}, 则M∩N =
A. [1，2] B. (-1，3) C. {1} D. {1，2}
2.复数为虚数单位）的共轭复数为
A. B. C. D.
3.已知抛物线，则其准线方程为
A. B. C. D.
4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有 一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为
A.36 里 B.24 里 C.18 里 D.12 里
5.下列有关命题的说法中错误的是
A.设则“a>b”是“a|a| >b|b|的充要条件
B.若为真命题，则p、q中至少有一个为真命题
C.命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题
D.命题“且”的否定形式是，“且 ”
6.己知不等式的解集为(一2，-1)，则二项式展开式的常数项是
A. -15 B. 15 C. -5 D. 5
7.一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为
A. 12 B. 8
C. 6 D. 4
8.若函数 ,且的最小值是，则 的单调递增区间是
A. B.
C. D.
9.甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A、B、C、D四类课外书（每类课外书均有若干本)，己知每人只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A类课外书，则不同的借阅方案种类为
A.48 B.54 C.60 D.72
10.己知点A(4,0), B(0,4),点P(x, y)的坐标x，y满足，
则的最小值为
A. B.0 C. D.-8
11.过双曲线 (a> 0,b > 0)的右焦点F且平行于其一条渐近线的直线与另一条 渐近线交于点A，直线与双曲线交于点B,且|BF| = 2|AB|，则双曲线的离心率为
A. B. C. D. 2
12.设函数是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为，且有, 则不等式 的解集为
A. (-2020,0) B. (-∞,-2020) C. (-2016,0) D. (-∞,-2016)
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 的解集为 .
14.已知向量满足，则向量在向量上的投影为 .
15.己知是数列{}的前项和，且，则数列{}的通项公式为 .
16.己知是以2e为周期的R上的奇函数，当，，若在区间[-e，3e]， 关于的方程恰好有4个不同的解，则k的取值范围是 .
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分）
sinC a + b
己知锐角的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且,
.
(1)求角A的大小；
(2)求b + c的取值范围.
18.(本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，己知AP= AC = AB = 2，∠PAD = ∠DAC = 60°.
(1)求证：AD丄PC；
(2)若平面PAD丄平面ABCD，求二面角C-PD-A的余弦值.
19. (本小题满分12分)
已知椭圆C: (a>0,b>0).
(1)若椭圆的离心率为1，且过右焦点垂直于长轴的弦长为3,求椭圆C的标准方程；
2
(2)若椭圆C一定，点P(m,0)为椭圆长轴上的一个动点，过点P作斜率为的直线交椭圆C于A，B两点，试判断|PA|2+|PB|2是否为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因。
20.(本小题满分12分）
某种植物感染病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗病毒的制剂，现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效，测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量（单位：mg)进行统计。规定：植株吸收在6mg (包括6mg)以上为“足量”，否则为“不足量现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂剂吸收量统计得下表。已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株。
(1)完成以下2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株存活”与“制剂吸收足量”有关？
(2)①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记为“植株死亡”的数量，求的分布列和期望；
②将频率视为概率，现在对己知某块种植了 1000株并感染了病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量，求.
参考数据：
21.(本小题满分12分）
已知函数 (m > 0),且.
(1)求的最小值；
(2)当取得最小值时，若方程无实根，求实数a的取值范围.
【选考题】
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22.(本小题满分10分）【选修4一4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.己知直线/的直角坐标方程为，曲线C的极坐标方程为 (a > 0).
(1)设为参数，若，求直线的参数方程及曲线C的普通方程；
(2)已知直线与曲线C交于A，B,设P(1,0)，且|PA|，|AB|，|PB|依次成等比数列，求实数a的值.
23.(本小题满分10分）【选修4一5:不等式选讲】
已知函数的最大值为.
(1)求的值以及此时的的取值范围；
(2)若实数办满足，证明：.
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