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2015-2016学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线x﹣y+a=0（a∈R）的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
2．复数z=的共轭复数是（ ）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．2+i D．2﹣i
3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
4．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（ ）
A． B． C． D．
5．设集合M={x|x＜2016}，N={x|y=lg（x﹣x2）}，则下列关系中正确的是（ ）
A．N∈M B．M∪N=R C．M∩N={x|0＜x＜1} D．M∩N=∅
6．已知平面向量，满足，与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中0＜φ＜2π，若恒成立，且，则φ等于（ ）
A． B． C． D．
9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：
①
②
③
④
其中，真命题是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
10．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
11．已知，则二项式的展开式中x的系数为（ ）
A．10 B．﹣10 C．80 D．﹣80
12．已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（ ）
A．（9，25） B．（13，49） C．（3，7） D．（9，49）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设等比数列{an}的公比，前n项和为Sn，则= ．
14．已知不等式组，表示的平面区域的面积为4，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为 ．
15．如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是 ．
16．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是 ．
三、解答题（本大题共5小题，70分）
17．已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26，数列{an}的前n项和Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
18．为了体现国家“民生工程”，某市政府为保障居民住房，现提供一批经济适用房．现有条件相同的甲、已、丙、丁四套住房供A、B、C三人自主申请，他们的申请是相互独立的．
（Ⅰ）求A、B两人都申请甲套住房的概率；
（Ⅱ）求A、B两人不申请同一套住房的概率；
（Ⅲ）设3名参加选房的人员中选择甲套住房的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．
（Ⅰ）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值．
（Ⅱ）若二面角P﹣BF﹣C的余弦值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
20．已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
3
﹣2
4
y
﹣2
0
﹣4
（Ⅰ）求C1、C2的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
21．已知函数f（x）=ex﹣kx，x∈R（e是自然对数的底数）．
（1）若k∈R，求函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，讨论函数f（x）在（﹣∞，4]上的零点个数．
[选修4-1:几何证明选讲]
22．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23．已知曲线C1：（α为参数）与曲线C2：ρ=4sinθ
（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）求曲线C1和C2公共弦的长度．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．
2015-2016学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线x﹣y+a=0（a∈R）的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
【考点】直线的倾斜角．
【分析】先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角．
【解答】解：由题意，直线的斜率为：k=，即直线倾斜角的正切值是，
又倾斜角α∈[0°，180°），且tan60，
故直线的倾斜角为：60°，
故选：B．
2．复数z=的共轭复数是（ ）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．2+i D．2﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】根据复数的运算法则即可得到结论．
【解答】解：z===，
则复数z=的共轭复数是﹣1﹣i，
故选：A
3．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．
【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．
所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．
故：B．
4．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．
【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，
∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，
∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，
∴A=．
故选D．
5．设集合M={x|x＜2016}，N={x|y=lg（x﹣x2）}，则下列关系中正确的是（ ）
A．N∈M B．M∪N=R C．M∩N={x|0＜x＜1} D．M∩N=∅
【考点】交集及其运算．
【分析】求出N中x的范围确定出N，求出M与N的交集、并集，即可作出判断．
【解答】解：由N中y=lg（x﹣x2），得到x﹣x2＞0，即x2﹣x＜0，
分解因式得：x（x﹣1）＜0，
解得：0＜x＜1，即N={x|0＜x＜1}，
∵M={x|x＜2016}，
∴M∩N={x|0＜x＜1}，M∪N={x|x＜2016}，
故选：C．
6．已知平面向量，满足，与的夹角为60°，则“m=1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】由已知中平面向量，满足，与的夹角为60°，分别判断“m=1”⇒“”与“”⇒“m=1”的真假，根据充要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：∵向量，满足，与的夹角为60°，
∴=1， •=1
当m=1时， ==﹣•=0
故
当时，﹣m•=1﹣m=0，
故m=1
故“m=1”是“”的充要条件
故选C
7．从（其中m，n∈{﹣1，2，3}）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的标准方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】m和n的所有可能取值共有3×3=9个，其中有两种不符合题意，故共有7种，可一一列举，从中数出能使方程是焦点在x轴上的双曲线的选法，即m和n都为正的选法数，最后由古典概型的概率计算公式即可得其概率
【解答】解：设（m，n）表示m，n的取值组合，则取值的所有情况有（﹣1，﹣1），（2，﹣1），（2，2），（2，3），（3，﹣1），（3，2），（3，3）共7个，（注意（﹣1，2），（﹣1，3）不合题意）
其中能使方程是焦点在x轴上的双曲线的有：（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）共4个
∴此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为
故选B
8．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中0＜φ＜2π，若恒成立，且，则φ等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，求得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合f（）＞f（π），易求出满足条件的具体的φ值．
【解答】解：若对x∈R恒成立，
则f（）等于函数的最大值或最小值
即2×+φ=kπ+，k∈Z
则φ=kπ+，k∈Z
又，即sinφ＜0，0＜φ＜2π
当k=1时，此时φ=，满足条件
故选C．
9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：
①
②
③
④
其中，真命题是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【考点】命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．
【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．
【解答】解：
对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确
对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确
对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，
根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确
对应④m有可能在平面α内，故不正确，
故选C
10．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】利用两角和与差的三角函数公式整理已知等式，然后逆用两角和与差的三角函数诱导公式解答．
【解答】解：∵sin（α+）+sinα=﹣，
∴，
∴，
∴cos（α﹣）=，
∴cos（α+）=cos[π+（α﹣）]=﹣cos（α﹣）=．
故选C．
11．已知，则二项式的展开式中x的系数为（ ）
A．10 B．﹣10 C．80 D．﹣80
【考点】二项式定理；微积分基本定理．
【分析】利用定积分的意义可求得a，再利用二项展开式的通项公式即可求得二项式的展开式中x的系数．
【解答】解：∵a=2（cos（x+））dx=2sin（x+）=2（﹣﹣）=﹣2，
∴=，
设其二项展开式的通项公式Tr+1=（﹣2）r••（x2）5﹣r•x﹣r=（﹣2）r••x10﹣3r，
令10﹣3r=1得：r=3．
∴Tr+1=（﹣2）3×x=﹣8×10x=﹣80x，
∴二项式的展开式中x的系数为﹣80．
故选D．
12．已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（ ）
A．（9，25） B．（13，49） C．（3，7） D．（9，49）
【考点】函数恒成立问题．
【分析】由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，即可求．
【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，
即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），
又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立
∴f（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2）恒成立，
∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2，
∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立，
设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，
则d=表示区域内的点和原点的距离．
由图可知：d的最小值是OA=，OB=OC+CB，5+2=7，
当x＞3时，x2+y2的范围为（13，49）．
故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设等比数列{an}的公比，前n项和为Sn，则= 15 ．
【考点】等比数列的性质．
【分析】先通过等比数列的求和公式，表示出S4，得知a4=a1q3，进而把a1和q代入约分化简可得到答案．
【解答】解：对于，∴
14．已知不等式组，表示的平面区域的面积为4，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为 6 ．
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】先画出满足约束条件的平面区域，利用平面区域的面积为4求出a=2．然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x+y中，求出2x+y的最大值
【解答】解：满足约束条件的平面区域如图
所以平面区域的面积S=•a•2a=4⇒a=2，
此时A（2，2），B（2，﹣2）
由图得当z=2x+y过点A（2，2）时，z=2x+y取最大值6．
故答案为 6．
15．如图程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[﹣2，]内，则输入的实数x的取值范围是 （﹣∞，﹣1]∪[，] ．
【考点】程序框图．
【分析】由程序框图得出函数y=f（x）的解析式，并根据其单调性求出相应的自变量x的取值范围即可．
【解答】解：由程序框图可知：f（x）=，
∵输出的函数值在区间[﹣2，]内，
∴必有当x≤0时，0＜2x≤；
当x＞0时，﹣2≤log2x≤．
解得x≤﹣1或≤x≤．
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[，]．
16．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是 π ．
【考点】球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的体积．
【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱ABC﹣A1B1C1，
三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC，侧棱长是2，
三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN的中点O与三棱柱的顶点A的连线AO就是外接球的半径，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，MN=2，
∴AM==，OM=1，
∴这个球的半径r==2，
∴这个球的体积V=π×23=π，
故答案为：π．
三、解答题（本大题共5小题，70分）
17．已知等差数列{an}满足a3=7，a5+a7=26，数列{an}的前n项和Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
【分析】（I）设等差数列{an}的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得，解出利用等差数列的前n项和公式即可得出；
（Ⅱ）bn===，利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，
∴，解得a1=3，d=2．
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．
∴数列{an}的前n项和Sn==n2+2n．
（Ⅱ）bn===，
∴数列{bn}的前n项和Tn=++…+==．
18．为了体现国家“民生工程”，某市政府为保障居民住房，现提供一批经济适用房．现有条件相同的甲、已、丙、丁四套住房供A、B、C三人自主申请，他们的申请是相互独立的．
（Ⅰ）求A、B两人都申请甲套住房的概率；
（Ⅱ）求A、B两人不申请同一套住房的概率；
（Ⅲ）设3名参加选房的人员中选择甲套住房的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（Ⅰ）设“A申请甲套住房”为事件M1，“B申请甲套住房”为事件M2．由事件A和B是独立事件，能求出A，B两人都申请甲套住房的概率．
（Ⅱ）设“A，B两人选择同一套住房”为事件N，先求出事件N的概率，再求A，B两人不选择同一套住房的概率．
（Ⅲ）法一：随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
法二：依题意得，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设“A申请甲套住房”为事件M1，“B申请甲套住房”为事件M2
那么A，B两人都申请甲套住房的概率
所以甲、乙两人都申请甲套住房的概率为…
（Ⅱ）设“A，B两人选择同一套住房”为事件N，
所以A，B两人不选择同一套住房的概率是
…
（Ⅲ）（方法一）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，那么；
；
；
；
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
…
所以…
（方法二）依题意得
所以ξ的分布列为，k=0，1，2，3．
即
ξ
0
1
2
3
P
…
所以…
19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．
（Ⅰ）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值．
（Ⅱ）若二面角P﹣BF﹣C的余弦值为，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．
【分析】（1）根据一对对边平行且相等，得到一个四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行，把两条异面直线所成的角表示出来，放到△PBF中，利用余弦定理求出角的余弦值．
（Ⅱ）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设出线段的长，根据条件中所给的两个平面的二面角的值，求出设出的a的值，再求出四棱锥的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形
∴DF∥BE且DF=BE
∴DFBE为平行四边形
∴DE∥BF
∴∠PBF是PB与DE的所成角
△PBF中，BF=，PF=，，PB=3，
∴cos∠PBF=，
∴异面直线PB和DE所成角的余弦值为；
解：（Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设PD=a，
可得如下点的坐标：
P（0，0，a），F（1，0，0），B（2，2，0）
则有： =（1，0，﹣a），=（1，2，0）
因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1）
设平面PFB的一个法向量为=（x，y，z），则可得，令x=1，得z=，y=﹣，
所以=（1，﹣，）
由已知，二面角P﹣BF﹣C的余弦值为，所以得=，解得a=2．
因为PD是四棱锥P﹣ABCD的高，
所以其体积为VP﹣ABCD=×2×4=．
20．已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
3
﹣2
4
y
﹣2
0
﹣4
（Ⅰ）求C1、C2的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交不同两点M、N且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程．
【分析】（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，据此验证4个点知（3，﹣2）、（4，﹣4）在抛物线上，易求C2：y2=4x，设C1：，把点（﹣2，0）（）代入得：，由此能够求出C1方程．
（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），由消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，再由韦达定理能够导出存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．
【解答】解：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，据此验证4个点知（3，﹣2）、（4，﹣4）在抛物线上，易求C2：y2=4x
设C1：，把点（﹣2，0）（）代入得：
解得
∴C1方程为
（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；
当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为y=k（x﹣1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）
由消掉y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）=0，
于是，①
y1y2=k（x1﹣1）×k（x1﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]
即②
由，即，得x1x2+y1y2=0（*），
将①、②代入（*）式，得，解得k=±2；
所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x﹣2或y=﹣2x+2．．
21．已知函数f（x）=ex﹣kx，x∈R（e是自然对数的底数）．
（1）若k∈R，求函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，讨论函数f（x）在（﹣∞，4]上的零点个数．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对k进行分类讨论，确定x在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性．
（2）根据（1）中函数的单调性k＞0时，讨论k取不同值时函数零点个数，最后综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣kx，x∈R，得f'（x）=ex﹣k，
①当k≤0时，则f'（x）=ex﹣k＞0对x∈R恒成立，
此时f（x）的单调递增，递增区间为（﹣∞，+∞）；
②当k＞0时，
由f'（x）=ex﹣k＞0，得到x＞lnk，
由f'（x）=ex﹣k＜0，得到x＜lnk，
所以，k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk）；
综上，当k≤0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．
（2）当k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk），
当k＞0时，令f'（x）=ex﹣k=0，
得x=lnk，且f（x）在（﹣∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，f（x）在x=lnk时取得极小值，
即f（x）在（﹣∞，4]上最多存在两个零点．
（ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点，
则，
解得k∈（e，]；
（ⅱ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点，
则f（4）＜0或，
解得k∈（，+∞）或k=e；
（ⅲ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上没有零点，
则或f（lnk）=k（1﹣lnk）＞0，
解得k∈（0，e）．
综上所述，当k∈（e，]时，f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点；
当k∈（，+∞）∪（﹣∞，0）或k=e时，f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点；
当k∈[0，e）时，f（x）在（﹣∞，4]上无零点．
[选修4-1:几何证明选讲]
22．如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；
（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．
【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．
【分析】（1）BE平分∠ABC．由已知中边的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量减等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得证．
（2）由（1）中的所证条件∠ABE=∠FAE，再加上两个三角形的公共角，可证△BEA∽△AEF，利用比例线段可求EF．
【解答】解：（1）BE平分∠ABC，理由如下：
证明：∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC，
∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD，
∵∠CAD=∠EBC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∴BE平分∠ABC；…
（2）连接EC，由（1）BE平分∠ABC，
∴E是弧AC的中点，
∴AE=EC=6，
又∠EBC=∠CAD=∠ADC，
∴ED=BD=8…
∵A、B、C、E四点共圆，
∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF
∴△AEF∽△DEC
∴，
∴EF==…
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23．已知曲线C1：（α为参数）与曲线C2：ρ=4sinθ
（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）求曲线C1和C2公共弦的长度．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）利用sin2θ+cos2θ=1消参数得到C1的普通方程，对ρ=4sinθ两边同乘以ρ即可得到曲线C2的普通方程；
（2）曲线C1和C2公共弦所在额直线为2x﹣4y+3=0，求出圆心距，即可求出公共弦长．
【解答】解：（1）曲线C1的普通方程围为（x﹣1）2+y2=4，
曲线C2的直角坐标方程x2+y2﹣4y=0，
（2）曲线C1和C2公共弦所在额直线为2x﹣4y+3=0，
且点C1（1，0）到直线2x﹣4y+3=0的距离为=，
所以公共弦的长度为2=．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．
【考点】不等式的证明；带绝对值的函数．
【分析】（Ⅰ）将函数写成分段函数，再利用f（x）＜4，即可求得M；
（Ⅱ）利用作差法，证明4（a+b）2﹣（4+ab）2＜0，即可得到结论．
【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=
当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；
当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4；
当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．
所以M=（﹣2，2）．…
（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，
∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，
∴4（a+b）2＜（4+ab）2，
∴2|a+b|＜|4+ab|．…
2016年8月9日
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