汕头市2016年高二数学下学期期末试卷(理科含解析)
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资料简介
www.ks5u.com ‎2015-2016学年广东省汕头市高二(下)期末数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.集合A={x|lnx≥0},B={x|x2<16},则A∩B=(  )‎ A.(1,4) B.[1,4) C.[1,+∞) D.[e,4)‎ ‎2.复数()2=(  )‎ A.﹣3﹣4i B.﹣3+4i C.3﹣4i D.3+4i ‎3.函数f(x)=sinx的图象中相邻的两条对称轴间距离为(  )‎ A. B. C.3π D.‎ ‎4.下列命题中,是真命题的是(  )‎ A.∃x0∈R,e≤0‎ B.已知a,b为实数,则a+b=0的充要条件是=﹣1‎ C.∀x∈R,2x>x2‎ D.已知a,b为实数,则a>1,b>1是ab>1的充分条件 ‎5.现有2个男生.3个女生和1个老师共六人站成一排照相,若两端站男生,3个女生中有且仅有两人相邻,则不同的站法种数是(  )‎ A.12 B.24 C.36 D.48‎ ‎6.已知向量=(1,x),=(1,x﹣1),若(﹣2)⊥,则|﹣2|=(  )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎7.已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(  )‎ A.y= B.y= C.y=±x D.y=‎ ‎8.在△ABC中,A=,AB=3,AC=3,D在边BC上,且CD=2DB,则AD=(  )‎ A. B. C.5 D.‎ ‎9.某程序框图如图所示,现将输出(x,y)值依次记为:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),…若程序运行中输出的一个数组是(x,﹣10),则数组中的x=(  )‎ A.32 B.24 C.18 D.16‎ ‎10.如图1,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a,动点M,N,Q分别在线段AD1,B1C,C1D1上,当三棱锥Q﹣BMN的俯视图如图2所示,三棱锥Q﹣BMN正视图的面积等于(  )‎ A. B. a2 C. D. a2‎ ‎11.已知函数f(x)=cosωx(sinωx+cosωx)(ω>0),如果存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2016π)成立,则ω的最小值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数f(x)=,g(x)=x2﹣2x,设a为实数,若存在实数m,使f(m)﹣2g(a)=0,则实数a的取值范围为(  )‎ A.[﹣1,+∞) B.(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) C.[﹣1,3] D.(﹣∞,3]‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 ‎13.若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点,则p=      .‎ ‎14.点M(x,y)是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点,且不等式2x﹣y+m≥0总成立,则m的取值范围是      .‎ ‎15.若三棱锥P﹣ABC的最长的棱PA=2,且各面均为直角三角形,则此三棱锥的外接球的体积是      .‎ ‎16.设a=(sinx﹣1+2cos2)dx,则(a﹣)6的展开式中常数项是      .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共8个小题,共70分。解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.若数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1(n∈N*),等差数列{bn}满足b1=3a1,b3=S2+3.‎ ‎(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和为Tn.‎ ‎18.如图,四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是等边三角形.‎ ‎(1)证明:PB⊥CD;‎ ‎(2)求二面角A﹣PD﹣B的余弦值.‎ ‎19.2013年12月21日上午10时,省会首次启动重污染天气Ⅱ级应急响应,正式实施机动车车尾号限行,当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:‎ 年龄(岁)‎ ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55)‎ ‎[55,65)‎ ‎[65,75]‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎(Ⅰ)完成被调查人员的频率分布直方图;‎ ‎(Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查,记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.‎ ‎20.如图,已知抛物线C1:y2=4x的焦点为F,椭圆C2的中心在原点,F为其右焦点,点M为曲线C1和C2在第一象限的交点,且||=.‎ ‎(1)求椭圆C2的标准方程;‎ ‎(2)设A,B为抛物线C1上的两个动点,且使得线段AB的中点D在直线y=x上,P(3,2)为定点,求△PAB面积的最大值.‎ ‎21.已知函数f(x)=exlnx+.‎ ‎(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;‎ ‎(2)证明:f(x)>1.‎ ‎ ‎ 请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多图均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.[选修4-1:几何证明选讲]‎ ‎22.选修4﹣1:几何证明选讲 如图所示,已知PA与⊙O相切,A为切点,过点P的割线交圆于B、C两点,弦CD∥AP,AD、BC相交于点E,F为CE上一点,且DE2=EF•EC.‎ ‎(1)求证:CE•EB=EF•EP;‎ ‎(2)若CE:BE=3:2,DE=3,EF=2,求PA的长.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4;坐标系与参数方程]‎ ‎23.已知曲线C的参数方程为(α为参数),以直角坐标系原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线l的参数方程为,其中t为参数,求直线l被曲线C截得的弦长.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知函数f(x)=|x|+|x﹣1|,g(x)=﹣|x﹣4|+m.‎ ‎(Ⅰ)解关于x的不等式g[f(x)]+1﹣m>0;‎ ‎(Ⅱ)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求实数m的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2015-2016学年广东省汕头市高二(下)期末数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.集合A={x|lnx≥0},B={x|x2<16},则A∩B=(  )‎ A.(1,4) B.[1,4) C.[1,+∞) D.[e,4)‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B,找出两集合的交集即可.‎ ‎【解答】解:由A中lnx≥0=ln1,得到x≥1,即A=[1,+∞);‎ 由B中的不等式解得:﹣4<x<4,即B=(﹣4,4),‎ 则A∩B=[1,4).‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎2.复数()2=(  )‎ A.﹣3﹣4i B.﹣3+4i C.3﹣4i D.3+4i ‎【考点】复数代数形式的混合运算.‎ ‎【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,把复数整理成整式形式,再进行复数的乘方运算,合并同类项,得到结果.‎ ‎【解答】解:()2=[]2=(1﹣2i)2=﹣3﹣4i.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎3.函数f(x)=sinx的图象中相邻的两条对称轴间距离为(  )‎ A. B. C.3π D.‎ ‎【考点】正弦函数的图象;两角和与差的正弦函数.‎ ‎【分析】利用辅助角公式化简函数解析式,再利用正弦函数的图象的对称性和周期性,求得图象中相邻的两条对称轴间距离.‎ ‎【解答】解:函数解析式化简得,函数的周期为,‎ 由正弦函数图象可知,相邻的两条对称轴间距离为半个周期,则,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.下列命题中,是真命题的是(  )‎ A.∃x0∈R,e≤0‎ B.已知a,b为实数,则a+b=0的充要条件是=﹣1‎ C.∀x∈R,2x>x2‎ D.已知a,b为实数,则a>1,b>1是ab>1的充分条件 ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】A.根据指数函数的性质进行判断,‎ B.根据充分条件和必要条件的定义进行判断,‎ C.当x=2时,不等式不成立,‎ D.根据充分条件和必要条件的定义进行判断.‎ ‎【解答】解:A.∀x∈R,ex>0,则∃x0∈R,e≤0为假命题.‎ B.当a=b=0时,满足a+b=0但=﹣1不成立,故B错误,‎ C.当x=2时,2x=x2,则2x>x2为假命题.‎ D.若a>1,b>1则ab>1成立,即a>1,b>1是ab>1的充分条件成立,故D正确 故选:D ‎ ‎ ‎5.现有2个男生.3个女生和1个老师共六人站成一排照相,若两端站男生,3个女生中有且仅有两人相邻,则不同的站法种数是(  )‎ A.12 B.24 C.36 D.48‎ ‎【考点】计数原理的应用.‎ ‎【分析】分三步,先排男生,再排女生,最后排老师,根据分步计数原理可得.‎ ‎【解答】解:第一步:先排2名男生有A22=2种,‎ 第二步:排女生,3名女生全排形成了4个空,‎ 第三步,将这1个老师插入3名女生形成的2空(不含3名女生两端的空)中,‎ 根据分步计数原理可得,共有A22A33A21=24种,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.已知向量=(1,x),=(1,x﹣1),若(﹣2)⊥,则|﹣2|=(  )‎ A. B. C.2 D.‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算.‎ ‎【分析】向量的坐标运算和向量的数量积求出x的值,再根据向量的模计算即可.‎ ‎【解答】解:∵向量=(1,x),=(1,x﹣1),‎ ‎∴﹣2=(1,x)﹣2(1,x﹣1)=(﹣1,2﹣x),‎ ‎∵(﹣2)⊥,‎ ‎∴(﹣2)•=0,‎ 即﹣1+x(2﹣x)=0,‎ 解得x=1,‎ ‎∴﹣2=(﹣1,1),‎ ‎∴|﹣2|==,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(  )‎ A.y= B.y= C.y=±x D.y=‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2,而渐近线方程为y=±x,代入可得答案.‎ ‎【解答】解:由双曲线C:(a>0,b>0),‎ 则离心率e===,即4b2=a2,‎ 故渐近线方程为y=±x=x,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.在△ABC中,A=,AB=3,AC=3,D在边BC上,且CD=2DB,则AD=(  )‎ A. B. C.5 D.‎ ‎【考点】余弦定理.‎ ‎【分析】在三角形ABC中,利用余弦定理求出BC的长,进而确定出BD与CD的长,再三角形ABD与三角形ACD中分别利用余弦定理表示出cos∠ADB与cos∠ADC,根据两值互为相反数求出AD的长即可.‎ ‎【解答】解:在△ABC中,A=,AB=3,AC=3,‎ 利用余弦定理得:BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC=27+9﹣27=9,即BC=3,‎ ‎∴BD=1,CD=2,‎ 在△ABD中,由余弦定理得:cos∠ADB=,‎ 在△ADC中,由余弦定理得:cos∠ADC=,‎ ‎∴cos∠ADB=﹣cos∠ADC,即=﹣,‎ 解得:AD=(负值舍去),‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎9.某程序框图如图所示,现将输出(x,y)值依次记为:(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),…若程序运行中输出的一个数组是(x,﹣10),则数组中的x=(  )‎ A.32 B.24 C.18 D.16‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】根据流程图所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知:该程序的作用是依次输出的(x,y)值,其中每一组有序实数对中,x是每次变为原来的2倍,y每次减小2,依次写出每次循环输出的数组,即可得解.‎ ‎【解答】解:模拟程序的运行过程,可得:‎ 运行第一次,输出(1,0),n=3,x=2,y=﹣2;‎ 运行第二次,输出(2,﹣2),n=5,x=4,y=﹣4;‎ 运行第三次,输出(4,﹣4),n=7,x=8,y=﹣6;‎ 运行第四次,输出(8,﹣6),n=9,x=16,y=﹣8;‎ 运行第五次,输出(16,﹣8),n=11,x=32,y=﹣10;‎ 运行第六次,输出(32,﹣10),n=13,x=64,y=﹣12.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎10.如图1,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a,动点M,N,Q分别在线段AD1,B1C,C1D1上,当三棱锥Q﹣BMN的俯视图如图2所示,三棱锥Q﹣BMN正视图的面积等于(  )‎ A. B. a2 C. D. a2‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.‎ ‎【分析】由三棱锥Q﹣BMN的俯视图可得Q在D1,N在C,所以三棱锥Q﹣BMN正视图为△D1EC(E为D1D的中点),即可求出三棱锥Q﹣BMN正视图的面积.‎ ‎【解答】解:由三棱锥Q﹣BMN的俯视图可得Q在D1,N在C,‎ 所以三棱锥Q﹣BMN正视图为△D1EC(E为D1D的中点),‎ 其面积为=.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎11.已知函数f(x)=cosωx(sinωx+cosωx)(ω>0),如果存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2016π)成立,则ω的最小值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数.‎ ‎【分析】由题意可得区间[x0,x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间,利用两角和的正弦公式求得f(x)=sin(2ωx+)+,再根据2016π≥•,求得ω的最小值.‎ ‎【解答】解:由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2016π)是函数f(x)的最大值.‎ 显然要使结论成立,只需保证区间[x0,x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可.‎ 又f(x)=cosωx(sinωx+cosωx)=sin2ωx+=sin(2ωx+)+,‎ 故2016π≥•,求得ω≥,‎ 故则ω的最小值为,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数f(x)=,g(x)=x2﹣2x,设a为实数,若存在实数m,使f(m)﹣2g(a)=0,则实数a的取值范围为(  )‎ A.[﹣1,+∞) B.(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) C.[﹣1,3] D.(﹣∞,3]‎ ‎【考点】对数函数图象与性质的综合应用.‎ ‎【分析】根据函数f(x)的图象,得出值域为[﹣2,6],利用存在实数m,使f(m)﹣2g(a)=0,得出2g(a)的值域满足﹣2≤2a2﹣4a≤6,即可.‎ ‎【解答】解:∵g(x)=x2﹣2x,设a为实数,‎ ‎∴2g(a)=2a2﹣4a,a∈R,‎ ‎∵y=2a2﹣4a,a∈R,‎ ‎∴当a=1时,y最小值=﹣2,‎ ‎∵函数f(x)=,‎ f(﹣7)=6,f(e﹣2)=﹣2,‎ ‎∴值域为[﹣2,6]‎ ‎∵存在实数m,使f(m)﹣2g(a)=0,‎ ‎∴﹣2≤2a2﹣4a≤6,‎ 即﹣1≤a≤3,‎ 故选;C ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 ‎13.若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点,则p= 2 .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】先求出x2﹣y2=1的左焦点,得到抛物线y2=2px的准线,依据p的意义求出它的值.‎ ‎【解答】解:双曲线x2﹣y2=1的左焦点为(﹣,0),故抛物线y2=2px的准线为x=﹣,‎ ‎∴=,∴p=2,‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎14.点M(x,y)是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点,且不等式2x﹣y+m≥0总成立,则m的取值范围是 m≥3 .‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合即可得到结论.‎ ‎【解答】解:若2x﹣y+m≥0总成立⇔m≥y﹣2x总成立即可,‎ 设z=y﹣2x,即求出z的最大值即可,‎ 作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 由z=y﹣2x得y=2x+z,‎ 平移直线y=2x+z,由图象可知当直线经过点C(0,3)时,直线的截距最大,此时z最大,‎ 此时z=3﹣0=3,‎ ‎∴m≥3,‎ 故答案为:m≥3‎ ‎ ‎ ‎15.若三棱锥P﹣ABC的最长的棱PA=2,且各面均为直角三角形,则此三棱锥的外接球的体积是  .‎ ‎【考点】球的体积和表面积.‎ ‎【分析】根据已知可得三棱锥的外接球的直径为2,进而求出球半径,代入球的体积公式,可得答案.‎ ‎【解答】解:若三棱锥P﹣ABC的最长的棱PA=2,且各面均为直角三角形,‎ 将此三棱锥的外接球的直径为2,‎ 故此三棱锥的外接球的半径为1,‎ 故此三棱锥的外接球的体积V=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.设a=(sinx﹣1+2cos2)dx,则(a﹣)6的展开式中常数项是 ﹣1280 .‎ ‎【考点】二项式系数的性质.‎ ‎【分析】利用二项式定理可知(a﹣)6的展开式中通项公式Tk,进而可确定展开式中常数项为T3,利用微积分基本定理化简可知a=2,代入计算即可.‎ ‎【解答】解:(a﹣)6的展开式中通项公式Tk==(﹣1)ka6x3﹣k,‎ 令x3﹣k=1,解得k=3,即展开式中常数项为T3=﹣20a6,‎ 又∵a=(sinx﹣1+2cos2)dx ‎=(sinx+cosx)dx ‎=sinx﹣cosx ‎=2,‎ ‎∴T3=﹣20×26=﹣1280,‎ 故答案为:﹣1280.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共8个小题,共70分。解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.若数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=3an﹣1(n∈N*),等差数列{bn}满足b1=3a1,b3=S2+3.‎ ‎(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和为Tn.‎ ‎【考点】数列的求和;等差数列的性质.‎ ‎【分析】(1)由数列递推式求出a1,在数列递推式中取n=n﹣1得另一递推式,作差后得到数列{an}为等比数列,则数列{an}的通项公式可求,再由b1=3a1,b3=S2+3求出数列{bn}的首项和公差,则{bn}的通项公式可求;‎ ‎(2)把数列{an}、{bn}的通项公式代入cn=,直接由错位相减法求数列{cn}的前n项和为Tn.‎ ‎【解答】解:(1)当n=1时,2S1=3a1﹣1,∴a1=1,‎ 当n≥2时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1=(3an﹣1)﹣(3an﹣1﹣1),即an=3an﹣1,‎ ‎∵a1=1≠0,‎ ‎∴数列{an}是以a1=1为首项,3为公比的等比数列,∴,‎ 设{bn}的公差为d,b1=3a1=3,b3=S2+3=7=2d+3,d=2.‎ ‎∴bn=3+(n﹣1)×2=2n+1;‎ ‎(2)∵cn==,‎ ‎∴ ①‎ ‎ ②‎ 由①﹣②得,‎ ‎=.‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎18.如图,四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是等边三角形.‎ ‎(1)证明:PB⊥CD;‎ ‎(2)求二面角A﹣PD﹣B的余弦值.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质.‎ ‎【分析】(1)取BC的中点E,连接DE,过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA,OB,OE,OD,推出OE⊥PB,证明OE∥CD,得到PB⊥CD.‎ ‎(2)由OE,OB,OP两两垂直.以O为原点,OE方向为x轴正方向,OB方向为y轴正方向,OP方向为z轴正方向,‎ 建立空间直角坐标系O﹣xyz,求出相关点的坐标,求出平面PAD的法向量,平面PBD的法向量为,利用空间向量的数量积求解即可.‎ ‎【解答】解:(1)证明:取BC的中点E,连接DE,则ADEB为正方形,‎ 过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,‎ 连接OA,OB,OE,OD,…‎ 由△PAB和△PAD都是等边三角形可知PA=PB=PD,‎ 所以OA=OB=OD,‎ 即点O为正方形ADEB对角线的交点…‎ 故OE⊥BD,从而OE⊥平面PBD,所以OE⊥PB,‎ 因为O是BD的中点,E是BC的中点,‎ 所以OE∥CD,因此PB⊥CD…‎ ‎(2)由(1)可知,OE,OB,OP两两垂直.‎ 以O为原点,OE方向为x轴正方向,OB方向为y轴正方向,OP方向为z轴正方向,‎ 建立如图所示的直角坐标系O﹣xyz,…‎ 设|AB|=2,则,,,,,…‎ 设平面PAD的法向量,,,‎ 取x=1,得y=1,z=﹣1,即,…‎ 因为OE⊥平面PBD,设平面PBD的法向量为,取,‎ 由图象可知二面角A﹣PD﹣B的大小为锐角,…‎ 所以二面角A﹣PD﹣B的余弦值为…‎ ‎ ‎ ‎19.2013年12月21日上午10时,省会首次启动重污染天气Ⅱ级应急响应,正式实施机动车车尾号限行,当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:‎ 年龄(岁)‎ ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55)‎ ‎[55,65)‎ ‎[65,75]‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎(Ⅰ)完成被调查人员的频率分布直方图;‎ ‎(Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查,记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.‎ ‎【考点】频率分布直方图;离散型随机变量的期望与方差.‎ ‎【分析】(I)利用频率分布表,根据频率=求得各组的频率,再根据小矩形的高=求得小矩形的高,画出频率分布直方图;‎ ‎(II)先确定ξ的所有可能取值为:0,1,2,3.利用排列组合知识求ξ的各个可能值的概率,画出分布列,根据Eξ=求得期望.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)根据频率=得各组的频率分别是:0.1;0.2;0.3;0.2;0.1;0.1.‎ 由组距为10,可得小矩形的高分别为0.01;0.02;0.03;0.02;0.01;0.01.‎ 由此得频率分布直方图如图:‎ ‎(Ⅱ)由题意知ξ的所有可能取值为:0,1,2,3.‎ P(ξ=0)=•=;‎ P(ξ=1)=•+•=;‎ P(ξ=2)=•+•=;‎ P(ξ=3)=•=.‎ ‎∴ξ的分布列是:‎ ‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×==.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,已知抛物线C1:y2=4x的焦点为F,椭圆C2的中心在原点,F为其右焦点,点M为曲线C1和C2在第一象限的交点,且||=.‎ ‎(1)求椭圆C2的标准方程;‎ ‎(2)设A,B为抛物线C1上的两个动点,且使得线段AB的中点D在直线y=x上,P(3,2)为定点,求△PAB面积的最大值.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质;抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】(1)设出椭圆C2的标准方程,根据题意求出c、a和b2的值,即得椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设出点D(m,m),A(x1,y1),B(x2,y2),由题意求出直线AB的斜率与方程,与抛物线方程联立成方程组,消去x,求出|AB|及点P到直线AB的距离d,写出S△PAB的表达式,求出它的最小值即可.‎ ‎【解答】解:(1)设椭圆C2的方程为+=1(a>b>0),半焦距为c;‎ 由已知,点F(1,0),则c=1;…‎ 设点M(x0,y0),(x0、y0>0),‎ 根据抛物线的定义,得|MF|=x0+1;‎ 由已知,x0+1=,则x0=;从而y0==,‎ 所以点M(,);…‎ 设点E为椭圆的左焦点,则E(﹣1,0),|ME|==;‎ 根据椭圆的定义,得2a=|ME|+|MF|=+=6,则a=3;…‎ 从而b2=a2﹣c2=8,‎ 所以椭圆C2的标准方程是+=1;…‎ ‎(2)设点D(m,m),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则=4x1①,=4x2②,‎ 两式相减,得﹣=4(x1﹣x2),‎ 即=;‎ 因为D为线段AB的中点,则y1+y2=2m,‎ 所以直线AB的斜率为k===,‎ 从而直线AB的方程为y﹣m=(x﹣m),即2x﹣my+m2﹣2m=0;‎ 联立方程组,‎ 消去x得y2﹣2my+2m2﹣4m=0,则y1y2=2m2﹣4m;‎ 所以|AB|=|y1﹣y2|=•=•;‎ 设点P到直线AB的距离为d,则d=;‎ 所以S△PAB=|AB|d=•|6﹣4m+m2|;‎ 由4m﹣m2>0,得0<m<4,‎ 令=t,则S△PAB==3t﹣t3(0<t≤2);‎ 设f(t)=3t﹣t3(0<t≤2),则f′(t)=3﹣t2,‎ 由f′(t)>0,得0<t<,‎ 则f(t)在(0,)上是单调增函数,在(,2上是单调减函数,‎ 所以f(t)min=2,即△PAB面积的最大值是2.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=exlnx+.‎ ‎(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;‎ ‎(2)证明:f(x)>1.‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】(1)求出原函数的导函数,得到f′(1)=e,进一步求得f(1)=2,则函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程可求;‎ ‎(2)函数f(x)=exlnx+﹣1的定义域为(0,+∞),由(1)得到函数在定义域内的最小值为1,则答案得证.‎ ‎【解答】(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),…‎ 由题意可得f(1)=2,f′(1)=e,‎ 故曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=e(x﹣1)+2; …‎ ‎(2)证明:由(1)知,f(x)=exln x+ex﹣1,‎ 从而f(x)>1等价于xln x>xe﹣x﹣.…‎ 设函数g(x)=xln x,‎ 则g′(x)=1+ln x,‎ 所以当x∈(0,)时,g′(x)<0;‎ 当x∈(,+∞)时,g′(x)>0.‎ 故g(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,‎ 从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g()=﹣.…‎ 设函数h(x)=xe﹣x﹣,则h′(x)=e﹣x(1﹣x).‎ 所以当x∈(0,1)时,h′(x)>0;‎ 当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0.‎ 故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,‎ 从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=﹣.…‎ 因为gmin(x)=h(1)=hmax(x),‎ 所以当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.…‎ ‎ ‎ 请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多图均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.[选修4-1:几何证明选讲]‎ ‎22.选修4﹣1:几何证明选讲 如图所示,已知PA与⊙O相切,A为切点,过点P的割线交圆于B、C两点,弦CD∥AP,AD、BC相交于点E,F为CE上一点,且DE2=EF•EC.‎ ‎(1)求证:CE•EB=EF•EP;‎ ‎(2)若CE:BE=3:2,DE=3,EF=2,求PA的长.‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段.‎ ‎【分析】(I)由已知可得△DEF∽△CED,得到∠EDF=∠C.由平行线的性质可得∠P=∠C,于是得到∠EDF=∠P,再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA.于是得到EA•ED=EF•EP.利用相交弦定理可得EA•ED=CE•EB,进而证明结论;‎ ‎(II)利用(I)的结论可得BP=,再利用切割线定理可得PA2=PB•PC,即可得出PA.‎ ‎【解答】(I)证明:∵DE2=EF•EC,∠DEF公用,‎ ‎∴△DEF∽△CED,‎ ‎∴∠EDF=∠C.‎ 又∵弦CD∥AP,∴∠P=∠C,‎ ‎∴∠EDF=∠P,∠DEF=∠PEA ‎∴△EDF∽△EPA.‎ ‎∴,∴EA•ED=EF•EP.‎ 又∵EA•ED=CE•EB,‎ ‎∴CE•EB=EF•EP;‎ ‎(II)∵DE2=EF•EC,DE=3,EF=2.‎ ‎∴32=2EC,∴.‎ ‎∵CE:BE=3:2,∴BE=3.‎ 由(I)可知:CE•EB=EF•EP,∴,解得EP=,‎ ‎∴BP=EP﹣EB=.‎ ‎∵PA是⊙O的切线,∴PA2=PB•PC,‎ ‎∴,解得.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4;坐标系与参数方程]‎ ‎23.已知曲线C的参数方程为(α为参数),以直角坐标系原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线l的参数方程为,其中t为参数,求直线l被曲线C截得的弦长.‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】(1)先消去参数,求出曲线的普通方程,然后利用普通方程和极坐标方程之间的关系进行转化求解即可.‎ ‎(2)直线方程的极坐标为,代入曲线C的极坐标方程求出ρ即可.‎ ‎【解答】解(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数),‎ ‎∴曲线C的普通方程为,‎ 将代入并化简得:,‎ 即曲线C的极坐标方程为;‎ ‎(2)将代入得弦长为.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知函数f(x)=|x|+|x﹣1|,g(x)=﹣|x﹣4|+m.‎ ‎(Ⅰ)解关于x的不等式g[f(x)]+1﹣m>0;‎ ‎(Ⅱ)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.‎ ‎【分析】(Ⅰ)问题转化为||x|+|x﹣1|﹣4|<1,解出即可;(Ⅱ)问题转化为m<|x|+|x﹣1|+|x﹣4|恒成立,求出m的范围即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由g[f(x)]+2﹣m>0‎ 得:||x|+|x﹣1|﹣4|<1,‎ ‎∴3<|x|+|x﹣1|<5,‎ 故不等式的解集为(﹣2,﹣1)∪(2,3);‎ ‎(Ⅱ)∵函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,‎ ‎∴f(x)>g(x)恒成立,‎ 即m<|x|+|x﹣1|+|x﹣4|恒成立,‎ 令h(x)=|x|+|x﹣1|+|x﹣4|,‎ ‎①x≥4时,h(x)=3x﹣5,h(x)∈[7,+∞),‎ ‎②1<x<4时,h(x)=x+3,h(x)∈(4,7),‎ ‎③0≤x≤1时,h(x)=5﹣x,h(x)∈[4,5],‎ ‎④x<0时,h(x)=5﹣3x,h(x)∈(5,+∞),‎ 故h(x)的最小值是4,‎ ‎∴m的取值范围为m<4.‎ ‎ 2016年8月15日

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