雅安市2016年高二数学下学期期末试题(文科有解析)
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资料简介
www.ks5u.com ‎2015-2016学年四川省雅安市高二(下)期末数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1.设集合S={x|x>﹣3},T={x|﹣6≤x≤1},则S∪T=(  )‎ A.[﹣6,+∞) B.(﹣3,+∞) C.[﹣6,1] D.(﹣3,1]‎ ‎2.设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.命题“∀x∈R,总有x2+1>0”的否定是(  )‎ A.“∀x∉R,总有x2+1>0” B.“∀x∈R,总有x2+1≤0”‎ C.“∃x∈R,使得x2+1≤0” D.“∃x∈R,使得x2+1>0”‎ ‎4.“sinα=cosα”是“cos2α=0”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.已知函数则的值是(  )‎ A.10 B. C.﹣2 D.﹣5‎ ‎6.阅读程序框图,若使输出的结果不大于11,则输入的整数i的最大值为(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎7.已知函数y=2sin2(x+)﹣cos2x,则函数的最小正周期T和它的图象的一条对称轴方程是(  )‎ A.T=2π,一条对称轴方程为x=‎ B.T=2π,一条对称轴方程为x=‎ C.T=π,一条对称轴方程为x=‎ D.T=π,一条对称轴方程为x=‎ ‎8.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如表统计数据表:‎ 收入x(万元)‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出y(万元)‎ ‎5.2‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ ‎7.5‎ ‎8.8‎ 根据上表可得回归直线方程=x+,其中=0.76, =﹣,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为(  )万元.‎ A.10.8 B.11.8 C.12.8 D.9.8‎ ‎9.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(  )‎ A.f(x)=2cos(﹣) B.f(x)=cos(4x+) C.f(x)=2sin(﹣) D.f(x)=2sin(4x+)‎ ‎10.设复数z=(x﹣1)+(y﹣)i,(x,y∈R),若|z|≤2,则y≤x的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.函数f(x)=(x﹣)cosx(﹣π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<,则不等式f(x)<x+的解集为(  )‎ A.(1,+∞) B.(﹣∞,﹣1) C.(﹣1,1) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。请将答案填在答题卷相应位置 ‎13.计算÷=      .‎ ‎14.某电子商务公司对1000名网络购物者2015年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为      .‎ ‎15.函数y=xex在其极值点处的切线方程为      .‎ ‎16.将边长为1m的正三角形薄铁片,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记s=,则s的最小值是      .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(1)求sin(﹣)的值;‎ ‎(2)化简:.‎ ‎18.命题p:关于x的不等式 x2+2ax+4>0对∀x∈R恒成立;命题q:函数f(x)=﹣(5﹣2a)x是减函数,若p∨q为真,p∧q为假,求实数a的取值范围.‎ ‎19.已知函数f(x)=sin2ωx+sinωxsin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值;‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[0,]上的取值范围.‎ ‎20.已知函数f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3)(0<a<1)‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域;‎ ‎(2)求函数f(x)的零点;‎ ‎(3)若函数f(x)的最小值为﹣4,求a的值.‎ ‎21.已知函数f(x)=xlnx﹣﹣x,其中(a∈R).‎ ‎(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(2)若函数y=f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,‎ ‎①求实数a的取值范围;‎ ‎②证明f(x1)<0.‎ ‎22.“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1~8号8扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎),选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中,发现参赛选手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁),其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.‎ ‎(1)写出2×2列联表;判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关;说明你的理由;(下面的临界值表供参考)‎ 正误 年龄 正确 错误 合计 ‎20~30‎ ‎30~40‎ 合计 P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎(2)现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手,并抽取2名幸运选手,求2名幸运选手中在20~30岁之间的人数的分布列和数学期望.‎ ‎(参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d为样本容量)‎ ‎ ‎ ‎2015-2016学年四川省雅安市高二(下)期末数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1.设集合S={x|x>﹣3},T={x|﹣6≤x≤1},则S∪T=(  )‎ A.[﹣6,+∞) B.(﹣3,+∞) C.[﹣6,1] D.(﹣3,1]‎ ‎【考点】并集及其运算.‎ ‎【分析】根据并集的定义计算即可.‎ ‎【解答】解:∵集合S={x|x>﹣3},T={x|﹣6≤x≤1},‎ ‎∴S∪T=[﹣6,+∞),‎ 故选:A ‎ ‎ ‎2.设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数,求出复数在复平面内所对应的点的坐标,则答案可求.‎ ‎【解答】解:由=,‎ 则复数在复平面内所对应的点的坐标为:(1,1),位于第一象限.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.命题“∀x∈R,总有x2+1>0”的否定是(  )‎ A.“∀x∉R,总有x2+1>0” B.“∀x∈R,总有x2+1≤0”‎ C.“∃x∈R,使得x2+1≤0” D.“∃x∈R,使得x2+1>0”‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.‎ ‎【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“∀x∈R,总有x2+1>0”的否定为:∃x∈R,x2+1≤0.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.“sinα=cosα”是“cos2α=0”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α,即可判断出.‎ ‎【解答】解:由cos2α=cos2α﹣sin2α,‎ ‎∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.已知函数则的值是(  )‎ A.10 B. C.﹣2 D.﹣5‎ ‎【考点】函数的值.‎ ‎【分析】本题求分段函数的函数值,要弄清自变量是属于哪个范围,从而代入其相应的解析式.‎ ‎【解答】解:∵>0,∴,‎ 又∵﹣2<0,∴f(﹣2)=.‎ 即.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎6.阅读程序框图,若使输出的结果不大于11,则输入的整数i的最大值为(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果,据题目对输出s的要求,求出n的最大值,据判断框中n与i的关系求出i的最大值.‎ ‎【解答】解:模拟程序的运行,可得:‎ 经过第一次循环得到S=2,n=1,‎ 经过第二次循环得到S=5,n=2,‎ 经过第三次循环得到S=10,n=3,‎ 经过第四次循环得到S=19,n=4,‎ ‎∵输出的结果不大于11‎ ‎∴n的最大值为2,‎ ‎∴i的最大值为3,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.已知函数y=2sin2(x+)﹣cos2x,则函数的最小正周期T和它的图象的一条对称轴方程是(  )‎ A.T=2π,一条对称轴方程为x=‎ B.T=2π,一条对称轴方程为x=‎ C.T=π,一条对称轴方程为x=‎ D.T=π,一条对称轴方程为x=‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.‎ ‎【分析】利用二倍角的余弦公式变形、两角差的正弦公式化简解析式,由三角函数的周期公式求出函数的最小正周期T,由正弦函数的对称轴方程求出函数的对称轴方程,即可得到答案.‎ ‎【解答】解:由题意得,y=2sin2(x+)﹣cos2x,‎ ‎=1﹣cos(2x+)﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+1‎ ‎=,‎ 由T=得,函数的最小正周期是π,‎ 由得,,‎ 当k=0时,一条对称轴方程为x=,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎8.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如表统计数据表:‎ 收入x(万元)‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出y(万元)‎ ‎5.2‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ ‎7.5‎ ‎8.8‎ 根据上表可得回归直线方程=x+,其中=0.76, =﹣,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为(  )万元.‎ A.10.8 B.11.8 C.12.8 D.9.8‎ ‎【考点】线性回归方程.‎ ‎【分析】计算样本中心,代入回归方程解出,得出回归方程,利用回归方程进行预测.‎ ‎【解答】解: ==10, ==7.‎ ‎∴=7﹣0.76×10=﹣0.6.‎ 所以回归方程为: =0.76x﹣0.6,‎ 当x=15时, =0.76×15﹣0.6=10.8.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎9.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(  )‎ A.f(x)=2cos(﹣) B.f(x)=cos(4x+) C.f(x)=2sin(﹣) D.f(x)=2sin(4x+)‎ ‎【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.‎ ‎【分析】根据函数图象求出A,T,求出ω,利用点(0,1)在曲线上,求出φ,得到解析式,判定选项即可.‎ ‎【解答】解:设函数f(x)=Asin(ωx+φ),由函数的最大值为2知A=2,‎ 又由函数图象知该函数的周期T=4×(﹣)=4π,‎ 所以ω=,将点(0,1)代入得φ=,‎ 所以f(x)=2sin(x+)=2cos(x﹣).‎ 故选A ‎ ‎ ‎10.设复数z=(x﹣1)+(y﹣)i,(x,y∈R),若|z|≤2,则y≤x的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】几何概型.‎ ‎【分析】首先由题意画出图形,分别求出圆的面积以及满足y≤x的区域面积,利用几何概型的概率公式解答.‎ ‎【解答】解:由|z|≤2,得到(x﹣1)2+(y﹣)2≤4,对应的图形为以(1,)为圆心,2为半径的圆,面积为4π;满足如y≤x的是图中阴影部分,面积为,如图 所以所求概率为==;‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎11.函数f(x)=(x﹣)cosx(﹣π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】函数的图象.‎ ‎【分析】先根据函数的奇偶性排除AB,再取x=π,得到f(π)<0,排除C.‎ ‎【解答】解:f(﹣x)=(﹣x+)cos(﹣x)=﹣(x﹣)cosx=﹣f(x),‎ ‎∴函数f(x)为奇函数,‎ ‎∴函数f(x)的图象关于原点对称,故排除A,B,‎ 当x=π时,f(π)=(π﹣)cosπ=﹣π<0,故排除C,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<,则不等式f(x)<x+的解集为(  )‎ A.(1,+∞) B.(﹣∞,﹣1) C.(﹣1,1) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】由题意,设g(x)=f(x)﹣(x+),x∈R;求出g′(x),判定g(x)的单调性,由此求出不等式f(x)<x+的解集.‎ ‎【解答】解:根据题意,设g(x)=f(x)﹣(x+),x∈R;‎ ‎∴g′(x)=f′(x)﹣<0,‎ ‎∴g(x)在R上是单调减函数;‎ 又∵g(1)=f(1)﹣(+)=0,‎ ‎∴当x>1时,g(x)<0恒成立,‎ 即f(x)<x+的解集是(1,+∞).‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。请将答案填在答题卷相应位置 ‎13.计算÷= ﹣20 .‎ ‎【考点】有理数指数幂的化简求值;根式与分数指数幂的互化及其化简运算.‎ ‎【分析】利用对数的商的运算法则及幂的运算法则求出值.‎ ‎【解答】解:‎ ‎=lg ‎=﹣20‎ 故答案为:﹣20‎ ‎ ‎ ‎14.某电子商务公司对1000名网络购物者2015年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 600 .‎ ‎【考点】频率分布直方图.‎ ‎【分析】频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率,先算出频率,在根据频率和为1,算出a的值,再求出消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的频率,再求频数.‎ ‎【解答】解:由题意,根据直方图的性质得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)×0.1=1,解得a=3‎ 由直方图得(3+2.0+0.8+0.2)×0.1×1000=600.‎ 故答案为:600.‎ ‎ ‎ ‎15.函数y=xex在其极值点处的切线方程为 y=﹣ .‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件;利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】求出极值点,再结合导数的几何意义即可求出切线的方程.‎ ‎【解答】解:依题解:依题意得y′=ex+xex,‎ 令y′=0,可得x=﹣1,‎ ‎∴y=﹣.‎ 因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=﹣.‎ 故答案为:y=﹣.‎ ‎ ‎ ‎16.将边长为1m的正三角形薄铁片,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记s=,则s的最小值是  .‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义.‎ ‎【分析】先设剪成的小正三角形的边长为x,用x表示出梯形的周长和面积,从而得到S的解析式,然后求S的最小值,‎ 方法一:对函数S进行求导,令导函数等于0求出x的值,根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最小值;‎ 方法二:令3﹣x=t,代入整理根据一元二次函数的性质得到最小值.‎ ‎【解答】解:设剪成的小正三角形的边长为x,则梯形的周长为3﹣x,‎ 梯形的面积为,‎ ‎∴s=(0<x<1),‎ ‎(方法一)利用函数的导数求函数的最小值.‎ 令s(x)=(0<x<1),则 s'(x)=‎ ‎=,‎ 令s'(x)=0,∵0<x<1,∴x=,‎ 当0<x<时,s'(x)<0,当<x<1时,s'(x)>0,‎ ‎∴x=时,s(x)取极小值,也为最小值,且为.‎ ‎(方法二)利用函数的方法求最小值.‎ 令3﹣x=t(2<t<3),则x=3﹣t,‎ s(x)==‎ ‎=,‎ ‎∵2<t<3,∴,‎ ‎∴当即t=,x=时,s(x)取最小值,且为.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(1)求sin(﹣)的值;‎ ‎(2)化简:.‎ ‎【考点】三角函数的化简求值.‎ ‎【分析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可.‎ ‎【解答】解:(1)sin(﹣)=sin(﹣3π﹣)=sin=;‎ ‎(2)==1.‎ ‎ ‎ ‎18.命题p:关于x的不等式 x2+2ax+4>0对∀x∈R恒成立;命题q:函数f(x)=﹣(5﹣2a)x是减函数,若p∨q为真,p∧q为假,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】复合命题的真假.‎ ‎【分析】命题p:关于x的不等式 x2+2ax+4>0对∀x∈R恒成立,可得△=4a2﹣4×4<0,﹣2<a<2.由命题q:函数f(x)=﹣(5﹣2a)x是减函数,且a≠2,可得5﹣2a>1,a<2.由p∨q为真,p∧q为假,可得命题p与q必然一真一假.解出即可.‎ ‎【解答】解:命题p:关于x的不等式 x2+2ax+4>0对∀x∈R恒成立,∴△=4a2﹣4×4<0,解得﹣2<a<2.‎ 命题q:函数f(x)=﹣(5﹣2a)x是减函数,∴5﹣2a>1,解得a<2.‎ ‎∵p∨q为真,p∧q为假,∴命题p与q必然一真一假.‎ 当p真q假时,,且a≠2,此时a∈∅.‎ 当q真p假时,,且a≠2,解得a≤﹣2.‎ 综上可得实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2].‎ ‎ ‎ ‎19.已知函数f(x)=sin2ωx+sinωxsin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值;‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[0,]上的取值范围.‎ ‎【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用.‎ ‎【分析】(Ⅰ)先根据倍角公式和两角和公式,对函数进行化简,再利用T=,进而求得ω ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得函数f(x)的解析式,再根据正弦函数的单调性进而求得函数f(x)的范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ) ==.‎ ‎∵函数f(x)的最小正周期为π,且ω>0,‎ ‎∴,解得ω=1.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得.‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴,即f(x)的取值范围为.‎ ‎ ‎ ‎20.已知函数f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3)(0<a<1)‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域;‎ ‎(2)求函数f(x)的零点;‎ ‎(3)若函数f(x)的最小值为﹣4,求a的值.‎ ‎【考点】对数函数的值域与最值;对数函数的定义域;函数的零点.‎ ‎【分析】(1)根据对数的真数大于零,列出不等式组并求出解集,函数的定义域用集合或区间表示出来;‎ ‎(2)利用对数的运算性质对解析式进行化简,再由f(x)=0,即﹣x2﹣2x+3=1,求此方程的根并验证是否在函数的定义域内;‎ ‎(3)把函数解析式化简后,利用配方求真数在定义域内的范围,再根据对数函数在定义域内递减,求出函数的最小值loga4,得loga4=﹣4利用对数的定义求出a的值.‎ ‎【解答】解:(1)要使函数有意义:则有,解之得:﹣3<x<1,‎ 则函数的定义域为:(﹣3,1)‎ ‎(2)函数可化为f(x)=loga(1﹣x)(x+3)=loga(﹣x2﹣2x+3)‎ 由f(x)=0,得﹣x2﹣2x+3=1,‎ 即x2+2x﹣2=0,‎ ‎∵,∴函数f(x)的零点是 ‎(3)函数可化为:‎ f(x)=loga(1﹣x)(x+3)=loga(﹣x2﹣2x+3)=loga[﹣(x+1)2+4]‎ ‎∵﹣3<x<1,∴0<﹣(x+1)2+4≤4,‎ ‎∵0<a<1,∴loga[﹣(x+1)2+4]≥loga4,‎ 即f(x)min=loga4,由loga4=﹣4,得a﹣4=4,‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=xlnx﹣﹣x,其中(a∈R).‎ ‎(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(2)若函数y=f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,‎ ‎①求实数a的取值范围;‎ ‎②证明f(x1)<0.‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】(1)当a=2时,求得f(x)的解析式和导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得切线的方程;‎ ‎(2)①求得f(x)的导数,可得f′(x)=lnx﹣ax=0有两个不同的实根,讨论当a≤0时,当a>0时,判断单调性可得极大值大于0,解不等式即可得到所求范围;‎ ‎②由①知,f(x1)是极小值,f(x2)是极大值,由f′(x1)=0,求得f(x1),运用二次函数的单调性,可得f(x1)<f(0)=0.‎ ‎【解答】解:(1)当a=2时,f(x)=xlnx﹣x2﹣x,f′(x)=lnx﹣2x,‎ 可得f(1)=﹣2,f′(1)=﹣2,‎ 曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y+2=﹣2(x﹣1),‎ 即为y=﹣2x;‎ ‎(2)①f′(x)=lnx﹣ax,函数y=f(x)有两个极值点x1、x2,‎ 即f′(x)=lnx﹣ax=0有两个不同的实根,‎ 当a≤0时,f′(x)单调递增,f′(x)=0不可能有两个不同的实根;‎ 当a>0时,设h(x)=lnx﹣ax,h′(x)=,‎ 若0<x<时,h′(x)>0,h(x)单调递增,‎ 若x>时,h′(x)<0,h(x)单调递减,‎ 可得h(x)的极大值h()=﹣lna﹣1>0,解得0<a<;‎ ‎②证明:由①知,f(x1)是极小值,f(x2)是极大值,‎ 由f′(x)=lnx﹣ax=0,可得lnx1﹣ax1=0,‎ 可得f(x1)=x1lnx1﹣x12﹣x1=x12﹣x1=(x1﹣)2﹣,‎ 可得f(x1)在(0,)单调递减,即有f(x1)<f(0)=0.‎ ‎ ‎ ‎22.“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1~8号8扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎),选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中,发现参赛选手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁),其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.‎ ‎(1)写出2×2列联表;判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关;说明你的理由;(下面的临界值表供参考)‎ 正误 年龄 正确 错误 合计 ‎20~30‎ ‎30~40‎ 合计 P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎(2)现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手,并抽取2名幸运选手,求2名幸运选手中在20~30岁之间的人数的分布列和数学期望.‎ ‎(参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d为样本容量)‎ ‎【考点】独立性检验的应用.‎ ‎【分析】(1)利用已知条件直接列出联列表,利用独立检验公式求出k,然后推出对歌曲名称与否和年龄有关判断.‎ ‎(2)设2名选手中在20~30岁之间的人数为ξ,可能取值为0,1,2,20~30岁之间的人数是2人,求出概率,列出分布列,求解期望即可.‎ ‎【解答】解:(1)‎ 年龄/正误 正确 错误 合计 ‎20~30‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎30~40‎ ‎10‎ ‎70‎ ‎80‎ 合计 ‎20‎ ‎100‎ ‎120‎ K2==3>2.706‎ 有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关.‎ ‎(2)设2名选手中在20~30岁之间的人数为ξ,可能取值为0,1,2,‎ ‎20~30岁之间的人数是2人,‎ ‎∴P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,‎ ‎∴ξ的分布列为 ‎ ξ ‎ 0‎ ‎1‎ ‎ 2‎ ‎ P E(ξ)=0×+1×+2×=‎ ‎ ‎ ‎2016年8月9日

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