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2015-2016学年河南省焦作市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题（每题5分）
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，集合B={2，4}，则（∁UA）∪B为（ ）
A．{2，4，5} B．{1，3，4} C．{1，2，4} D．{2，3，4，5}
2．若复数a﹣（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
3．已知命题p：函数f（x）=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：∃x，使2x＞3x，则下列命题是真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨（￢q） D．p∨q
4．公比不为1等比数列{an}的前n项和为Sn，且﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4=（ ）
A．﹣20 B．0 C．7 D．40
5．执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[﹣1，3]，则输出的y属于（ ）
A．[0，2] B．[1，2] C．[0，1] D．[﹣1，5]
6．已知函数f（x）=sinx﹣2x，且a=f（ln），b=f（log2），c=f（20.3），则（ ）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c
7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将直角△ABE沿BE边折起，A点在BCDE上的射影为D点，则对翻折后的几何体有如下描述，其中错误的叙述的是（ ）
A．AB与DE所成角的正切值是
B．三棱锥B﹣ACE的体积是
C．直线BA与平面ADE所成角的正弦值为
D．平面EAB⊥平面ADE
12．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）经过点（，﹣2），（，2），且在区间（，）上为单调函数，设an=nf（）（n∈N*），则数列{an}的前30项和S30为（ ）
A．﹣10 B．﹣ C． D．10
二、填空题（每题5分）
13．若实数x，y满足，则z=x+2y的取值范围是 ．
14．若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于 ．
15．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一动点，（不含端点），若=，则= ．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是 ．
三、解答题
17．如图所示，角A为钝角，且sinA=，点P、Q分别在角A的两边上．
（1）AP=5，PQ=3，求AQ的长；
（2）设∠APQ=α，∠AQP=β，且cosα=，求sin（2α+β）的值．
18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH中点，PA=AC=2，BC=1．
（Ⅰ）求证：AH⊥平面PBC；
（Ⅱ）求PM与平面AHB所成角的正弦值．
19．某统计局为了调查居民支出状况，随机调查该市10户家庭的三类支出：食品消费类支出，衣着消费类支出、居住消费类支出，每类支出都分为A、B、C三个等级，现在对三种等级进行量化：A级记为2分；B级记为1分；C级记为0分，用（x，y，z）表示该家庭的食品消费类支出、衣着消费类支出、居住消费类支出的得分情况，再用综合指标ω=x+y+z的值评定该家庭的得分等级：若ω≥4，则得分等级为一级；若2≤ω≤3，则得分等级为二级；若0≤ω≤1，则得分等级为三级，得到如下结果：
家庭编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
（x，y，z）
（1，1，2）
（2，1，1）
（2，2，2）
（0，0，1）
（1，2，1）
（1，2，2）
（1，1，1）
（1，2，2）
（1，2，1）
（1，1，1）
（1）在这10户家庭中任取两户，求这两户家庭居住消费类支出得分相同的概率；
（2）从得分等级是一级的家庭中任取一户，其综合指标为a，从得分等级不是一级的家庭中任取一户，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求X的分布列及数学期望．
20．设圆x2+y2﹣2x﹣15=0的圆心为F1，直线l过点F2（﹣1，0）且交圆F1于P，Q两点，线段PF2的垂直平分线交线段PF1于M点．
（1）证明|MF1|+|MF2|为定值，并写出点M的轨迹方程；
（2）设点M的轨迹为T，T与x轴交点为A，B，直线l与T交于C，D两点，记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．
21．已知函数f（x）=2lnx﹣ax2+1
（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；
（2）存在实数m使得f（x）=m的两个零点α、β都属于区间[1，4]，且β﹣α=1，求实数a的取值范围．
[选修4-1：几何证明选讲]|
22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．
[选修4-4坐标系与参数方程]|
23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；
（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．
[选修4-5不等式选讲]|
24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m
（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．
2015-2016学年河南省焦作市高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分）
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，集合B={2，4}，则（∁UA）∪B为（ ）
A．{2，4，5} B．{1，3，4} C．{1，2，4} D．{2，3，4，5}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，
∴∁UA={2，5}，
∵B={2，4}，
∴（∁UA）∪B={2，4，5}．
故选：A．
2．若复数a﹣（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．
【解答】解：复数a﹣=a﹣=a﹣（4+i）=（a﹣4）﹣i是纯虚数，
∴a﹣4=0，解得a=4．
故选：D．
3．已知命题p：函数f（x）=|cosx|的最小正周期为2π；命题q：∃x，使2x＞3x，则下列命题是真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨（￢q） D．p∨q
【考点】复合命题的真假．
【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．
【解答】解：命题p：函数f（x）=|cosx|的最小正周期为π，
故命题p是假命题；
命题q：∃x，使2x＞3x，
故命题q是真命题，
故p∨q是真命题，
故选：D．
4．公比不为1等比数列{an}的前n项和为Sn，且﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，若a1=1，则S4=（ ）
A．﹣20 B．0 C．7 D．40
【考点】等比数列的前n项和；等差数列的性质．
【分析】利用﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，确定数列的公比，从而可求S4．
【解答】解：设数列的公比为q（q≠1），则
∵﹣3a1，﹣a2，a3成等差数列，
∴﹣3a1+a3=﹣2a2，
∵a1=1，∴﹣3+q2+2q=0，
∵q≠1，∴q=﹣3
∴S4=1﹣3+9﹣27=﹣20
故选A．
5．执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[﹣1，3]，则输出的y属于（ ）
A．[0，2] B．[1，2] C．[0，1] D．[﹣1，5]
【考点】程序框图．
【分析】根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值．
若﹣1≤x＜0，则不满足条件输出y=2﹣x﹣1∈（0，1]，
若0≤x≤3，则满足条件，此时y=log2（x+1）∈[0，2]，
输出y∈[0，2]，
故选：A．
6．已知函数f（x）=sinx﹣2x，且a=f（ln），b=f（log2），c=f（20.3），则（ ）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数f（x）的单调性，根据20.3＞ln＞log2，从而求出函数值的大小即可．
【解答】解：∵f（x）=sinx﹣2x，∴f′（x）=cosx﹣2＜0，
∴f（x）在R单调递减，
∵0＜ln＜1，log2＜0，20.3＞1，
20.3＞ln＞log2，
∴c＜a＜b，
故选：D．
7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．
【解答】解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，
可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．
则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，
这个几何体的外接球的半径R=PD=．
则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=
故选：A．
8．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．
【解答】解：不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．
则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴﹣，
∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣，
化为=0，解得．
故选C．
9．长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．
【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．
（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，
对应的面积S=20×20=400，
则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，
则符合题意的区域为△ABC，联立得C（55，60），
由得B（40，45），
则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，
故选：A．
10．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】圆与圆锥曲线的综合；抛物线的简单性质．
【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．
【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，
|DE|=2，|DN|=，|ON|=，
xA==，
|OD|=|OA|，
=+5，
解得：p=4．
C的焦点到准线的距离为：4．
故选：B．
11．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将直角△ABE沿BE边折起，A点在BCDE上的射影为D点，则对翻折后的几何体有如下描述，其中错误的叙述的是（ ）
A．AB与DE所成角的正切值是
B．三棱锥B﹣ACE的体积是
C．直线BA与平面ADE所成角的正弦值为
D．平面EAB⊥平面ADE
【考点】棱锥的结构特征．
【分析】在A 中，由于BC∥DE，则∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角；
在B中，VB﹣ACE=S△BCE×AD；
在C中，确定∠BAE为直线BA与平面ADE所成角，即可求解；
在D中，证明BE⊥平面ADE，利用面面平行的判定，可得平面EAB⊥平面ADE．
【解答】解：由题意，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=a，
在A中，∵BC∥DE，∴∠ABC（或其补角）为AB与DE所成角，
∵AB=a，BC=a，AC=a，∴BC⊥AC，∴tan∠ABC=，故A正确；
在B中，VB﹣ACE=S△BCE×AD=×a×a×a=a3，故B正确；
在C中，∵BE⊥平面ADE，∴∠BAE为直线BA与平面ADE所成角，
在△BAE中，∠BEA=90°，BE=a，AB=a，
∴sin∠BEA===，故C错误；
在D中，∵AD⊥平面BCDE，BE⊂平面BCDE，∴AD⊥BE，∵BE⊥ED，AD∩ED=D，∴BE⊥平面ADE
∵BE⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平面ADE，故D正确．
故选：C．
12．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）经过点（，﹣2），（，2），且在区间（，）上为单调函数，设an=nf（）（n∈N*），则数列{an}的前30项和S30为（ ）
A．﹣10 B．﹣ C． D．10
【考点】数列的求和；正弦函数的图象．
【分析】由题意可得： =2×，解得ω．代入2=2，解得φ．可得f（x）=2sin．可得an=nf（）=2n，利用三角函数与数列的周期性即可得出．
【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）经过点（，﹣2），（，2），且在区间（，）上为单调函数，
∴=2×，解得ω=2．
∴2=2，解得φ=﹣．
∴f（x）=2sin．
∴an=nf（）=2n，
数列的周期为3．
a1=0，a2=4=2，a3=﹣6=﹣3，
∴a1+a2+a3=﹣，
∴a1+a2+…+a6+…+a30
=﹣10．
故选：A．
二、填空题（每题5分）
13．若实数x，y满足，则z=x+2y的取值范围是 [0，2] ．
【考点】简单线性规划．
【分析】本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件，画出可行域，然后求出目标函数的值域即可．
【解答】解：画出可行域，
得在直线x﹣y+1=0与直线x+y=0的交点0（0，0）处，
目标函数z=x+2y的最小值为0．
在直线z=x+2y过点（0，1）处，
目标函数z=x+2y的最大值为2．
则z=x+2y的取值范围是[0，2]．
故答案为：[0，2]．
14．若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于 5 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】二项式项的公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值
【解答】解：由题意的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr
令=0，得n=，当r=4时，n 取到最小值5
故答案为：5．
15．在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一动点，（不含端点），若=，则= ．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】用表示出，根据三点共线得出λ，μ的关系．
【解答】解：∵，∴=，∴==+，
∴==（λ+μ）+=（﹣λ﹣μ）+．
∵A，D，E三点共线，∴﹣λ﹣μ+=1，∴λ+1=．∴=．
故答案为：．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是 （e+e﹣1） ．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先设切点坐标为（m，em），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可．
【解答】解：设切点坐标为（m，em）．
∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣em=em（x﹣m）．
令x=0，解得y=（1﹣m）em．
过点P作l的垂线的切线方程为y﹣em=﹣e﹣m（x﹣m）．
令x=0，解得y=em+me﹣m．
∴线段MN的中点的纵坐标为t= [（2﹣m）em+me﹣m]．
t'= [﹣em+（2﹣m）em+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1．
当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0．
∴当m=1时t取最大值（e+e﹣1）．
故答案为：（e+e﹣1）．
三、解答题
17．如图所示，角A为钝角，且sinA=，点P、Q分别在角A的两边上．
（1）AP=5，PQ=3，求AQ的长；
（2）设∠APQ=α，∠AQP=β，且cosα=，求sin（2α+β）的值．
【考点】解三角形．
【分析】（1）由A为钝角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用余弦定理得到关于AQ的方程，求出方程的解即可得到满足题意的AQ的长；
（2）由cosα的值利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式求出sinA的值及cosA的值，然后把2α+β变为α+（α+β），利用两角和的正弦函数公式化简后，分别将各自的值代入即可求出所求式子的值．
【解答】解：（1）∵∠A是钝角，，∴，
在△APQ中，PQ2=AP2+AQ2﹣2AP•AQcosA，
∴，
解得AQ=2或AQ=﹣10（舍）即AQ=2；
（2）由cosα=，得sinα=，
又sin（α+β）=sinA=，cos（α+β）=﹣cosA=，
∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=．
18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH中点，PA=AC=2，BC=1．
（Ⅰ）求证：AH⊥平面PBC；
（Ⅱ）求PM与平面AHB所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）根据条件可以得到BC⊥平面PAC，从而得到AH⊥BC，而根据PA=AC，H为PC的中点可以得到AH⊥PC，这样根据线面垂直的判定定理即可得到AH⊥平面PBC；
（Ⅱ）可作AD∥BC，这样便可以AD，AC，AP三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后可求出图形上一些点的坐标，从而求出向量的坐标．可设平面AHB的法向量为，而根据便可得出平面AHB的一个法向量，可设PM与平面AHB所成角为θ，而由即可求出sinθ．
【解答】解：（Ⅰ）证明：PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC；
∴PA⊥BC，即BC⊥PA；
又BC⊥AC，AC∩PA=A；
∴BC⊥平面PAC，AH⊂平面PAC；
∴BC⊥AH，即AH⊥BC；
PA=AC，H为PC的中点；
∴AH⊥PC，PC∩BC=C；
∴AH⊥平面PBC；
（Ⅱ）过A作AD∥BC，根据题意知，AD，AC，AP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），H（0，1，1），；
∴；
设平面AHB的法向量为，则：
；
取y=1，则x=﹣2，z=﹣1，∴；
设PM与平面AHB所成角为θ，则sinθ==；
∴PM与平面AHB所成角的正弦值为．
19．某统计局为了调查居民支出状况，随机调查该市10户家庭的三类支出：食品消费类支出，衣着消费类支出、居住消费类支出，每类支出都分为A、B、C三个等级，现在对三种等级进行量化：A级记为2分；B级记为1分；C级记为0分，用（x，y，z）表示该家庭的食品消费类支出、衣着消费类支出、居住消费类支出的得分情况，再用综合指标ω=x+y+z的值评定该家庭的得分等级：若ω≥4，则得分等级为一级；若2≤ω≤3，则得分等级为二级；若0≤ω≤1，则得分等级为三级，得到如下结果：
家庭编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
（x，y，z）
（1，1，2）
（2，1，1）
（2，2，2）
（0，0，1）
（1，2，1）
（1，2，2）
（1，1，1）
（1，2，2）
（1，2，1）
（1，1，1）
（1）在这10户家庭中任取两户，求这两户家庭居住消费类支出得分相同的概率；
（2）从得分等级是一级的家庭中任取一户，其综合指标为a，从得分等级不是一级的家庭中任取一户，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求X的分布列及数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）设事件A为“从10户家庭中随机抽取两户，他们的居住消费支出得分相同”．居住消费支出得分1分的有6户，居住消费支出得分为2的有4户，由此能求出居住消费支出得分相同的所有的概率．
（2）随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，5．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
【解答】解：（1）设事件A为“从10户家庭中随机抽取两户，他们的居住消费支出得分相同”．
居住消费支出得分1分的有A2，A4，A5，A7，A9，A10，
居住消费支出得分为2的有A1，A3，A6，A8，
从10户家庭中随机抽取两户的所有结果为=45，
居住消费支出得分相同的所有结果数为=21，
所以居住消费支出得分相同的所有的概率为P（A）=．…5分
（2）计算10户家庭的综合指标，可得下表：
人员编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
综合指标
4
4
6
1
4
5
3
5
4
3
其中综合指标是一级的（ω≥4）有A1，A2，A3，A5，A6，A8，A9，共7户，
综合指标不是一级的（ω《4）有A4，A7，A10共3户．…7分
随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，4，5．
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
P（X=4）==，
P（X=5）==，…9分
所以X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
所以EX==． …12分．
20．设圆x2+y2﹣2x﹣15=0的圆心为F1，直线l过点F2（﹣1，0）且交圆F1于P，Q两点，线段PF2的垂直平分线交线段PF1于M点．
（1）证明|MF1|+|MF2|为定值，并写出点M的轨迹方程；
（2）设点M的轨迹为T，T与x轴交点为A，B，直线l与T交于C，D两点，记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆的位置关系．
【分析】（1）求得圆的圆心和半径，运用垂直平分线的性质定理和椭圆的定义，即可得到所求和为定值，及M的轨迹方程；
（2）设直线l的方程为：x=my﹣1（m∈R），代入椭圆方程，运用韦达定理和三角形的面积公式，运用基本不等式，即可得到所求最大值，注意等号成立的条件．
【解答】解：（1）证明：由圆x2+y2﹣2x﹣15=0，得（x﹣1）2+y2=16，
所以圆心为F1（1，0），半径为4．
连MF1，由l是线段PF2的垂直平分线，得|MF2|=|MP|，
|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|F1P|=4，又|F1F2|=2＜4．
根据椭圆的定义知，点M 的轨迹是以F1，F2为焦点，4为长轴的椭圆，
其方程为+=1．
（2）设直线l的方程为：x=my﹣1（m∈R），
由，得（4+3m2）y2﹣6my﹣9=0．
设C（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣＜0，
所以，S1=|AB|•|y2|，S2=|AB|•|y1|，
|S1﹣S2|=|AB|（|y1|﹣|y2|）=×4×|y1+y2|=，
当m≠0时，|S1﹣S2|=≤=（m∈R），
由3m2=4，得 m=±；
当m=0时，|S1﹣S2|=0＜，
从而，当m=±时，|S1﹣S2|取得最大值．
21．已知函数f（x）=2lnx﹣ax2+1
（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；
（2）存在实数m使得f（x）=m的两个零点α、β都属于区间[1，4]，且β﹣α=1，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求导数，分类讨论，利用函数的单调性，结合f（x）有两个零点，求a的取值范围；
（2）利用β﹣α=1，即 2lnα﹣2lnβ+α（α+β）=0，可得2lnα﹣2ln（α+1）+α（2α+1）=0，α∈[1，3]，设h（x）=2lnx﹣2ln（x+1）+α（2x+1）x∈[1，3]，确定h（x）在[1，3]上递增，h（x）在[1，3]有零点，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）=（x＞0）
当a≤0 时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上递增，则f（x）不可能有两个零点．
当a＞0时，由f′（x）＞0 得则f（x）在（0，）单调递增；
由f′（x）＜0得x在（）单调递减．
∴f（x） 在x= 有最大值，f（x）有两个零点只需f（）＞0得
f（）=2ln（）﹣a+1=2ln（）＞0 解得 0＜a＜1．
综上可得a∈（0，1）．…6分
（2）由（1）知当a≤0时，f（x）在[1，4]上递增，不合题意，故a＞0；
由题设f（α）=f（β） 则2lnα﹣αx2+1=2lnβ﹣αβ2+1
考虑到β﹣α=1，即 2lnα﹣2lnβ+α（α+β）=0
∴2lnα﹣2ln（α+1）+α（2α+1）=0，α∈[1，3]
设h（x）=2lnx﹣2ln（x+1）+α（2x+1）x∈[1，3]
则h'（x）= 在（1，3）上恒成立，
∴h（x）在[1，3]上递增，h（x）在[1，3]有零点，则
，∴，∴
故实数a的取值范围是[ln， ln2]…12分．
[选修4-1：几何证明选讲]|
22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB2=BE•BD﹣AE•AC．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；
（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．
【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，
所以∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠AFE=90°，
则A，D，E，F四点共圆
∴∠DEA=∠DFA
（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，
又△ABC∽△AEF∴，即AB•AF=AE•AC
∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2
[选修4-4坐标系与参数方程]|
23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；
（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．
（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为： +m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．
【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．
直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．
（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为： +m2﹣2m=0，
由△＞0，解得﹣1＜m＜3．
∴t1t2=m2﹣2m．
∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，
∴m2﹣2m=±1，
解得，1．又满足△＞0．
∴实数m=1，1．
[选修4-5不等式选讲]|
24．已知函数f（x）=|x|，g（x）=﹣|x﹣4|+m
（Ⅰ）解关于x的不等式g[f（x）]+2﹣m＞0；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围．
【考点】函数的图象；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0可得不等式||x|﹣4|＜2，解此不等式可得解集；
（Ⅱ）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，则f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣4|+|x|恒成立，只要求|x﹣4|+|x|的最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）把函数f（x）=|x|代入g[f（x）]+2﹣m＞0并化简得||x|﹣4|＜2，
∴﹣2＜|x|﹣4＜2，
∴2＜|x|＜6，
故不等式的解集为（﹣6，﹣2）∪（2，6）；
（Ⅱ）∵函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，
∴f（x）＞g（x）恒成立，即m＜|x﹣4|+|x|恒成立，
∵|x﹣4|+|x|≥|（x﹣4）﹣x|=4，
∴m的取值范围为m＜4．
2016年8月9日
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