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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由，，得，故选C.
考点：交集的运算.
2.已知是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：,故选B.
考点：复数的运算.
3.先后抛掷质地均匀的硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
考点：互斥事件与对立事件.
4.命题，使得，则为（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，使得 D．，使得
【答案】C
【解析】
试题分析：由特称命题的否定是全称命题可得：命题，使得的否定为，使得，故选项为C.
考点：全称命题与特称命题的否定.
5.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么
这个几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
考点：由三视图求面积、体积.
6.设为等比数列的前项和，，则（ ）
A．11 B．5 C．-8 D．-11
【答案】D
【解析】
试题分析：设公比为，由，得，解得，所以．故选D．
考点：等比数列的前项和.
7.把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横
坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
8.函数的图象大致为（ ）
【答案】A
【解析】
试题分析：令，∵，∴函数为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除C，D；又当，，故可排除B；故选A．
考点：（1）余弦函数的图象；（2）奇偶函数图象的对称性.
9.在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则
与平面所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
.Com]
考点：空间中直线与平面之间的位置关系.
10.对任意非零实数，定义的算法原理如程序框图所示，设为函数
的最小值，为抛物线的焦点到准线的距离，则计算机执行该运算后输出结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【思路点晴】本题主要考查了选择结构，根据流程图分析出计算的类型是解题的关键，属于基础题．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数的函数值，由已知可求函数的最小值，抛物线的焦点到准线的距离，即可得解．
11.设单位向量对任意实数都有，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：设单位向量的夹角为，∵对于任意实数都有成立，∴对于任意实数都有成立，即，即，即恒成立，∴
，整理可得，再由可得，∵，∴故选：C.
考点：数量积表示两个向量的夹角.
12.定义域为的函数对任意都有，且其导函数满足，
则当，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【方法点晴】本题主要考查了导数的运算，以及奇偶函数图象的对称性和比较大小，同时考查了数形结合的思想，该题有一定的思维量，属于基础题之列．先根据条件求出函数的对称轴为，根据的符号，再求出函数的单调区间，然后判定、、的大小关系，根据单调性结合图象比较、、的大小即可．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.双曲线的渐近线方程为____________.
【答案】
【解析】
试题分析：令方程的右边为，得，即，故答案为.
考点：双曲线的性质.
14.曲线在点处的切线与直线垂直，则___________.
【答案】
【解析】
【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义，求函数的导数是解决本题的关键．求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论,注重对基础的考查.利用导数求函数在某点处切线的步骤：①对求导；②求的值；③利用点斜式得到切线的方程，结合与直线垂直，利用斜率之积为，得结果.
15. 若变量满足约束条件，且的最小值为，则____________.
【答案】
【解析】
试题分析：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小．目标函数为，由，解得，即，∵点也在直线上，∴，
故答案为：．
考点：简单线性规划.
16.对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：，
，根据上述规律，的分解式中，最大的数是____________.
【答案】
【解析】
【方法点晴】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．注意观察各个数分解时的特点，不难发现：当底数是时，可以分解成两个连续的奇数之和；当底数是时，可以分解成三个连续的奇数之和．则当底数是时，可分解成个连续的奇数之和，进而求出到的分解式用的奇数个数，进而求出答案．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.等差数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（2）∵，∴
∴
考点：（1）等差数列的通项公式；（2）数列求和.
18.（本小题满分12分）
空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓
度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象.全世界也越来越关注环境保
护问题.当空气污染指数（单位：）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当
空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，
空气质量级别是为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为
四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状
况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染.2015
年8月某日某省个监测点数据统计如下：
空气污染指数
（单位：）
监测点个数
15
40
10
（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出的值，并完成频率分布直方图；
（2）在空气污染指数分别为和的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从
中任意选取2个监测点，事件“两个都为良”发生的概率是多少？
【答案】（1），；（2）.
【解析】
频率分布直方图如图所示：
19.（本小题满分12分）
如图，直角三角形中，，沿斜边上的高，将折起到的位置，点在
线段上.
（1）求证：；
（2）过点作交于点，点为中点，若平面，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【方法点晴】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑推理能力的应用问题，是综合性题目．在第一问中主要通过线面垂判定定理得到线面垂直，然后得到线线垂直，线线垂直与线面垂直之间的互化是在证明垂直过程中常用的手段；在第二问中首先根据线面平行性质定理，得到，根据长度与角的关系得到是等边三角形，可得解.
20.（本小题满分12分）
如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且
.
（1）求圆的方程；
（2）过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
.
∴
∴.
考点：直线与圆的方程的应用.
【方法点晴】本题考查了圆的方程的求法及圆锥曲线与直线的交点问题，化简比较复杂，通过根与系数的关系简化运算，要细心，属于中档题．第一问中利用常见的弦长的一半，圆的半径以及圆心到弦的距离构成直角三角形，从而求得圆的方程；第二问中把角相等转化为两直线的斜率之和为,通过联立直线的方程与椭圆的方程，根据维达定理，利用整体代换得到结果.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若对于任意的，若函数在区间上有最值，求实数的取
值范围.
【答案】（1）当时，无极值，当时，有极大值，无极小值；（2）.
【解析】
∴在单调增，无极值；
当时，
由得：，则得：，
∴在上单调递增，在上单调递减.
∴的极大值，无极小值.
综上：当时，无极值；
当时，有极大值，无极小值.
（2），
考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）导数在最大值、最小值问题中的应用.
【方法点晴】此题是个中档题．考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，体现了对分类讨论和化归转化数学思想的考查，特别是问题（2）的设置很好的考查学生对题意的理解与转化，创造性的分析问题、解决问题的能力和计算能力．函数在开区间内有最值等价于函数在该区间内有极值，故可转化为方程在上有一个或两个不等实根，通过数形结合，转化为恒成立，利用分离参数得解.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点，，交的延长
线于点，交于点.
（1）求证：是圆的切线；
（2）若，圆的半径为2，，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
考点：与圆有关的比例线段.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极
轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）写出圆的直角坐标方程；
（2）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（2）设，又，
则，
故当时，取得最小值，此时点的坐标为
考点：（1）点的极坐标和直角坐标的互化；（2）直线与圆的位置关系.
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