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第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为纯虚数，则实数的值为( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】
试题分析：为纯虚数，所以，故选D.
考点：复数的四则运算.
2.已知集合,，则等于( )
（A） （B） （C）（D）
【答案】A
考点：集合的并集运算.
3.执行右面的程序框图，如果输入的的值为1，则输出的的值为( )
（A）4 （B）13 （C）40 （D）121
【答案】C
考点：循环结构.
4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为( )
（A）斤 （B）斤
（C）斤 （D）斤
【答案】B
【解析】
试题分析：此问题是一个等差数列，设首项为，则，∴中间尺的重量为
斤．故选：B．
考点：等差数列的通项公式．
5.已知，，则等于( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
考点：1.诱导公式；2.三角恒等变换.
6.若命题 ，命题，则下列命题为真命题的是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】
试题分析： ，所以命题是真命题；命题
，所以对任意的恒成立，所以命题是假命题，所以为真命题.
考点：命题的真假判断；2.逻辑连词.
7.为保证青运会期间比赛的顺利进行，4名志愿者被分配到3个场馆为运动员提供服务，每个场馆至少一名志愿者，在甲被分配到场馆的条件下，场馆有两名志愿者的概率为( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】
试题分析：甲被分配到场馆的条件下，场馆有两名志愿者的安排种数有种，场馆有一名志愿者的安排种数有种，所以甲被分配到场馆的条件下，其他志愿者安排的情况共有种；故在甲被分配到场馆的条件下，场馆有两名志愿者的概率为.
考点：1.排列组合；2.古典概型.
8.已知实数，满足若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ）．
（A） （B） （C）或 （D）
【答案】D
【解析】
试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
考点：简单线性规划．
【方法点睛】一般地，在解决简单线性规划问题时，如果目标函数，首先，作直线，并将其在可行区域内进行平移；当时，直线在可行域内平移时截距越高，目标函数值越大，截距越低，目标函数值越小；当时，直线在可行域内平移时截距越低，目标函数值越大，截距越高，目标函数值越小.
9.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
考点：空间几何体的三视图.
10.在平行四边形中，，，，为平行四边形内一点，，若（），则的最大值为( )
（A）1 （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】
考点：平面向量数量积的运算．
11.已知从点出发的三条射线，，两两成角，且分别与球相切于，，三点．若球的体积为，则，两点间的距离为( )
（A） （B） （C）3 （D）
【答案】B
【解析】
试题分析：连接交平面于，由题意可得：和为正三角形，所以
．因为，所以，所以．又因为球的体积为，所以半径，所以．
考点：点、线、面间的距离计算．
【思路点睛】连接交平面于，由题意可得：．由可得 ，根据球的体积可得半径，进而求出答案．
12.已知点是双曲线：（，）的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的离心率的取值范围为( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
考点：双曲线的简单性质．
【思路点睛】由直角三角形的判定定理可得 为直角三角形，且PF1⊥PF2，运用双曲线的定义，可得，又 ，可得 ，再由勾股定理，即可得到，运用离心率公式，即可得到所求范围．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知函数满足，且当时，，则__________．
【答案】
【解析】
试题分析：，又，可得，若，又
.
考点：1.函数的周期性；2.对数的运算.
14.过抛物线上任意一点向圆作切线，切点为，则的最小值等于__________．
【答案】
【解析】
试题分析：设 圆心 ，半径．∴
，当且仅当，即取点
时，取等号．故的最小值等于 ．
考点：抛物线的简单性质．
15.在数列中，已知，前项和满足()，则当时，
___________．
【答案】
考点：1.数列的递推公式；2.等差数列.
【思路点睛】运用 ，代入化简得出：， ，即数列为等差数列，又得，又，可得，可得，进而求出，再根据等差数列的通项公式即可求出结果.
16.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是____________．
【答案】
考点：函数的极值.
【方法点睛】用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
如图，点在内，，，，设．
（Ⅰ）用表示的长；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值，并求出此时的值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）2
（Ⅱ）四边形的面积，
因为， 7分
， 9分
所以， 10分
所以当，即时， 11分
四边形的面积的最大值为． 12分.
考点：余弦定理．
18.（本小题满分12分）
某商家每年都参加为期5天的商品展销会，在该展销会上商品的日销售量与是否下雨有关．经统计，2015年该商家的商品日销售情况如下表：
日期
6月18日
6月19日
6月20日
6月21日
6月22日
天气
小雨
小雨
多云
多云
晴
日销售量
97
103
120
130
125
（单位：件）
以2015年雨天和非雨天的日平均销售量估计相应天气的销售量．若2016年5天的展销会中每天下雨的概率均为，且每天下雨与否相互独立．
（Ⅰ）估计2016年展会期间能够售出的该商品的件数；
（Ⅱ）该商品成本价为90元/件，销售价为110元/件．
（ⅰ）将销售利润（单位：元）表示为2016年5天的展销会中下雨天数的函数；
（ⅱ）由于2016年参展总费用上涨到2500元，商家决定若最终获利大于8000元的概率超过0.6才继续参展，请你为商家是否参展作出决策，并说明理由．
【答案】（Ⅰ）550；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）商家应决定参加2016年的展销会
所以， 4分
所以估计2016年5天的展销会有3天下雨，2天不下雨，
所以估计2016年展会期间能够售出的该商品的件数为
（件）. 5分
考点：1.古典概型及其概率计算公式；2.数学期望和方差.
19.（本小题满分12分）
如图，正方形所在的平面与所在的平面交于，且平面．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
（Ⅱ）在平面内，过作，
由（Ⅰ）知平面，所以，
所以，又平面，所以两两垂直．
以，，分别为轴，
建立空间直角坐标系如图所示， 6分
考点：1.线面垂直的判定定理；2.面面垂直的判定定理；3，,空间向量；4.二面角.
【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为，设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，则有（图1）或 （图2）其中.
图1 图2
20.（本小题满分12分）
、分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，是上任意一点，是线段的中点．已知的周长为，面积的最大值为．
（Ⅰ）求的标准方程；
（Ⅱ）过作直线交于两点，，以为邻边作平行四边形，
求四边形面积的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
（Ⅱ）设，，显然直线的斜率不能为0，故设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，， ， ， 9分
设，则，，然后再利用基本不等式即可求出结果.
（Ⅱ）设，，显然直线的斜率不能为0，故设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，， 7分
， 8分
， 9分
考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.
21.（本小题满分12分）
已知，函数，曲线与轴相切．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）在上单调递增，在上单调递减．；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设切点为，，依题意解得 所以，，即可求出结果．（Ⅱ） 等
价于或令，，
则，，然后再对进行分类讨论，即可求出结果.
所以在上单调递增，在上单调递减． 5分
（Ⅱ）存在，理由如下： 6分
等价于或
令，，
则，，
①若，
当时，，，所以；
当时，，，所以，
考点：1.导数在函数单调性中的应用；2.分类讨论.
22.（本小题满分10分）选修4-1：平面几何选讲
如图，，分别为边，的中点，直线交的外接圆于点，且．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）过点作圆的切线交的延长线于点，若，，求的长．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
所以CD＝BC. 5分
考点：与圆有关的线段问题.
【一题多解】（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）因为是圆的切线，所以，又因为，所以，
所以，因为A，B，C，F四点共圆，所以，所以∽，所以，过点C作CMAB于M，由（Ⅰ）知：，所以M是BD中点，又因为
所以，由（Ⅰ）知：，所以，
，所以，所以，所以．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的极坐标方程是．记射线：与分别交于点，，与交于点，求的长．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2
试题解析：解：（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为，
令代入的普通方程，
得的极坐标方程为，即． 5分
（Ⅱ）在的极坐标方程中令，得，所以．
在的极坐标方程中令，得，所以．
所以． 10分
考点：1.参数方程化成普通方程；2.简单曲线的极坐标方程．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）对任意，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
试题解析：解：（Ⅰ），
当时，，即，所以；
当时，，即，所以；
考点：绝对值不等式.
【一题多解】（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设因为对任意，都有成立，所以．①当时，，所以 所以，符合．②当时，，所以 所以，符合．综上，实数的取值范围是．
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