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2015-2016学年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设集合S={x|x＞﹣3}，T={x|﹣6≤x≤1}，则S∪T=（ ）
A．[﹣6，+∞） B．（﹣3，+∞） C．[﹣6，1] D．（﹣3，1]
2．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．命题“∀x∈R，总有x2+1＞0”的否定是（ ）
A．“∀x∉R，总有x2+1＞0” B．“∀x∈R，总有x2+1≤0”
C．“∃x∈R，使得x2+1≤0” D．“∃x∈R，使得x2+1＞0”
4．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数则的值是（ ）
A．10 B． C．﹣2 D．﹣5
6．阅读程序框图，若使输出的结果不大于11，则输入的整数i的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知函数y=2sin2（x+）﹣cos2x，则函数的最小正周期T和它的图象的一条对称轴方程是（ ）
A．T=2π，一条对称轴方程为x=
B．T=2π，一条对称轴方程为x=
C．T=π，一条对称轴方程为x=
D．T=π，一条对称轴方程为x=
8．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如表统计数据表：
收入x（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万元）
5.2
6.5
7.0
7.5
8.8
根据上表可得回归直线方程=x+，其中=0.76， =﹣，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）万元．
A．10.8 B．11.8 C．12.8 D．9.8
9．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（ ）
A．f（x）=2cos（﹣） B．f（x）=cos（4x+） C．f（x）=2sin（﹣） D．f（x）=2sin（4x+）
10．设复数z=（x﹣1）+（y﹣）i，（x，y∈R），若|z|≤2，则y≤x的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜，则不等式f（x）＜x+的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卷相应位置
13．计算÷= ．
14．某电子商务公司对1000名网络购物者2015年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为 ．
15．函数y=xex在其极值点处的切线方程为 ．
16．将边长为1m的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s=，则s的最小值是 ．
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1）求sin（﹣）的值；
（2）化简：．
18．命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
19．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
20．已知函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．
21．已知函数f（x）=xlnx﹣﹣x，其中（a∈R）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，
①求实数a的取值范围；
②证明f（x1）＜0．
22．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）
正误
年龄
正确
错误
合计
20～30
30～40
合计
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取2名幸运选手，求2名幸运选手中在20～30岁之间的人数的分布列和数学期望．
（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d为样本容量）
2015-2016学年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设集合S={x|x＞﹣3}，T={x|﹣6≤x≤1}，则S∪T=（ ）
A．[﹣6，+∞） B．（﹣3，+∞） C．[﹣6，1] D．（﹣3，1]
【考点】并集及其运算．
【分析】根据并集的定义计算即可．
【解答】解：∵集合S={x|x＞﹣3}，T={x|﹣6≤x≤1}，
∴S∪T=[﹣6，+∞），
故选：A
2．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面内所对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】解：由=，
则复数在复平面内所对应的点的坐标为：（1，1），位于第一象限．
故选：A．
3．命题“∀x∈R，总有x2+1＞0”的否定是（ ）
A．“∀x∉R，总有x2+1＞0” B．“∀x∈R，总有x2+1≤0”
C．“∃x∈R，使得x2+1≤0” D．“∃x∈R，使得x2+1＞0”
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，总有x2+1＞0”的否定为：∃x∈R，x2+1≤0．
故选：C．
4．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．
【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，
∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．
故选：A．
5．已知函数则的值是（ ）
A．10 B． C．﹣2 D．﹣5
【考点】函数的值．
【分析】本题求分段函数的函数值，要弄清自变量是属于哪个范围，从而代入其相应的解析式．
【解答】解：∵＞0，∴，
又∵﹣2＜0，∴f（﹣2）=．
即．
故选B．
6．阅读程序框图，若使输出的结果不大于11，则输入的整数i的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】程序框图．
【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，据题目对输出s的要求，求出n的最大值，据判断框中n与i的关系求出i的最大值．
【解答】解：模拟程序的运行，可得：
经过第一次循环得到S=2，n=1，
经过第二次循环得到S=5，n=2，
经过第三次循环得到S=10，n=3，
经过第四次循环得到S=19，n=4，
∵输出的结果不大于11
∴n的最大值为2，
∴i的最大值为3，
故选：A．
7．已知函数y=2sin2（x+）﹣cos2x，则函数的最小正周期T和它的图象的一条对称轴方程是（ ）
A．T=2π，一条对称轴方程为x=
B．T=2π，一条对称轴方程为x=
C．T=π，一条对称轴方程为x=
D．T=π，一条对称轴方程为x=
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】利用二倍角的余弦公式变形、两角差的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式求出函数的最小正周期T，由正弦函数的对称轴方程求出函数的对称轴方程，即可得到答案．
【解答】解：由题意得，y=2sin2（x+）﹣cos2x，
=1﹣cos（2x+）﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+1
=，
由T=得，函数的最小正周期是π，
由得，，
当k=0时，一条对称轴方程为x=，
故选D．
8．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如表统计数据表：
收入x（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万元）
5.2
6.5
7.0
7.5
8.8
根据上表可得回归直线方程=x+，其中=0.76， =﹣，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）万元．
A．10.8 B．11.8 C．12.8 D．9.8
【考点】线性回归方程．
【分析】计算样本中心，代入回归方程解出，得出回归方程，利用回归方程进行预测．
【解答】解： ==10， ==7．
∴=7﹣0.76×10=﹣0.6．
所以回归方程为： =0.76x﹣0.6，
当x=15时， =0.76×15﹣0.6=10.8．
故选A．
9．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（ ）
A．f（x）=2cos（﹣） B．f（x）=cos（4x+） C．f（x）=2sin（﹣） D．f（x）=2sin（4x+）
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】根据函数图象求出A，T，求出ω，利用点（0，1）在曲线上，求出φ，得到解析式，判定选项即可．
【解答】解：设函数f（x）=Asin（ωx+φ），由函数的最大值为2知A=2，
又由函数图象知该函数的周期T=4×（﹣）=4π，
所以ω=，将点（0，1）代入得φ=，
所以f（x）=2sin（x+）=2cos（x﹣）．
故选A
10．设复数z=（x﹣1）+（y﹣）i，（x，y∈R），若|z|≤2，则y≤x的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】首先由题意画出图形，分别求出圆的面积以及满足y≤x的区域面积，利用几何概型的概率公式解答．
【解答】解：由|z|≤2，得到（x﹣1）2+（y﹣）2≤4，对应的图形为以（1，）为圆心，2为半径的圆，面积为4π；满足如y≤x的是图中阴影部分，面积为，如图
所以所求概率为==；
故选：D．
11．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】先根据函数的奇偶性排除AB，再取x=π，得到f（π）＜0，排除C．
【解答】解：f（﹣x）=（﹣x+）cos（﹣x）=﹣（x﹣）cosx=﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，
当x=π时，f（π）=（π﹣）cosπ=﹣π＜0，故排除C，
故选：D．
12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜，则不等式f（x）＜x+的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】由题意，设g（x）=f（x）﹣（x+），x∈R；求出g′（x），判定g（x）的单调性，由此求出不等式f（x）＜x+的解集．
【解答】解：根据题意，设g（x）=f（x）﹣（x+），x∈R；
∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，
∴g（x）在R上是单调减函数；
又∵g（1）=f（1）﹣（+）=0，
∴当x＞1时，g（x）＜0恒成立，
即f（x）＜x+的解集是（1，+∞）．
故选：A．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卷相应位置
13．计算÷= ﹣20 ．
【考点】有理数指数幂的化简求值；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【分析】利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值．
【解答】解：
=lg
=﹣20
故答案为：﹣20
14．某电子商务公司对1000名网络购物者2015年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为 600 ．
【考点】频率分布直方图．
【分析】频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a的值，再求出消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率，再求频数．
【解答】解：由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1=1，解得a=3
由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×1000=600．
故答案为：600．
15．函数y=xex在其极值点处的切线方程为 y=﹣ ．
【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．
【解答】解：依题解：依题意得y′=ex+xex，
令y′=0，可得x=﹣1，
∴y=﹣．
因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=﹣．
故答案为：y=﹣．
16．将边长为1m的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s=，则s的最小值是 ．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】先设剪成的小正三角形的边长为x，用x表示出梯形的周长和面积，从而得到S的解析式，然后求S的最小值，
方法一：对函数S进行求导，令导函数等于0求出x的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值；
方法二：令3﹣x=t，代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值．
【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则梯形的周长为3﹣x，
梯形的面积为，
∴s=（0＜x＜1），
（方法一）利用函数的导数求函数的最小值．
令s（x）=（0＜x＜1），则
s'（x）=
=，
令s'（x）=0，∵0＜x＜1，∴x=，
当0＜x＜时，s'（x）＜0，当＜x＜1时，s'（x）＞0，
∴x=时，s（x）取极小值，也为最小值，且为．
（方法二）利用函数的方法求最小值．
令3﹣x=t（2＜t＜3），则x=3﹣t，
s（x）==
=，
∵2＜t＜3，∴，
∴当即t=，x=时，s（x）取最小值，且为．
故答案为：．
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1）求sin（﹣）的值；
（2）化简：．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可．
【解答】解：（1）sin（﹣）=sin（﹣3π﹣）=sin=；
（2）==1．
18．命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，可得△=4a2﹣4×4＜0，﹣2＜a＜2．由命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，且a≠2，可得5﹣2a＞1，a＜2．由p∨q为真，p∧q为假，可得命题p与q必然一真一假．解出即可．
【解答】解：命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，∴△=4a2﹣4×4＜0，解得﹣2＜a＜2．
命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，∴5﹣2a＞1，解得a＜2．
∵p∨q为真，p∧q为假，∴命题p与q必然一真一假．
当p真q假时，，且a≠2，此时a∈∅．
当q真p假时，，且a≠2，解得a≤﹣2．
综上可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．
19．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（Ⅰ）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T=，进而求得ω
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f（x）的范围．
【解答】解：（Ⅰ） ==．
∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
∴，解得ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
∵，
∴，
∴．
∴，即f（x）的取值范围为．
20．已知函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．
【考点】对数函数的值域与最值；对数函数的定义域；函数的零点．
【分析】（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；
（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由f（x）=0，即﹣x2﹣2x+3=1，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；
（3）把函数解析式化简后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值loga4，得loga4=﹣4利用对数的定义求出a的值．
【解答】解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：﹣3＜x＜1，
则函数的定义域为：（﹣3，1）
（2）函数可化为f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3）
由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，
即x2+2x﹣2=0，
∵，∴函数f（x）的零点是
（3）函数可化为：
f（x）=loga（1﹣x）（x+3）=loga（﹣x2﹣2x+3）=loga[﹣（x+1）2+4]
∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，
∵0＜a＜1，∴loga[﹣（x+1）2+4]≥loga4，
即f（x）min=loga4，由loga4=﹣4，得a﹣4=4，
∴
21．已知函数f（x）=xlnx﹣﹣x，其中（a∈R）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，
①求实数a的取值范围；
②证明f（x1）＜0．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）当a=2时，求得f（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）①求得f（x）的导数，可得f′（x）=lnx﹣ax=0有两个不同的实根，讨论当a≤0时，当a＞0时，判断单调性可得极大值大于0，解不等式即可得到所求范围；
②由①知，f（x1）是极小值，f（x2）是极大值，由f′（x1）=0，求得f（x1），运用二次函数的单调性，可得f（x1）＜f（0）=0．
【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=xlnx﹣x2﹣x，f′（x）=lnx﹣2x，
可得f（1）=﹣2，f′（1）=﹣2，
曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+2=﹣2（x﹣1），
即为y=﹣2x；
（2）①f′（x）=lnx﹣ax，函数y=f（x）有两个极值点x1、x2，
即f′（x）=lnx﹣ax=0有两个不同的实根，
当a≤0时，f′（x）单调递增，f′（x）=0不可能有两个不同的实根；
当a＞0时，设h（x）=lnx﹣ax，h′（x）=，
若0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
若x＞时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
可得h（x）的极大值h（）=﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜；
②证明：由①知，f（x1）是极小值，f（x2）是极大值，
由f′（x）=lnx﹣ax=0，可得lnx1﹣ax1=0，
可得f（x1）=x1lnx1﹣x12﹣x1=x12﹣x1=（x1﹣）2﹣，
可得f（x1）在（0，）单调递减，即有f（x1）＜f（0）=0．
22．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．
（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）
正误
年龄
正确
错误
合计
20～30
30～40
合计
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取2名幸运选手，求2名幸运选手中在20～30岁之间的人数的分布列和数学期望．
（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d为样本容量）
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（1）利用已知条件直接列出联列表，利用独立检验公式求出k，然后推出对歌曲名称与否和年龄有关判断．
（2）设2名选手中在20～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，20～30岁之间的人数是2人，求出概率，列出分布列，求解期望即可．
【解答】解：（1）
年龄/正误
正确
错误
合计
20～30
10
30
40
30～40
10
70
80
合计
20
100
120
K2==3＞2.706
有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关．
（2）设2名选手中在20～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，
20～30岁之间的人数是2人，
∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
E（ξ）=0×+1×+2×=
2016年8月9日
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