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2015-2016学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．命题“∀x≥1，x2≥1”的否定为 ．
2．已知复数z=（i为虚数单位），则|z|的值是 ．
3．四位男生和一位女生站成一排，则女生站在中间的排法共有 种．（用数字作答）
4．若双曲线的离心率为2，则a等于 ．
5．“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一）
6．函数f（x）=ex+2x（e是自然对数的底数）的图象在点（0，1）处的切线方程是 ．
7．设某批产品正品率为，次品率为，现对该批产品进行测试，设第X次首次测到正品，则P（X=3）的值是 ．
8．求过两点A（0，4），B（4，6）且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上的圆的标准方程 ．
9．若f（x）=（x+1）6﹣（x﹣1）5的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6，则a1+a2+…+a5的值是 （用数字作答）．
10．设由0，1，2，3组成的没有重复数字的三位数的集合为A，从A中任取一个数，则取到的数恰好为偶数的概率是 ．
11．已知点A（﹣3，﹣2）在抛物线C：x2=2py的准线上，过点A的直线与抛物线C在第二象限相切于点B，记抛物线C的焦点为F，则直线BF的斜率是 ．
12．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p（0＜p＜1），现有4次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即停止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完4次投篮机会的概率是，则p的值是 ．
13．若函数f（x）=2aex﹣x2+3（a为常数，e是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数a的取值范围是 ．
14．若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是 ．
二、解答题
15．一个不透明的口袋中装有6个大小和形状都相同的小球，其中2个白球，4个黑球．
（1）从中取1个小球，求取到白球的概率；
（2）从中取2个小球，记取到白球的个数为X，求X的概率分布和数学期望．
16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．
（1）求证：A1B∥平面AFC；
（2）求证：平面A1B1CD⊥平面AFC．
17．如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径．已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y百元．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设OO1=h（米），将y表示成h的函数关系式；
②设∠SDO1=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值．
18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E、F分别是BC，A1C1的中点．
（1）求直线EF与平面ABC所成角的正弦值；
（2）设D是边B1C1上的动点，当直线BD与EF所成角最小时，求线段BD的长．
19．如图，已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．
①求x12+x22的值；
②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．
20．已知函数f（x）=ex﹣cx﹣c（c为常数，e是自然对数的底数），f′（x）是函数y=f（x）的导函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当c＞1时，试求证：
①对任意的x＞0，不等式f（lnc+x）＞f（lnc﹣x）恒成立；
②函数y=f（x）有两个相异的零点．
请从以下4组中选做2组作答，如果多做，则按作答的前两组题评分.A组[选修4-1：几何证明选讲]
21．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆是⊙O，D是劣弧上的一点，弦AD，BC的延长线相交于点E，连结BD并延长到点F，连结CD．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：AB2=AD•AE．
22．如图，AD，CF是△ABC的两条高，AD，CF相交于点H，AD的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点G，AE是⊙O的直径．
（1）求证：AB•AC=AD•AE；
（2）求证：DG=DH．
B组[选修4-2：矩阵与变换]
23．已知矩阵A=，B=
（1）求A的逆矩阵A﹣1；
（2）求矩阵C，使得AC=B．
24．已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，﹣3），
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值及特征向量．
C组[选修4-4：坐标系与参数方程]
25．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣），曲线C2的参数方程为，（θ为参数）．
（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线C2的参数方程化为普通方程；
（2）若P是曲线C2上的动点，求P到直线l：，（t为参数）的距离的最大值．
26．选修4﹣4：坐标系与参数方程
曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|•|OB|的取值范围．
D组[选修4-5：不等式选讲]
27．已知关于x的不等式|ax﹣1|+a|x﹣1|≥1（a＞0）．
（1）当a=1时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集是R，求正实数a的取值范围．
28．已知a，b，c均为正实数，求证：
（1）+≥；
（2）++≥++．
2015-2016学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．命题“∀x≥1，x2≥1”的否定为 ∃x≥1，x2＜1 ．
【考点】命题的否定．
【分析】全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】解：由于全称命题的否定是特称命题，
所以命题“∀x≥1，x2≥1”的否定为：∃x≥1，x2＜1．
故答案为：∃x≥1，x2＜1．
2．已知复数z=（i为虚数单位），则|z|的值是 5 ．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．
【解答】解：∵z===．
∴|z|==5．
故答案为：5．
3．四位男生和一位女生站成一排，则女生站在中间的排法共有 24 种．（用数字作答）
【考点】计数原理的应用．
【分析】根据题意，分2步进行分析：1、先安排女生，易得其有1种排法；2、将4名男生全排列，安排在其他4个位置，由排列数公式可得学生的排法数目，由分步计数原理原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
1、先安排女生，要求女生必须站在正中间，则其有1种排法；
2、将4名男生全排列，安排在其他4个位置，有A44=24种排法；
则不同的排法有1×24=24种；
故答案为：24．
4．若双曲线的离心率为2，则a等于 1 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先求出b2=3，再由离心率为，得到a的值．
【解答】解：由=1可知虚轴b=，而离心率e=，
解得a=1．
故答案：1．
5．“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一）
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先根据两直线垂直，求出a的值，即可判断．
【解答】解：∵直线l1：ax+y+1=0和l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直，
∴a（a+2）﹣3=0，
解得a=﹣3，或a=1，
故实数“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要．
6．函数f（x）=ex+2x（e是自然对数的底数）的图象在点（0，1）处的切线方程是 y=3x+1 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求得函数的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，运用直线的斜截式方程，计算即可得到所求切线的方程．
【解答】解：函数f（x）=ex+2x的导数为f′（x）=ex+2，
可得f（x）的图象在点（0，1）处的切线斜率为k=e0+2=3，
即有图象在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．
故答案为：y=3x+1．
7．设某批产品正品率为，次品率为，现对该批产品进行测试，设第X次首次测到正品，则P（X=3）的值是 ．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】X=3是指第一次和第二次都测到次品，第三次测到正品，由此能求出P（X=3）．
【解答】解：∵某批产品正品率为，次品率为，
现对该批产品进行测试，设第X次首次测到正品，
∴X=3是指第一次和第二次都测到次品，第三次测到正品，
∴P（X=3）==．
故答案为：．
8．求过两点A（0，4），B（4，6）且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上的圆的标准方程 （x﹣4）2+（y﹣1）2=25 ．
【考点】圆的标准方程．
【分析】由圆心在直线x﹣2y﹣2=0上，可设圆心坐标为（2b+2，b），再根据圆心到两点A（0，4）、B（4，6）的距离相等，求出b的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程．
【解答】解：由于圆心在直线x﹣2y﹣2=0上，可设圆心坐标为（2b+2，b），
再根据圆过两点A（0，4），B（4，6），可得[（2b+2）﹣0]2+（b﹣4）2=[（2b+2）﹣4]2+（b﹣6）2，
解得b=1，可得圆心为（4，1），半径为=5，
故所求的圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2=25，
故答案为：（x﹣4）2+（y﹣1）2=25．
9．若f（x）=（x+1）6﹣（x﹣1）5的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6，则a1+a2+…+a5的值是 61 （用数字作答）．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】令x=0，求得a0，利用二项展开式的通项公式求得a6的值；令x=1可得 a0+a1+a2+…+a5+a6=64，从而求得 a1+a2+…+a5 的值．
【解答】解：∵f（x）=（x+1）6﹣（x﹣1）5的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6，
令x=0，可得a0=2，再根据a6==1，
则令x=1可得 a0+a1+a2+…+a5+a6=64，∴a1+a2+…+a5=61，
故答案为：61．
10．设由0，1，2，3组成的没有重复数字的三位数的集合为A，从A中任取一个数，则取到的数恰好为偶数的概率是 ．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】数字0不能排在首位，末位是0时又是偶数，分情况讨论即可．
【解答】解：由0，1，2，3组成的没有重复数字的三位数，
0是一个比较特殊的数字，0在末位和0不在末位结果不同，
0在末位时，共有=6中结果，
0不在末位时，共有••=12种结果，
故共有6+12=18种结果，
设“取到的数恰好为偶数：为事件A，
在所给的数字中，0是一个比较特殊的数字，0在末位和0不在末位结果不同，
个位是0时，十位和百位从1，2，3这3个元素中选两个进行排列有A32=6种结果，
当末位不是0时，个位只能是2，百位从1，3两个元素中选一个，十位从0和余下的元素中选1个
根据分类计数原理知共有=4种结果，
故偶数共有6+4=10中结果，
∴P（A）==，
故答案为：．
11．已知点A（﹣3，﹣2）在抛物线C：x2=2py的准线上，过点A的直线与抛物线C在第二象限相切于点B，记抛物线C的焦点为F，则直线BF的斜率是 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，设出切点B（m，）（m＜0），对抛物线方程求导，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得m，即有B的坐标，运用两点求斜率公式即可得到所求直线BF的斜率．
【解答】解：∵点A（3，﹣2）在抛物线C：x2=2py的准线上，
即准线方程为：y=﹣2，
∴p＞0，则﹣=﹣2，即p=4，
∴抛物线C：x2=8y，即．
设B（m，）（m＜0），
由y=的导数为y′=，
可得切线的斜率为k=，
即有，化为m2+6m﹣16=0，
解得m=﹣8，或m=2（舍去），
可得B（﹣8，8），又F（0，2），
则直线BF的斜率是．
故答案为：．
12．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p（0＜p＜1），现有4次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即停止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完4次投篮机会的概率是，则p的值是 ．
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【分析】由已知条件利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式列出方程，由此能求出p的值．
【解答】解：∵某篮球运动员每次投篮命中率均为p（0＜p＜1），
现有4次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即停止投篮．
该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完4次投篮机会的概率是，
∴﹣2p2（1﹣p）2+p（1﹣p）3=，
解得p=．
故答案为：．
13．若函数f（x）=2aex﹣x2+3（a为常数，e是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数a的取值范围是 （0，） ．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】函数恰有两个极值点，等价于其导函数f′（x）恰有两个零点，通过讨论a讨论函数的单调性，从而结合函数零点的判定定理确定实数a的取值范围．
【解答】解：函数恰有两个极值点，等价于f′（x）=2aex﹣2x恰有两个零点，
①当a＜0时，函数f（x）=2aex﹣x2+3，函数f′（x）=2aex﹣2x，
令f′（x）=0，aex=x，由函数图象可知，y=aex和y=x仅有一个交点，
∴f（x）=2aex﹣x2+3仅有一个极值点；
②当a=0时，f（x）=﹣x2+3，由二次函数图象可知，f（x）仅有一个极值点；
③当a＞0时，函数f（x）=2aex﹣x2+3，函数f′（x）=2aex﹣2x，
令f′（x）=0，a=，
设g（x）=，则g′（x）=，
令g′（x）=0，解得x=1，
当g′（x）＞0，x＜1，
当g′（x）＜0，x＞1，
g（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；
∴g（x）最大值为g（1）=，
总上可知，实数a的取值范围是（0，）．
故答案为：（0，）．
14．若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是 20 ．
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【分析】用换元法，设=x， =y，则x≥0，y≥0；求出b与a的解析式，由a=+2得出y与x的关系式，再根据其几何意义求出a的最大值．
【解答】解：设=x， =y，且x≥0，y≥0；
∴b=x2，4a﹣b=y2，即a==；
∴a=+2可化为=y+2x，
即（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，其中x≥0，y≥0；
又（x﹣4）2+（y﹣2）2=20表示以（4，2）为圆心，以2为半径的圆的一部分；
∴a==表示圆上点到原点距离平方的，如图所示；
∴a的最大值是×（2r）2=r2=20
故答案为：20．
二、解答题
15．一个不透明的口袋中装有6个大小和形状都相同的小球，其中2个白球，4个黑球．
（1）从中取1个小球，求取到白球的概率；
（2）从中取2个小球，记取到白球的个数为X，求X的概率分布和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．
【分析】（1）先求出基本事件总数和其中取到白球包含的基本事件个数，由此能求出取到白球的概率．
（2）由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
【解答】解：（1）一个不透明的口袋中装有6个大小和形状都相同的小球，其中2个白球，4个黑球．
从中取1个小球，基本事件总数n=6，
其中取到白球包含的基本事件个数m=2，
∴取到白球的概率p==．
（2）由题意X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P
EX==．
16．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．
（1）求证：A1B∥平面AFC；
（2）求证：平面A1B1CD⊥平面AFC．
【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．
【分析】（1）连接BD交AC于点O，连接FO，要证A1B∥平面AFC，只需证明直线A1B平行平面AFC内的直线FO即可；
（2）要证平面A1B1CD⊥平面AFC，只需证明平面A1B1CD内的直线B1D垂直平面AFC即可．
【解答】证明：（1）连接BD交AC于点O，连接FO，
则点O是BD的中点．
∵点F为A1D的中点，∴A1B∥FO．
又A1B∉平面AFC，FO⊂平面AFC，
∴A1B∥平面AFC．
（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
连接B1D．∵AC⊥BD，AC⊥BB1，
∴AC⊥平面B1BD，AC⊥B1D．
又∵CD⊥平面A1ADD1，AF⊂平面A1ADD1，
∴CD⊥AF．又∵AF⊥A1D，
∴AF⊥平面A1B1CD．
∵AC⊥B1D，∴B1D⊥平面AFC．
而B1D⊂平面A1B1CD，
∴平面A1B1CD⊥平面AFC．
17．如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径．已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y百元．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设OO1=h（米），将y表示成h的函数关系式；
②设∠SDO1=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值．
【考点】不等式的实际应用．
【分析】（1）分别用h，θ表示出圆锥的侧面积，圆柱的侧面积和底面积，得出y关于h（或θ）的关系式；
（2）求导数，判断函数的单调性，利用单调性求出最小值．
【解答】解：（1）①当OO1=h时，SO1=8﹣h，SC==，
S圆柱底=π×42=16π，S圆柱侧=2π×4×h=8πh，S圆锥侧=π×4×．
∴y=2（S圆柱底+S圆柱侧）+4S圆锥侧=32π+16πh+16π（h≥4）．
②若∠SDO1=θ，则SO1=4tanθ，SD=．∴OO1=8﹣4tanθ．
∵OO1≥4，∴0＜tanθ≤1．∴0．
∴S圆柱底=π×42=16π，S圆柱侧=2π×4×（8﹣4tanθ）=64π﹣32πtanθ，S圆锥侧=π×4×=．
∴y=2（S圆柱底+S圆柱侧）+4S圆锥侧=32π+128π﹣64πtanθ+=160π+64π（）．
（2）选用y=160π+64π（），则y′（θ）=64π＜0，
∴y（θ）在（0，]上是减函数，
∴当时．y取得最小值y（）=160π+64π×=96π+64π．
∴制作该存储设备总费用的最小值为96π+64π．
18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E、F分别是BC，A1C1的中点．
（1）求直线EF与平面ABC所成角的正弦值；
（2）设D是边B1C1上的动点，当直线BD与EF所成角最小时，求线段BD的长．
【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．
【分析】（1）取AC的中点M，连结FM，EM．则可证FM⊥平面ABC，故而∠FEM为所求的角，
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，设=λ，求出和的坐标，计算cos＜＞得出cos＜＞关于λ的函数，求出|cos＜＞|取得最大值时对应的λ的值，得到的坐标，求出||．
【解答】解：（1）取AC的中点M，连结FM，EM．
∵F，M分别是A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1是矩形，
∴FM∥AA1，FM=AA1=2，
∵AA1∥平面ABC，
∴FM⊥平面ABC，
∴∠FEM是EF与平面ABC所成的角．
∵E，M分别是BC，AC的中点，
∴EM==1．∴EF==．
∴sin∠FEM==．
∴直线EF与平面ABC所成角的正弦值为．
（2）以A为原点，以AB，AC，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则B（2，0，0），E（1，1，0），F（0，1，2）．B1（2，0，2），C1（0，2，2）．
∴=（﹣1，0，2），=（0，0，2），=（﹣2，2，0），
设=λ=（﹣2λ，2λ，0），则=+=（﹣2λ，2λ，2）．（0≤λ≤1）
∴=2λ+4．
∴cos＜＞===．
∴当即λ=时，cos＜＞取得最大值，即直线BD与EF所成角最小．
此时， =（﹣，，2），∴|BD|=||=．
19．如图，已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过过点P（2，1）．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣．
①求x12+x22的值；
②设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和P的坐标满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆方程；
（2）①运用直线的斜率公式，可得k1k2==﹣，两边平方，再由点A，B的坐标满足椭圆方程，化简整理即可得到所求值；
②由题意可得C（x2，﹣y2），运用椭圆方程可得y12+y22=，配方可得（y1+y2）2=（3+4y1y2），（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值．
【解答】解：（1）由题意可得e==， +=1，a2﹣b2=c2，
解得a=，b=，
可得椭圆标准方程为+=1；
（2）①由题意可得k1k2==﹣，
即为x12x22=16y12y22，
又点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，
可得4y12=6﹣x12，4y22=6﹣x22，
即有x12x22=（6﹣x12）（6﹣x22），
化简可得x12+x22=6；
②由题意可得C（x2，﹣y2），
由4y12=6﹣x12，4y22=6﹣x22，
可得y12+y22==，
由x12+x22=（x1﹣x2）2+2x1x2=6，
可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2，
由y12+y22=（y1+y2）2﹣2y1y2=，
可得（y1+y2）2=+2y1y2=（3+4y1y2），
由=﹣，即x1x2=﹣4y1y2，
可得（x1﹣x2）2=6﹣2x1x2=6+8y1y2，
则直线AC的斜率为kAC==±=±．
20．已知函数f（x）=ex﹣cx﹣c（c为常数，e是自然对数的底数），f′（x）是函数y=f（x）的导函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当c＞1时，试求证：
①对任意的x＞0，不等式f（lnc+x）＞f（lnc﹣x）恒成立；
②函数y=f（x）有两个相异的零点．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求得f（x）的导数，讨论c的范围：当c≤0时，当c＞0时，解不等式即可得到所求单调区间；
（2）①作差可得，f（lnc+x）﹣f（lnc﹣x）=c（ex﹣e﹣x﹣2x），设g（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，x＞0，求出导数g′（x），运用基本不等式判断单调性，即可得证；
②求出f（x）的导数，求得单调区间和极小值，且为最小值，判断小于0，即可得证．
【解答】解：（1）函数f（x）=ex﹣cx﹣c的导数为f′（x）=ex﹣c，
当c≤0时，f′（x）＞0恒成立，可得f（x）的增区间为R；
当c＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lnc；由′（x）＜0，可得x＜lnc．
可得f（x）的增区间为（lnc，+∞）；减区间为（﹣∞，lnc）；
（2）证明：①f（lnc+x）﹣f（lnc﹣x）
=elnc+x﹣c（lnc+x）﹣c﹣elnc﹣x+c（lnc﹣x）+c=c（ex﹣e﹣x﹣2x），
设g（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，x＞0，g′（x）=ex+e﹣x﹣2，
由x＞0可得ex+e﹣x﹣2＞2﹣2=0，
即g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，可得g（x）＞g（0）=0，
又c＞1，则c（ex﹣e﹣x﹣2x）＞0，
可得不等式f（lnc+x）＞f（lnc﹣x）恒成立；
②函数f（x）=ex﹣cx﹣c的导数为f′（x）=ex﹣c，
c＞1时，f（x）的增区间为（lnc，+∞）；减区间为（﹣∞，lnc），
可得x=lnc处f（x）取得极小值，且为最小值，
由f（lnc）=elnc﹣clnc﹣c=c﹣clnc﹣c=﹣clnc＜0，
可得f（x）=0有两个不等的实根．
则函数y=f（x）有两个相异的零点．
请从以下4组中选做2组作答，如果多做，则按作答的前两组题评分.A组[选修4-1：几何证明选讲]
21．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆是⊙O，D是劣弧上的一点，弦AD，BC的延长线相交于点E，连结BD并延长到点F，连结CD．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：AB2=AD•AE．
【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．
【分析】（1）推导出∠ABC=∠DEC，∠ABC=∠ADB，∠ADB=∠EDF，由此能证明DE平分∠CDF．
（2）由∠ABE=∠ADB，∠BAD=∠BAE，得△ABD∽△ABE，由此能证明AB2=AD•AE．
【解答】证明：（1）∵圆O是四边形ABCD的外接圆，
∴∠ABC=∠DEC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ADB，
∵∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB=∠EDF，
∴∠DEC=∠EDF，
∴DE平分∠CDF．
（2）∵∠ABE=∠ADB，∠BAD=∠BAE，
∴△ABD∽△ABE，
∴，
∴AB2=AD•AE．
22．如图，AD，CF是△ABC的两条高，AD，CF相交于点H，AD的延长线与△ABC的外接圆⊙O相交于点G，AE是⊙O的直径．
（1）求证：AB•AC=AD•AE；
（2）求证：DG=DH．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接CE，证明△ADB∽△ACE，即可证明AB•AC=AD•AE；
（2）根据三角形高的定义得到∠BEC=90°，∠ADC=90°，根据等角的余角相等得到∠EBC=∠3，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到∠CBG=∠3，则∠EBC=∠CBG，然后根据等腰三角形三线合一即可得到结论．
【解答】证明：（1）连接CE，
∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥CE，
∵AD是△ABC的两条高，∴AD⊥BC，
∵∠B=∠E，
∴△ADB∽△ACE，
∴，
∴AB•AC=AD•AE；
（2）连接BG，
∵AD、BE、CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，
∴∠BEC=90°，∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=∠3+∠ACD，
∴∠EBC=∠3，
∵∠CBG=∠3，
∴∠EBC=∠CBG，
而BD⊥HG，
∴BD平分HG，
即DH=DG．
B组[选修4-2：矩阵与变换]
23．已知矩阵A=，B=
（1）求A的逆矩阵A﹣1；
（2）求矩阵C，使得AC=B．
【考点】逆变换与逆矩阵．
【分析】（1）求出矩阵的行列式，即可求A的逆矩阵A﹣1；
（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，即可求矩阵C，使得AC=B．
【解答】解：（1）因为|A|=2×3﹣1×4=2，
所以；
（2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，
故．
24．已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，﹣3），
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值及特征向量．
【考点】特征值与特征向量的计算；二阶矩阵．
【分析】（1）根据点P在矩阵A的变化下得到的点P′（0，﹣3），写出题目的关系式，列出关于a的等式，解方程即可．
（2）写出矩阵的特征多项式，令多项式等于0，得到矩阵的特征值，对于两个特征值分别解二元一次方程，得到矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量和矩阵A的属于特征值3的一个特征向量．
【解答】解：（1）由=，
得a+1=﹣3
∴a=﹣4
（2）由（1）知，
则矩阵A的特征多项式为
令f（λ）=0，得矩阵A的特征值为﹣1或3
当λ=﹣1时二元一次方程
∴矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量为
当λ=3时，二元一次方程
∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为．
C组[选修4-4：坐标系与参数方程]
25．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣），曲线C2的参数方程为，（θ为参数）．
（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线C2的参数方程化为普通方程；
（2）若P是曲线C2上的动点，求P到直线l：，（t为参数）的距离的最大值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）将极坐标方程展开，两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C1的直角坐标方程，根据同角三角函数的关系消元得出C2的普通方程；
（2）求出直线l的普通方程，根据点到直线的距离公式得出P到直线l的距离d关于θ的函数，利用三角恒等变换得出d的最大值．
【解答】解：（1）∵曲线C1的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣），
∴ρ=8sinθ﹣8cosθ，∴ρ2=8ρsinθ﹣8ρcosθ，
∴曲线C1的极坐标方程为x2+y2﹣8y+8x=0，即（x+4）2+（y﹣4）2=32．
∵曲线C2的参数方程为，（θ为参数）
∴曲线C2的普通方程为．
（2）直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0．
∴P（8cosθ，3sinθ）到直线l的距离d==．
∴当cos（θ+φ）=﹣1时，d取得最大值=．
∴P到直线l的最大距离为．
26．选修4﹣4：坐标系与参数方程
曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|•|OB|的取值范围．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；
（2）求出l的参数方程，分别代入C1，C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA|•|OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．
【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，
∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，即ρ2cos2θ=ρsinθ，
∴曲线C2的直角坐标方程为x2=y．
（2）设射线l的倾斜角为α，
则射线l的参数方程为（t为参数，）．
把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得：t2﹣2tcosα=0，
解得t1=0，t2=2cosα．
∴|OA|=|t2|=2cosα．
把射线l的参数方程代入曲线C2的普通方程得：cos2αt2=tsinα，
解得t1=0，t2=．
∴|OB|=|t2|=．
∴|OA|•|OB|=2cosα•=2tanα=2k．
∵k∈（1，]，∴2k∈（2，2]．
∴|OA|•|OB|的取值范围是（2，2]．
D组[选修4-5：不等式选讲]
27．已知关于x的不等式|ax﹣1|+a|x﹣1|≥1（a＞0）．
（1）当a=1时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集是R，求正实数a的取值范围．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即|x﹣1|≥，由此求得不等式的解集．
（2）不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1，由此求得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即|x﹣1|≥，解得x﹣1≥或x﹣1≤﹣，∴x≥或x≤﹣
∴不等式的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）． …
（2）∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1．
解得a≥2，或a≤0． 又∵a＞0，∴a≥2．
∴实数a的取值范围为[2，+∞）． …
28．已知a，b，c均为正实数，求证：
（1）+≥；
（2）++≥++．
【考点】不等式的证明．
【分析】（1）运用两个正数的均值不等式，可得a+b≥2， +≥2，相乘即可得证；
（2）由（1）可得+≥；同理可得+≥； +≥．三式相加，整理即可得证．
【解答】证明：（1）a，b均为正实数，
可得a+b≥2，
+≥2，
相乘可得（a+b）（+）≥2•2=4，
当且仅当a=b，取得等号．
则+≥；
（2）由（1）可得+≥；
同理，由b，c为正实数，可得+≥；
由c，a为正实数，可得+≥．
相加可得，2（++）≥++，
即有++≥++．
2016年8月9日
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