河南焦作市2016年高二数学下学期期末试卷(理科附解析)
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资料简介
www.ks5u.com ‎2015-2016学年河南省焦作市高二(下)期末数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(每题5分)‎ ‎1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},集合B={2,4},则(∁UA)∪B为(  )‎ A.{2,4,5} B.{1,3,4} C.{1,2,4} D.{2,3,4,5}‎ ‎2.若复数a﹣(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为(  )‎ A.﹣4 B.﹣1 C.1 D.4‎ ‎3.已知命题p:函数f(x)=|cosx|的最小正周期为2π;命题q:∃x,使2x>3x,则下列命题是真命题的是(  )‎ A.p∧q B.p∧(¬q) C.p∨(¬q) D.p∨q ‎4.公比不为1等比数列{an}的前n项和为Sn,且﹣3a1,﹣a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4=(  )‎ A.﹣20 B.0 C.7 D.40‎ ‎5.执行如图所示的程序框图,如果输入的x∈[﹣1,3],则输出的y属于(  )‎ A.[0,2] B.[1,2] C.[0,1] D.[﹣1,5]‎ ‎6.已知函数f(x)=sinx﹣2x,且a=f(ln),b=f(log2),c=f(20.3),则(  )‎ A.c>a>b B.a>c>b C.a>b>c D.b>a>c ‎7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.设F1,F2是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.长郡中学早上8点开始上课,若学生小典与小方匀在早上7:40至8:00之间到校,且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的,则小典比小方至少早5分钟到校的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎11.如图,正方形BCDE的边长为a,已知AB=BC,将直角△ABE沿BE边折起,A点在BCDE上的射影为D点,则对翻折后的几何体有如下描述,其中错误的叙述的是(  )‎ A.AB与DE所成角的正切值是 B.三棱锥B﹣ACE的体积是 C.直线BA与平面ADE所成角的正弦值为 D.平面EAB⊥平面ADE ‎12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)经过点(,﹣2),(,2),且在区间(,)上为单调函数,设an=nf()(n∈N*),则数列{an}的前30项和S30为(  )‎ A.﹣10 B.﹣ C. D.10‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分)‎ ‎13.若实数x,y满足,则z=x+2y的取值范围是      .‎ ‎14.若的展开式中含有常数项,则n的最小值等于      .‎ ‎15.在△ABC中,点D满足,点E是线段AD上的一动点,(不含端点),若=,则=      .‎ ‎16.在平面直角坐标系xOy中,已知P是函数f(x)=ex(x>0)的图象上的动点,该图象在点P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是      .‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.如图所示,角A为钝角,且sinA=,点P、Q分别在角A的两边上.‎ ‎(1)AP=5,PQ=3,求AQ的长;‎ ‎(2)设∠APQ=α,∠AQP=β,且cosα=,求sin(2α+β)的值.‎ ‎18.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,H为PC的中点,M为AH中点,PA=AC=2,BC=1.‎ ‎(Ⅰ)求证:AH⊥平面PBC;‎ ‎(Ⅱ)求PM与平面AHB所成角的正弦值.‎ ‎19.某统计局为了调查居民支出状况,随机调查该市10户家庭的三类支出:食品消费类支出,衣着消费类支出、居住消费类支出,每类支出都分为A、B、C三个等级,现在对三种等级进行量化:A级记为2分;B级记为1分;C级记为0分,用(x,y,z)表示该家庭的食品消费类支出、衣着消费类支出、居住消费类支出的得分情况,再用综合指标ω=x+y+z的值评定该家庭的得分等级:若ω≥4,则得分等级为一级;若2≤ω≤3,则得分等级为二级;若0≤ω≤1,则得分等级为三级,得到如下结果:‎ 家庭编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ ‎(x,y,z)‎ ‎(1,1,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,2)‎ ‎(0,0,1)‎ ‎(1,2,1)‎ ‎(1,2,2)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(1,2,2)‎ ‎(1,2,1)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(1)在这10户家庭中任取两户,求这两户家庭居住消费类支出得分相同的概率;‎ ‎(2)从得分等级是一级的家庭中任取一户,其综合指标为a,从得分等级不是一级的家庭中任取一户,其综合指标为b,记随机变量X=a﹣b,求X的分布列及数学期望.‎ ‎20.设圆x2+y2﹣2x﹣15=0的圆心为F1,直线l过点F2(﹣1,0)且交圆F1于P,Q两点,线段PF2的垂直平分线交线段PF1于M点.‎ ‎(1)证明|MF1|+|MF2|为定值,并写出点M的轨迹方程;‎ ‎(2)设点M的轨迹为T,T与x轴交点为A,B,直线l与T交于C,D两点,记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1﹣S2|的最大值.‎ ‎21.已知函数f(x)=2lnx﹣ax2+1‎ ‎(1)若f(x)有两个零点,求a的取值范围;‎ ‎(2)存在实数m使得f(x)=m的两个零点α、β都属于区间[1,4],且β﹣α=1,求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-1:几何证明选讲]|‎ ‎22.如图,AB是⊙O的直径,弦CA、BD的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证:‎ ‎(1)∠DEA=∠DFA;‎ ‎(2)AB2=BE•BD﹣AE•AC.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4坐标系与参数方程]|‎ ‎23.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是(t为参数).‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;‎ ‎(2)设点P(m,0),若直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA|•|PB|=1,求实数m的值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5不等式选讲]|‎ ‎24.已知函数f(x)=|x|,g(x)=﹣|x﹣4|+m ‎(Ⅰ)解关于x的不等式g[f(x)]+2﹣m>0;‎ ‎(Ⅱ)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求实数m的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2015-2016学年河南省焦作市高二(下)期末数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每题5分)‎ ‎1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},集合B={2,4},则(∁UA)∪B为(  )‎ A.{2,4,5} B.{1,3,4} C.{1,2,4} D.{2,3,4,5}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算.‎ ‎【分析】根据全集U及A求出A的补集,找出A补集与B的并集即可.‎ ‎【解答】解:∵全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},‎ ‎∴∁UA={2,5},‎ ‎∵B={2,4},‎ ‎∴(∁UA)∪B={2,4,5}.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.若复数a﹣(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为(  )‎ A.﹣4 B.﹣1 C.1 D.4‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.‎ ‎【解答】解:复数a﹣=a﹣=a﹣(4+i)=(a﹣4)﹣i是纯虚数,‎ ‎∴a﹣4=0,解得a=4.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.已知命题p:函数f(x)=|cosx|的最小正周期为2π;命题q:∃x,使2x>3x,则下列命题是真命题的是(  )‎ A.p∧q B.p∧(¬q) C.p∨(¬q) D.p∨q ‎【考点】复合命题的真假.‎ ‎【分析】分别判断出p,q的真假,从而判断出复合命题的真假即可.‎ ‎【解答】解:命题p:函数f(x)=|cosx|的最小正周期为π,‎ 故命题p是假命题;‎ 命题q:∃x,使2x>3x,‎ 故命题q是真命题,‎ 故p∨q是真命题,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4.公比不为1等比数列{an}的前n项和为Sn,且﹣3a1,﹣a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4=(  )‎ A.﹣20 B.0 C.7 D.40‎ ‎【考点】等比数列的前n项和;等差数列的性质.‎ ‎【分析】利用﹣3a1,﹣a2,a3成等差数列,确定数列的公比,从而可求S4.‎ ‎【解答】解:设数列的公比为q(q≠1),则 ‎∵﹣3a1,﹣a2,a3成等差数列,‎ ‎∴﹣3a1+a3=﹣2a2,‎ ‎∵a1=1,∴﹣3+q2+2q=0,‎ ‎∵q≠1,∴q=﹣3‎ ‎∴S4=1﹣3+9﹣27=﹣20‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎5.执行如图所示的程序框图,如果输入的x∈[﹣1,3],则输出的y属于(  )‎ A.[0,2] B.[1,2] C.[0,1] D.[﹣1,5]‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】根据程序框图,分析程序的功能,结合输出自变量的范围条件,利用函数的性质即可得到结论.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出y=的值.‎ 若﹣1≤x<0,则不满足条件输出y=2﹣x﹣1∈(0,1],‎ 若0≤x≤3,则满足条件,此时y=log2(x+1)∈[0,2],‎ 输出y∈[0,2],‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.已知函数f(x)=sinx﹣2x,且a=f(ln),b=f(log2),c=f(20.3),则(  )‎ A.c>a>b B.a>c>b C.a>b>c D.b>a>c ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】求出函数f(x)的单调性,根据20.3>ln>log2,从而求出函数值的大小即可.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=sinx﹣2x,∴f′(x)=cosx﹣2<0,‎ ‎∴f(x)在R单调递减,‎ ‎∵0<ln<1,log2<0,20.3>1,‎ ‎20.3>ln>log2,‎ ‎∴c<a<b,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的表面积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】由已知中几何体的三视图中,正视图是一个正三角形,侧视图和俯视图均为三角形,我们得出这个几何体的外接球的球心O在高线PD上,且是等边三角形PAC的中心,得到球的半径,代入球的表面积公式,即可得到答案.‎ ‎【解答】解:由已知中知几何体的正视图是一个正三角形,侧视图和俯视图均为三角形,‎ 可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面,高为,底面是一个等腰直角三角形的三棱锥,如图.‎ 则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上,且是等边三角形PAC的中心,‎ 这个几何体的外接球的半径R=PD=.‎ 则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×()2=‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.设F1,F2是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|,|PF2|,进而确定最小内角,再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|﹣|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.‎ 则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°,∴﹣,‎ ‎∴(2a)2=(4a)2+(2c)2﹣,‎ 化为=0,解得.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎9.长郡中学早上8点开始上课,若学生小典与小方匀在早上7:40至8:00之间到校,且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的,则小典比小方至少早5分钟到校的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】几何概型.‎ ‎【分析】设小张到校的时间为x,小王到校的时间为y.(x,y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x,y|40≤x≤60,40≤y≤60}是一个矩形区域,则小张比小王至少早5分钟到校事件A={(x,y)|y﹣x≥5}作出符合题意的图象,由图根据几何概率模型的规则求解即可.‎ ‎【解答】解:设小张到校的时间为x,小王到校的时间为y.‎ ‎(x,y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={(x,y|40≤x≤60,40≤y≤60}是一个矩形区域,‎ 对应的面积S=20×20=400,‎ 则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象,‎ 则符合题意的区域为△ABC,联立得C(55,60),‎ 由得B(40,45),‎ 则S△ABC=×15×15,由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合;抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】画出图形,设出抛物线方程,利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.‎ ‎【解答】解:设抛物线为y2=2px,如图:|AB|=4,|AM|=2,‎ ‎|DE|=2,|DN|=,|ON|=,‎ xA==,‎ ‎|OD|=|OA|,‎ ‎=+5,‎ 解得:p=4.‎ C的焦点到准线的距离为:4.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎11.如图,正方形BCDE的边长为a,已知AB=BC,将直角△ABE沿BE边折起,A点在BCDE上的射影为D点,则对翻折后的几何体有如下描述,其中错误的叙述的是(  )‎ A.AB与DE所成角的正切值是 B.三棱锥B﹣ACE的体积是 C.直线BA与平面ADE所成角的正弦值为 D.平面EAB⊥平面ADE ‎【考点】棱锥的结构特征.‎ ‎【分析】在A 中,由于BC∥DE,则∠ABC(或其补角)为AB与DE所成角;‎ 在B中,VB﹣ACE=S△BCE×AD;‎ 在C中,确定∠BAE为直线BA与平面ADE所成角,即可求解;‎ 在D中,证明BE⊥平面ADE,利用面面平行的判定,可得平面EAB⊥平面ADE.‎ ‎【解答】解:由题意,AD⊥平面BCDE,AD=a,AC=a,‎ 在A中,∵BC∥DE,∴∠ABC(或其补角)为AB与DE所成角,‎ ‎∵AB=a,BC=a,AC=a,∴BC⊥AC,∴tan∠ABC=,故A正确;‎ 在B中,VB﹣ACE=S△BCE×AD=×a×a×a=a3,故B正确;‎ 在C中,∵BE⊥平面ADE,∴∠BAE为直线BA与平面ADE所成角,‎ 在△BAE中,∠BEA=90°,BE=a,AB=a,‎ ‎∴sin∠BEA===,故C错误;‎ 在D中,∵AD⊥平面BCDE,BE⊂平面BCDE,∴AD⊥BE,∵BE⊥ED,AD∩ED=D,∴BE⊥平面ADE ‎∵BE⊂平面EAB,∴平面EAB⊥平面ADE,故D正确.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)经过点(,﹣2),(,2),且在区间(,)上为单调函数,设an=nf()(n∈N*),则数列{an}的前30项和S30为(  )‎ A.﹣10 B.﹣ C. D.10‎ ‎【考点】数列的求和;正弦函数的图象.‎ ‎【分析】由题意可得: =2×,解得ω.代入2=2,解得φ.可得f(x)=2sin.可得an=nf()=2n,利用三角函数与数列的周期性即可得出.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)经过点(,﹣2),(,2),且在区间(,)上为单调函数,‎ ‎∴=2×,解得ω=2.‎ ‎∴2=2,解得φ=﹣.‎ ‎∴f(x)=2sin.‎ ‎∴an=nf()=2n,‎ 数列的周期为3.‎ a1=0,a2=4=2,a3=﹣6=﹣3,‎ ‎∴a1+a2+a3=﹣,‎ ‎∴a1+a2+…+a6+…+a30‎ ‎=﹣10.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分)‎ ‎13.若实数x,y满足,则z=x+2y的取值范围是 [0,2] .‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件,画出可行域,然后求出目标函数的值域即可.‎ ‎【解答】解:画出可行域,‎ 得在直线x﹣y+1=0与直线x+y=0的交点0(0,0)处,‎ 目标函数z=x+2y的最小值为0.‎ 在直线z=x+2y过点(0,1)处,‎ 目标函数z=x+2y的最大值为2.‎ 则z=x+2y的取值范围是[0,2].‎ 故答案为:[0,2].‎ ‎ ‎ ‎14.若的展开式中含有常数项,则n的最小值等于 5 .‎ ‎【考点】二项式系数的性质.‎ ‎【分析】二项式项的公式Tr+1=Cnr(x6)n﹣r()r,对其进行整理,令x的指数为0,建立方程求出n的最小值 ‎【解答】解:由题意的展开式的项为Tr+1=Cnr(x6)n﹣r()r=Cnr=Cnr 令=0,得n=,当r=4时,n 取到最小值5‎ 故答案为:5.‎ ‎ ‎ ‎15.在△ABC中,点D满足,点E是线段AD上的一动点,(不含端点),若=,则=  .‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义.‎ ‎【分析】用表示出,根据三点共线得出λ,μ的关系.‎ ‎【解答】解:∵,∴=,∴==+,‎ ‎∴==(λ+μ)+=(﹣λ﹣μ)+.‎ ‎∵A,D,E三点共线,∴﹣λ﹣μ+=1,∴λ+1=.∴=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.在平面直角坐标系xOy中,已知P是函数f(x)=ex(x>0)的图象上的动点,该图象在点P处的切线l交y轴于点M,过点P作l的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是 (e+e﹣1) .‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】先设切点坐标为(m,em),然后根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=m处的导数,从而求出切线的斜率,求出切线方程,从而求出点M的纵坐标,同理可求出点N的纵坐标,将t用m表示出来,最后借助导数的方法求出函数的最大值即可.‎ ‎【解答】解:设切点坐标为(m,em).‎ ‎∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣em=em(x﹣m).‎ 令x=0,解得y=(1﹣m)em.‎ 过点P作l的垂线的切线方程为y﹣em=﹣e﹣m(x﹣m).‎ 令x=0,解得y=em+me﹣m.‎ ‎∴线段MN的中点的纵坐标为t= [(2﹣m)em+me﹣m].‎ t'= [﹣em+(2﹣m)em+e﹣m﹣me﹣m],令t'=0解得:m=1.‎ 当m∈(0,1)时,t'>0,当m∈(1,+∞)时,t'<0.‎ ‎∴当m=1时t取最大值(e+e﹣1).‎ 故答案为:(e+e﹣1).‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.如图所示,角A为钝角,且sinA=,点P、Q分别在角A的两边上.‎ ‎(1)AP=5,PQ=3,求AQ的长;‎ ‎(2)设∠APQ=α,∠AQP=β,且cosα=,求sin(2α+β)的值.‎ ‎【考点】解三角形.‎ ‎【分析】(1)由A为钝角,利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值,然后利用余弦定理得到关于AQ的方程,求出方程的解即可得到满足题意的AQ的长;‎ ‎(2)由cosα的值利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值,根据三角形的内角和定理及诱导公式求出sinA的值及cosA的值,然后把2α+β变为α+(α+β),利用两角和的正弦函数公式化简后,分别将各自的值代入即可求出所求式子的值.‎ ‎【解答】解:(1)∵∠A是钝角,,∴,‎ 在△APQ中,PQ2=AP2+AQ2﹣2AP•AQcosA,‎ ‎∴,‎ 解得AQ=2或AQ=﹣10(舍)即AQ=2;‎ ‎(2)由cosα=,得sinα=,‎ 又sin(α+β)=sinA=,cos(α+β)=﹣cosA=,‎ ‎∴sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]=sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=.‎ ‎ ‎ ‎18.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,H为PC的中点,M为AH中点,PA=AC=2,BC=1.‎ ‎(Ⅰ)求证:AH⊥平面PBC;‎ ‎(Ⅱ)求PM与平面AHB所成角的正弦值.‎ ‎【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据条件可以得到BC⊥平面PAC,从而得到AH⊥BC,而根据PA=AC,H为PC的中点可以得到AH⊥PC,这样根据线面垂直的判定定理即可得到AH⊥平面PBC;‎ ‎(Ⅱ)可作AD∥BC,这样便可以AD,AC,AP三直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,然后可求出图形上一些点的坐标,从而求出向量的坐标.可设平面AHB的法向量为,而根据便可得出平面AHB的一个法向量,可设PM与平面AHB所成角为θ,而由即可求出sinθ.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:PA⊥底面ABC,BC⊂平面ABC;‎ ‎∴PA⊥BC,即BC⊥PA;‎ 又BC⊥AC,AC∩PA=A;‎ ‎∴BC⊥平面PAC,AH⊂平面PAC;‎ ‎∴BC⊥AH,即AH⊥BC;‎ PA=AC,H为PC的中点;‎ ‎∴AH⊥PC,PC∩BC=C;‎ ‎∴AH⊥平面PBC;‎ ‎(Ⅱ)过A作AD∥BC,根据题意知,AD,AC,AP三直线两两垂直,分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则:‎ A(0,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),H(0,1,1),;‎ ‎∴;‎ 设平面AHB的法向量为,则:‎ ‎;‎ 取y=1,则x=﹣2,z=﹣1,∴;‎ 设PM与平面AHB所成角为θ,则sinθ==;‎ ‎∴PM与平面AHB所成角的正弦值为.‎ ‎ ‎ ‎19.某统计局为了调查居民支出状况,随机调查该市10户家庭的三类支出:食品消费类支出,衣着消费类支出、居住消费类支出,每类支出都分为A、B、C三个等级,现在对三种等级进行量化:A级记为2分;B级记为1分;C级记为0分,用(x,y,z)表示该家庭的食品消费类支出、衣着消费类支出、居住消费类支出的得分情况,再用综合指标ω=x+y+z的值评定该家庭的得分等级:若ω≥4,则得分等级为一级;若2≤ω≤3,则得分等级为二级;若0≤ω≤1,则得分等级为三级,得到如下结果:‎ 家庭编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ ‎(x,y,z)‎ ‎(1,1,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,2)‎ ‎(0,0,1)‎ ‎(1,2,1)‎ ‎(1,2,2)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(1,2,2)‎ ‎(1,2,1)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(1)在这10户家庭中任取两户,求这两户家庭居住消费类支出得分相同的概率;‎ ‎(2)从得分等级是一级的家庭中任取一户,其综合指标为a,从得分等级不是一级的家庭中任取一户,其综合指标为b,记随机变量X=a﹣b,求X的分布列及数学期望.‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随机变量及其分布列.‎ ‎【分析】(1)设事件A为“从10户家庭中随机抽取两户,他们的居住消费支出得分相同”.居住消费支出得分1分的有6户,居住消费支出得分为2的有4户,由此能求出居住消费支出得分相同的所有的概率.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为:1,2,3,4,5.分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和EX.‎ ‎【解答】解:(1)设事件A为“从10户家庭中随机抽取两户,他们的居住消费支出得分相同”.‎ 居住消费支出得分1分的有A2,A4,A5,A7,A9,A10,‎ 居住消费支出得分为2的有A1,A3,A6,A8,‎ 从10户家庭中随机抽取两户的所有结果为=45,‎ 居住消费支出得分相同的所有结果数为=21,‎ 所以居住消费支出得分相同的所有的概率为P(A)=.…5分 ‎(2)计算10户家庭的综合指标,可得下表:‎ 人员编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 综合指标 ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ 其中综合指标是一级的(ω≥4)有A1,A2,A3,A5,A6,A8,A9,共7户,‎ 综合指标不是一级的(ω《4)有A4,A7,A10共3户.…7分 随机变量X的所有可能取值为:1,2,3,4,5.‎ P(X=1)==,‎ P(X=2)==,‎ P(X=3)==,‎ P(X=4)==,‎ P(X=5)==,…9分 所以X的分布列为:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 所以EX==. …12分.‎ ‎ ‎ ‎20.设圆x2+y2﹣2x﹣15=0的圆心为F1,直线l过点F2(﹣1,0)且交圆F1于P,Q两点,线段PF2的垂直平分线交线段PF1于M点.‎ ‎(1)证明|MF1|+|MF2|为定值,并写出点M的轨迹方程;‎ ‎(2)设点M的轨迹为T,T与x轴交点为A,B,直线l与T交于C,D两点,记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1﹣S2|的最大值.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质;直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】(1)求得圆的圆心和半径,运用垂直平分线的性质定理和椭圆的定义,即可得到所求和为定值,及M的轨迹方程;‎ ‎(2)设直线l的方程为:x=my﹣1(m∈R),代入椭圆方程,运用韦达定理和三角形的面积公式,运用基本不等式,即可得到所求最大值,注意等号成立的条件.‎ ‎【解答】解:(1)证明:由圆x2+y2﹣2x﹣15=0,得(x﹣1)2+y2=16,‎ 所以圆心为F1(1,0),半径为4.‎ 连MF1,由l是线段PF2的垂直平分线,得|MF2|=|MP|,‎ ‎|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|F1P|=4,又|F1F2|=2<4.‎ 根据椭圆的定义知,点M 的轨迹是以F1,F2为焦点,4为长轴的椭圆,‎ 其方程为+=1.‎ ‎(2)设直线l的方程为:x=my﹣1(m∈R),‎ 由,得(4+3m2)y2﹣6my﹣9=0.‎ 设C(x1,y1),D(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=﹣<0,‎ 所以,S1=|AB|•|y2|,S2=|AB|•|y1|,‎ ‎|S1﹣S2|=|AB|(|y1|﹣|y2|)=×4×|y1+y2|=,‎ 当m≠0时,|S1﹣S2|=≤=(m∈R),‎ 由3m2=4,得 m=±;‎ 当m=0时,|S1﹣S2|=0<,‎ 从而,当m=±时,|S1﹣S2|取得最大值.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=2lnx﹣ax2+1‎ ‎(1)若f(x)有两个零点,求a的取值范围;‎ ‎(2)存在实数m使得f(x)=m的两个零点α、β都属于区间[1,4],且β﹣α=1,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(1)求导数,分类讨论,利用函数的单调性,结合f(x)有两个零点,求a的取值范围;‎ ‎(2)利用β﹣α=1,即 2lnα﹣2lnβ+α(α+β)=0,可得2lnα﹣2ln(α+1)+α(2α+1)=0,α∈[1,3],设h(x)=2lnx﹣2ln(x+1)+α(2x+1)x∈[1,3],确定h(x)在[1,3]上递增,h(x)在[1,3]有零点,即可求实数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)f′(x)=(x>0)‎ 当a≤0 时,f′(x)>0恒成立,则f(x)在(0,+∞)上递增,则f(x)不可能有两个零点.‎ 当a>0时,由f′(x)>0 得则f(x)在(0,)单调递增;‎ ‎ 由f′(x)<0得x在()单调递减.‎ ‎∴f(x) 在x= 有最大值,f(x)有两个零点只需f()>0得 f()=2ln()﹣a+1=2ln()>0 解得 0<a<1.‎ 综上可得a∈(0,1).…6分 ‎(2)由(1)知当a≤0时,f(x)在[1,4]上递增,不合题意,故a>0;‎ 由题设f(α)=f(β) 则2lnα﹣αx2+1=2lnβ﹣αβ2+1‎ 考虑到β﹣α=1,即 2lnα﹣2lnβ+α(α+β)=0‎ ‎∴2lnα﹣2ln(α+1)+α(2α+1)=0,α∈[1,3]‎ 设h(x)=2lnx﹣2ln(x+1)+α(2x+1)x∈[1,3]‎ 则h'(x)= 在(1,3)上恒成立,‎ ‎∴h(x)在[1,3]上递增,h(x)在[1,3]有零点,则 ‎,∴,∴‎ 故实数a的取值范围是[ln, ln2]…12分.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-1:几何证明选讲]|‎ ‎22.如图,AB是⊙O的直径,弦CA、BD的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证:‎ ‎(1)∠DEA=∠DFA;‎ ‎(2)AB2=BE•BD﹣AE•AC.‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段.‎ ‎【分析】(1)连接AD,利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系,通过证明A,D,E,F四点共圆即可证得结论;‎ ‎(2)由(1)知,BD•BE=BA•BF,再利用△ABC∽△AEF得到比例式,最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC.‎ ‎【解答】证明:(1)连接AD,因为AB为圆的直径,‎ 所以∠ADB=90°,‎ 又EF⊥AB,∠AFE=90°,‎ 则A,D,E,F四点共圆 ‎∴∠DEA=∠DFA ‎(2)由(1)知,BD•BE=BA•BF,‎ 又△ABC∽△AEF∴,即AB•AF=AE•AC ‎∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•(BF﹣AF)=AB2‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4坐标系与参数方程]|‎ ‎23.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线L的参数方程是(t为参数).‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程;‎ ‎(2)设点P(m,0),若直线L与曲线C交于A,B两点,且|PA|•|PB|=1,求实数m的值.‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】(1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,化为ρ2=2ρcosθ,利用可得直角坐标方程.直线L的参数方程是(t为参数),把t=2y代入+m消去参数t即可得出.‎ ‎(2)把(t为参数),代入方程:x2+y2=2x化为: +m2﹣2m=0,由△>0,得﹣1<m<3.利用|PA|•|PB|=t1t2,即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,化为ρ2=2ρcosθ,可得直角坐标方程:x2+y2=2x.‎ 直线L的参数方程是(t为参数),消去参数t可得.‎ ‎(2)把(t为参数),代入方程:x2+y2=2x化为: +m2﹣2m=0,‎ 由△>0,解得﹣1<m<3.‎ ‎∴t1t2=m2﹣2m.‎ ‎∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|,‎ ‎∴m2﹣2m=±1,‎ 解得,1.又满足△>0.‎ ‎∴实数m=1,1.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5不等式选讲]|‎ ‎24.已知函数f(x)=|x|,g(x)=﹣|x﹣4|+m ‎(Ⅰ)解关于x的不等式g[f(x)]+2﹣m>0;‎ ‎(Ⅱ)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】函数的图象;绝对值不等式的解法.‎ ‎【分析】(Ⅰ)把函数f(x)=|x|代入g[f(x)]+2﹣m>0可得不等式||x|﹣4|<2,解此不等式可得解集;‎ ‎(Ⅱ)函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,则f(x)>g(x)恒成立,即m<|x﹣4|+|x|恒成立,只要求|x﹣4|+|x|的最小值即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)把函数f(x)=|x|代入g[f(x)]+2﹣m>0并化简得||x|﹣4|<2,‎ ‎∴﹣2<|x|﹣4<2,‎ ‎∴2<|x|<6,‎ 故不等式的解集为(﹣6,﹣2)∪(2,6);‎ ‎(Ⅱ)∵函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,‎ ‎∴f(x)>g(x)恒成立,即m<|x﹣4|+|x|恒成立,‎ ‎∵|x﹣4|+|x|≥|(x﹣4)﹣x|=4,‎ ‎∴m的取值范围为m<4.‎ ‎ ‎ ‎2016年8月9日

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