牡丹江一中2016年高二数学下学期期末试卷(理科带解析)
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资料简介
www.ks5u.com ‎2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高二(下)期末数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合A={x|y=lgx},B={x|x2﹣2x﹣3<0},则A∩B=(  )‎ A.(﹣1,0) B.(0,3) C.(﹣∞,0)∪(3,+∞) D.(﹣1,3)‎ ‎2.对于实数a,b,c,下列命题正确的是(  )‎ A.若a<b<0,则a2>ab>b2 B.若a>b,则ac>bc C.若a>b,则ac2>bc2 D.若a<b<0,则>‎ ‎3.由0、1、2、3这四个数字,可组成无重复数字的三位偶数有(  )个.‎ A.8 B.12 C.10 D.15‎ ‎4.已知条件p:x≤1,条件q:<1,则p是¬q成立的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件 ‎5.(x﹣2y)6的展开式中,x4y2的系数为(  )‎ A.15 B.﹣15 C.60 D.﹣60‎ ‎6.从5位男同学和4位女同学中选出3位同学分别担任数、语、外三科的科代表,要求选出的3位同学中男女都要有,则不同的选派方案共有(  )‎ A.210种 B.630种 C.420种 D.840种 ‎7.已知x>0,y>0,且+=4,则x+2y最小值是(  )‎ A.5+2 B.2 C.8 D.16‎ ‎8.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试,每人限报一所高校.若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考,那么这5名同学不同的报考方法种数共有(  )‎ A.144种 B.150种 C.196种 D.256种 ‎9.在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回地依次抽取2道题.在第一次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.如图所示,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着方法共有(  )种.‎ A.72 B.60 C.48 D.24‎ ‎11.某市环保局举办“六•五”世界环境日宣传活动,进行现场抽奖.抽奖规则是:盒中装有10张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案.参加者每次从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖.已知从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是.现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖,抽后放回,另一人再抽,用ξ表示获奖的人数,那么E(ξ)+D(ξ)=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.设命题p:函数f(x)=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R,命题q:不等式<1+ax对一切正实数x均成立,如果命题p∨q为真,p∧q为假,则实数a的取值范围(  )‎ A.(,2) B.(2,+∞) C.(﹣∞,] D.[,2]‎ ‎ ‎ 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(﹣2≤ξ≤2)=      .‎ ‎14.已知集合A=(﹣1,2],集合B={x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}.若B∩∁RA=B,则实数a的取值范围      .‎ ‎15.已知变量x,y满足约束条件,若目标函数z=y﹣ax仅在点(5,3)处取得最小值,则实数a的取值范围为      .‎ ‎16.下列说法中正确的是      ‎ ‎(1)用相关指数R2来刻画回归的效果时,R2取值越大,则残差平方和越小,模型拟合的效果就越好;‎ ‎(2)已知a,b∈R,则|a|>|b|是使>1成立的必要不充分条件;‎ ‎(3)命题p:∃x∈R,x﹣2>lgx;命题q:∀x∈R,x2>0,则命题p∧(¬q)是假命题;‎ ‎(4)4封不同的信,投到3个不同的邮筒中,则不同的投放种数为A43;‎ ‎(5)(1﹣x﹣5y)5的展开式中不含y项的系数和为0‎ ‎(6)4张不同的高校邀请函,分发给3位同学每人至少1张,则不同的发放种数为3A43.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表:‎ 价格x(元/kg)‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ 日需求量y(kg)‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎(Ⅰ)求y关于x的线性回归方程;‎ ‎(Ⅱ)当价格x=40元/kg时,日需求量y的预测值为多少?‎ 线性回归方程=x+中系数计算公式:‎ ‎==‎ ‎=﹣,其中,表示样本均值.‎ ‎18.为了研究某学科成绩是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩,得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图,规定80分以上为优分(含80分).‎ ‎(Ⅰ)(i)请根据图示,将2×2列联表补充完整;‎ 优分 非优分 总计 男生 ‎      ‎ ‎      ‎ ‎      ‎ 女生 ‎      ‎ ‎      ‎ ‎      ‎ 总计 ‎      ‎ ‎      ‎ ‎50‎ ‎(ii)据此列联表判断,能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”?‎ ‎(Ⅱ)将频率视作概率,从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩,求至少2名学生的成绩为优分的概率.‎ 附:‎ P(K2≥k)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2=.‎ ‎19.某商场五一进行抽奖促销活动,当日在该商场消费的顾客即可参加抽奖活动,抽奖情况如下:消费金额每满500元,可获得一次抽奖机会,即设消费金额x元,x∈[500,1000)可抽奖1次,x∈[1000,1500)可抽奖2次,x∈[1500,2000)可抽奖3次,以此类推.‎ 抽奖箱中有9个大小形状完全相同的小球,其中4个红球、3个白球、2个黑球(每次只能抽取一个,且不放回抽取).‎ 第一种抽奖方式:若抽得红球,获奖金10元;若抽得白球,获奖金20元;若抽得黑球,获奖金40元.‎ 第二种抽奖方式:抽到红球,奖金0元;抽到白球,获得奖金50元;若抽到黑球,获奖金100元.‎ ‎(1)若某顾客在该商场当日消费金额为2000元,用第一种抽奖方式进行抽奖,求获得奖金70元的概率 ‎(2)若某顾客在该商场当日消费金额为1200元,请同学们告诉这位顾客哪种抽奖方式对他更有利.‎ ‎20.选修4﹣5:不等式选讲 已知关于x的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a(其中a>0).‎ ‎(1)当a=4时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若不等式有解,求实数a的取值范围.‎ ‎21.某射手每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响.‎ ‎(Ⅰ)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率 ‎(Ⅱ)假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标.另外2次未击中目标的概率;‎ ‎(Ⅲ)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,在3次射击中,若有2次连续击中,而另外1次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3分,记ξ为射手射击3次后的总的分数,求ξ的分布列.‎ ‎22.已知函数f(x)=﹣x3+x2+b,g(x)=alnx.‎ ‎(1)若f(x)在上的最大值为,求实数b的值;‎ ‎(2)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥﹣x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)在(1)的条件下,设,对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上是否存在两点P、Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2015-2016学年黑龙江省牡丹江一中高二(下)期末数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合A={x|y=lgx},B={x|x2﹣2x﹣3<0},则A∩B=(  )‎ A.(﹣1,0) B.(0,3) C.(﹣∞,0)∪(3,+∞) D.(﹣1,3)‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】分别求出集合A,B,从而求出其交集即可.‎ ‎【解答】解:∵集合A={x|y=lgx}={x|x>0|,‎ B={x|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3},‎ 则A∩B=(0,3),‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎2.对于实数a,b,c,下列命题正确的是(  )‎ A.若a<b<0,则a2>ab>b2 B.若a>b,则ac>bc C.若a>b,则ac2>bc2 D.若a<b<0,则>‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】根据不等式的基本性质,判断四个答案的真假,可得结论.‎ ‎【解答】解:若a<b<0,则a2>ab,ab>b2,即a2>ab>b2,故A正确;‎ 若a>b,c≤0,则ac≤bc,故B错误;‎ 若a>b,c=0,则ac2=bc2,故C错误;‎ 若a<b<0,则<1,>1,即<,故D错误;‎ 故选:A ‎ ‎ ‎3.由0、1、2、3这四个数字,可组成无重复数字的三位偶数有(  )个.‎ A.8 B.12 C.10 D.15‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题.‎ ‎【分析】数字0,1,2,3,组成没有重复数字的三位偶数有两种情况,0在个位与不在个位,由此可得结论.‎ ‎【解答】解:用数字0,1,2,3,组成没有重复数字的三位偶数有两种情况,‎ 当0在个位的三位偶数有A32=6个,‎ 当0不在个位时,把2放在个位,再从余下的2个非零数选一个放在首位,‎ 再从剩余的2个数中选一个放到十位上,方法有2×2=4种,‎ 故所有的无重复数字的三位偶数有6+4=10个,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.已知条件p:x≤1,条件q:<1,则p是¬q成立的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件 ‎【考点】命题的否定;必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】先求出条件q和¬q的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【解答】解:由<1,得x<0或x>1,即q:x<0或x>1,‎ ‎∴¬q:0≤x≤1.‎ ‎∴p是¬q成立必要不充分条件.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎5.(x﹣2y)6的展开式中,x4y2的系数为(  )‎ A.15 B.﹣15 C.60 D.﹣60‎ ‎【考点】二项式系数的性质.‎ ‎【分析】根据二项式展开式的通项公式,利用展开式中x4y2,即可求出对应的系数.‎ ‎【解答】解:(x﹣2y)6展开式的通项公式为 Tr+1=•x6﹣r•(﹣2y)r,‎ 令r=2,得T3=•x4•(﹣2y)2=60x4y2,‎ 所以x4y2的系数为60.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎6.从5位男同学和4位女同学中选出3位同学分别担任数、语、外三科的科代表,要求选出的3位同学中男女都要有,则不同的选派方案共有(  )‎ A.210种 B.630种 C.420种 D.840种 ‎【考点】计数原理的应用.‎ ‎【分析】题目要求有男女同学九人选三个到3个班担任数、语、外三科的科代表是三个元素在九个位置排列,要求这3位班主任中男女同学都有,则选的都是男同学和选的都是女同学不合题意就需要从总数中去掉.‎ ‎【解答】解:∵共有男女同学九人选三个到3个担任数、语、外三科的科代表共有A93种结果,‎ 要求这3位班主任中男女同学都有,则选的都是男同学和选的都是女同学不合题意,‎ 选的都是男同学有A53种结果,‎ 选的都是女同学有A43种结果,‎ ‎∴满足条件的方案有A93﹣(A53+A43)=420,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.已知x>0,y>0,且+=4,则x+2y最小值是(  )‎ A.5+2 B.2 C.8 D.16‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.‎ ‎【解答】解:∵x>0,y>0,且+=4,‎ 则x+2y=(x+2y)==2,当且仅当x=2y=1时取等号.‎ ‎∴x+2y最小值是2,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试,每人限报一所高校.若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考,那么这5名同学不同的报考方法种数共有(  )‎ A.144种 B.150种 C.196种 D.256种 ‎【考点】分类加法计数原理.‎ ‎【分析】由题设条件知,可以把学生分成两类:311,221,所以共有种报考方法.‎ ‎【解答】解,把学生分成两类:311,221,‎ 根据分组公式共有=150种报考方法,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎9.在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回地依次抽取2道题.在第一次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】条件概率与独立事件.‎ ‎【分析】由已知中5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回地依次抽取2道题.在第一次抽到理科题的条件下,剩余4道题中,有2道理科题,代入古典概型公式,易得到答案.‎ ‎【解答】解:∵5道题中有3道理科题和2道文科题,‎ 则第一次抽到理科题的前提下,‎ 第2次抽到理科题的概率 P==‎ 故选C ‎ ‎ ‎10.如图所示,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着方法共有(  )种.‎ A.72 B.60 C.48 D.24‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用.‎ ‎【分析】根据题意,分2种情况讨论:若选3种颜色时,就是②④同色,③⑤同色;若4种颜色全用,只能②④或③⑤用一种颜色,其它不相同;求出每种情况的着色方法数目,由加法原理求解即可.‎ ‎【解答】解:由题意,分2种情况讨论:‎ ‎(1)、选用3种颜色时,必须是②④同色,③⑤同色,与①进行全排列,‎ 涂色方法有C43•A33=24种 ‎(2)、4色全用时涂色方法:是②④同色或③⑤同色,有2种情况,‎ 涂色方法有C21•A44=48种 所以不同的着色方法共有48+24=72种;‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.某市环保局举办“六•五”世界环境日宣传活动,进行现场抽奖.抽奖规则是:盒中装有10张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案.参加者每次从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖.已知从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是.现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖,抽后放回,另一人再抽,用ξ表示获奖的人数,那么E(ξ)+D(ξ)=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差.‎ ‎【分析】设盒中装有10张大小相同的精美卡片,其中印有“环保会徽”的有n张,“绿色环保标志”图案的有10﹣n张,由题意得=,求出n=6,从而求出ξ~B(4,),由此能求出E(ξ)+D(ξ)的值.‎ ‎【解答】解:设盒中装有10张大小相同的精美卡片,其中印有“环保会徽”的有n张,‎ ‎“绿色环保标志”图案的有10﹣n张,‎ 由题意得=,解得n=6,‎ ‎∴参加者每次从盒中抽取卡片两张,获奖概率p==,‎ ‎∴现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖,抽后放回,另一人再抽,用ξ表示获奖的人数,‎ 则ξ~B(4,),‎ ‎∴E(ξ)+D(ξ)==.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎12.设命题p:函数f(x)=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R,命题q:不等式<1+ax对一切正实数x均成立,如果命题p∨q为真,p∧q为假,则实数a的取值范围(  )‎ A.(,2) B.(2,+∞) C.(﹣∞,] D.[,2]‎ ‎【考点】复合命题的真假.‎ ‎【分析】由二次函数和不等式的性质分别可得p真和q真时的a的取值范围,再由建议逻辑可得得p真q假,或p假q真,由集合的运算可得.‎ ‎【解答】解:p为真等价于ax2﹣x+a>0恒成立,‎ 当a=0时不合题意,∴,解得a>2;‎ q为真等价于a>=对一切x>0恒成立,‎ 又+1>2,∴<,∴a≥,‎ 又命题p∨q为真,p∧q为假可得p真q假,或p假q真,‎ ‎∴,或,综合可得≤a≤2,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(﹣2≤ξ≤2)= 0.954 .‎ ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.‎ ‎【分析】根据随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),得到正态曲线关于x=0对称,根据P(ξ>2)=0.023,得到对称区间上的概率,从而可求P(﹣2≤ξ≤2).‎ ‎【解答】解:∵随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),‎ ‎∴正态曲线关于x=0对称,‎ ‎∵P(ξ>2)=0.023,‎ ‎∴P(ξ<﹣2)=0.023‎ ‎∴P(﹣2≤ξ≤2)=1﹣0.023﹣0.023=0.954,‎ 故答案为:0.954‎ ‎ ‎ ‎14.已知集合A=(﹣1,2],集合B={x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}.若B∩∁RA=B,则实数a的取值范围 (﹣∞,﹣2]∪(3,+∞) .‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算.‎ ‎【分析】根据集合A求出∁RA,化简集合B,由B∩∁RA=B列出不等式求出实数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:集合A=(﹣1,2],‎ ‎∴∁RA=(﹣∞,﹣1]∪(2,+∞),‎ 集合B={x|x2﹣2ax+a2﹣1≤0}={x|a﹣1≤x≤a+1},‎ 且B∩∁RA=B,‎ ‎∴B⊆∁RA,‎ ‎∴a+1≤﹣1或a﹣1>2,‎ 解得a≤﹣2或a>3,‎ ‎∴实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪(3,+∞).‎ 故答案为:(﹣∞,﹣2]∪(3,+∞).‎ ‎ ‎ ‎15.已知变量x,y满足约束条件,若目标函数z=y﹣ax仅在点(5,3)处取得最小值,则实数a的取值范围为 (1,+∞) .‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标取最优解的条件,即可求出a的取值范围.‎ ‎【解答】解:先根据约束条件画出可行域,如图示:‎ ‎,‎ z=y﹣ax,‎ 将z的值转化为直线z=y﹣ax在y轴上的截距,‎ 当a>0时,直线z=y﹣ax经过点A(5,3)时,z最小,‎ 必须直线z=y﹣ax的斜率大于直线x﹣y=2的斜率,‎ 即a>1.‎ 故答案为:(1,+∞).‎ ‎ ‎ ‎16.下列说法中正确的是 (1)(2)(5) ‎ ‎(1)用相关指数R2来刻画回归的效果时,R2取值越大,则残差平方和越小,模型拟合的效果就越好;‎ ‎(2)已知a,b∈R,则|a|>|b|是使>1成立的必要不充分条件;‎ ‎(3)命题p:∃x∈R,x﹣2>lgx;命题q:∀x∈R,x2>0,则命题p∧(¬q)是假命题;‎ ‎(4)4封不同的信,投到3个不同的邮筒中,则不同的投放种数为A43;‎ ‎(5)(1﹣x﹣5y)5的展开式中不含y项的系数和为0‎ ‎(6)4张不同的高校邀请函,分发给3位同学每人至少1张,则不同的发放种数为3A43.‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】(1)根据相关指数R2的意义进行判断 ‎(2)根据不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断 ‎(3)根据条件先判断命题p,q的真假进行判断 ‎(4)根据分步计数原理进行判断 ‎(5)利用二项展开式的定义和性质进行转化求解 ‎(6)根据排列组合的应用进行判断.‎ ‎【解答】解:(1)用相关指数R2来刻画回归的效果时,R2取值越大,则残差平方和越小,模型拟合的效果就越好;正确 ‎(2)已知a,b∈R,则当a=1,b=0时,满足|a|>|b|但>1无意义,即充分性不成立,‎ 若>1,则||>1,即|a|>|b|成立,即必要性成立,则|a|>|b|是使>1成立的必要不充分条件;正确;‎ ‎(3)命题p:∃x∈R,x﹣2>lgx;成立当x=100时,100﹣2>lg100=2;故命题p是真命题,‎ 命题q:∀x∈R,x2>0为假命题,当x=0时,命题不成立,即q是假命题,则命题p∧(¬q)是真命题;故命题p∧(¬q)是假命题,错误,‎ ‎(4)4封不同的信,投到3个不同的邮筒中,则不同的投放种数为3×3×3×3=43;故(4)错误,‎ ‎(5)(1﹣x﹣5y)5的展开式中不含y项,即为y指数为0时的(1﹣x﹣5y)n即(1﹣x)n展开式的各项,‎ 令x=1得(1﹣x)n展开式的各项系数和为(1﹣1)n=0;故(5)正确,‎ ‎(6)4张不同的高校邀请函,分发给3位同学每人至少1张,则不同的发放种数为C42•A33.故(6)错误,‎ 故答案为:(1)(2)(5)‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表:‎ 价格x(元/kg)‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ 日需求量y(kg)‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎(Ⅰ)求y关于x的线性回归方程;‎ ‎(Ⅱ)当价格x=40元/kg时,日需求量y的预测值为多少?‎ 线性回归方程=x+中系数计算公式:‎ ‎==‎ ‎=﹣,其中,表示样本均值.‎ ‎【考点】线性回归方程.‎ ‎【分析】(I)根据回归系数公式计算回归系数,得出回归方程;‎ ‎(II)把x=40代入回归方程解出y即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ) ==20, ==8,‎ ‎∴b==﹣0.32,a=8﹣(﹣0.32)×20=14.4,‎ ‎∴所求线性回归方程为 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知当x=40时,,‎ 故当价格x=40元/kg时,日需求量y的预测值为1.6kg.‎ ‎ ‎ ‎18.为了研究某学科成绩是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩,得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图,规定80分以上为优分(含80分).‎ ‎(Ⅰ)(i)请根据图示,将2×2列联表补充完整;‎ 优分 非优分 总计 男生 ‎ 9 ‎ ‎ 21 ‎ ‎ 30 ‎ 女生 ‎ 11 ‎ ‎ 9 ‎ ‎ 20 ‎ 总计 ‎ 20 ‎ ‎ 30 ‎ ‎50‎ ‎(ii)据此列联表判断,能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”?‎ ‎(Ⅱ)将频率视作概率,从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩,求至少2名学生的成绩为优分的概率.‎ 附:‎ P(K2≥k)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2=.‎ ‎【考点】频率分布直方图;茎叶图;独立性检验.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据图示,将2×2列联表补充完整,计算观测值k,对照数表得出概率结论;‎ ‎(Ⅱ)利用频率视作概率,得出X服从二项分布,求出对应的概率值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)根据图示,将2×2列联表补充完整如下:‎ 优分 非优分 总计 男生 ‎9‎ ‎21‎ ‎30‎ 女生 ‎11‎ ‎9‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 假设H0:该学科成绩与性别无关,‎ 则K2的观测值k===3.125,‎ 因为3.125>2.706,‎ 所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关;‎ ‎(Ⅱ)由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关,‎ 因此需要将男女生成绩的优分频率f==0.4视作概率;‎ 设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中,优分人数为X,‎ 则X服从二项分布B(3,0.4),‎ 所求概率P=P(X=2)+P(X=3)‎ ‎=×0.42×0.6+×0.43‎ ‎=0.352.‎ ‎ ‎ ‎19.某商场五一进行抽奖促销活动,当日在该商场消费的顾客即可参加抽奖活动,抽奖情况如下:消费金额每满500元,可获得一次抽奖机会,即设消费金额x元,x∈[500,1000)可抽奖1次,x∈[1000,1500)可抽奖2次,x∈[1500,2000)可抽奖3次,以此类推.‎ 抽奖箱中有9个大小形状完全相同的小球,其中4个红球、3个白球、2个黑球(每次只能抽取一个,且不放回抽取).‎ 第一种抽奖方式:若抽得红球,获奖金10元;若抽得白球,获奖金20元;若抽得黑球,获奖金40元.‎ 第二种抽奖方式:抽到红球,奖金0元;抽到白球,获得奖金50元;若抽到黑球,获奖金100元.‎ ‎(1)若某顾客在该商场当日消费金额为2000元,用第一种抽奖方式进行抽奖,求获得奖金70元的概率 ‎(2)若某顾客在该商场当日消费金额为1200元,请同学们告诉这位顾客哪种抽奖方式对他更有利.‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列;列举法计算基本事件数及事件发生的概率.‎ ‎【分析】(1)X=2000可抽奖4次,得奖金70元,共有两种情形:抽得3红1黑;抽得1红3白,由此能求出获得奖金70元的概率.‎ ‎(2)X=1200可抽奖2次,用第一种抽奖方式,获得奖金ξ可能为20,30,40,50,60,80,分别求出概率,得到数学期望Eξ=40.用第二种抽奖方式,获得奖金η可能为0,50,100,150,200,分别求出概率,得到数学期望Eη=.从而求出第二种抽奖方式更有利.‎ ‎【解答】解:(1)X=2000可抽奖4次,得奖金70元,‎ 共有两种情形:抽得3红1黑;抽得1红3白,‎ 因此所求事件的概率为 ‎(2)X=1200可抽奖2次,‎ 用第一种抽奖方式,获得奖金ξ可能为20,30,40,50,60,80,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 随机变量ξ的分布列 ξ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎80‎ P 期望Eξ==40.‎ 用第二种抽奖方式,获得奖金η可能为0,50,100,150,200,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 随机变量的分布列 η ‎0‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ P 期望Eη=0++++=.‎ ‎∴第二种抽奖方式更有利.‎ ‎ ‎ ‎20.选修4﹣5:不等式选讲 已知关于x的不等式|2x+1|﹣|x﹣1|≤log2a(其中a>0).‎ ‎(1)当a=4时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若不等式有解,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法.‎ ‎【分析】(Ⅰ)当a=4时,不等式即|2x+1|﹣|x﹣1|≤2,分类讨论,去掉绝对值,分别求出解集,再取并集,即得所求.‎ ‎(Ⅱ)化简f(x)=|2x+1|﹣|x﹣1|的解析式,求出f(x)的最小值为,则由,解得实数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当a=4时,不等式即|2x+1|﹣|x﹣1|≤2,当时,不等式为﹣x﹣2≤2,解得.‎ 当时,不等式为 3x≤2,解得. 当x>1时,不等式为x+2≤2,此时x不存在.‎ 综上,不等式的解集为.‎ ‎(Ⅱ)设f(x)=|2x+1|﹣|x﹣1|=,‎ 故,即f(x)的最小值为.‎ 所以,当f(x)≤log2a有解,则有,解得,即a的取值范围是.‎ ‎ ‎ ‎21.某射手每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响.‎ ‎(Ⅰ)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率 ‎(Ⅱ)假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标.另外2次未击中目标的概率;‎ ‎(Ⅲ)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,在3次射击中,若有2次连续击中,而另外1次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3分,记ξ为射手射击3次后的总的分数,求ξ的分布列.‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式;n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.‎ ‎【分析】(I)由题意知每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响,设X为射手在5次射击中击中目标的次数,则X~.利用二项分布的概率公式得到结果,‎ ‎(II)有3次连续击中目标.另外2次未击中目标包括三种情况,即连续的三次射击在第一位,在第二位,在第三位,这三种情况是互斥的,根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果.‎ ‎(III)ξ为射手射击3次后的总的分数,由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6,结合变量对应的事件,写出变量的概率,写出分布列.‎ ‎【解答】解:(1)每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响 设X为射手在5次射击中击中目标的次数,则X~.‎ 在5次射击中,恰有2次击中目标的概率 ‎(Ⅱ)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i=1,2,3,4,5);‎ ‎“射手在5次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件A,则 ‎=‎ ‎=‎ ‎(Ⅲ)由题意可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6‎ ‎=‎ ‎=‎ P(ζ=6)=P(A1A2A3)=‎ ‎∴ξ的分布列是 ‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ P ‎ ‎ ‎22.已知函数f(x)=﹣x3+x2+b,g(x)=alnx.‎ ‎(1)若f(x)在上的最大值为,求实数b的值;‎ ‎(2)若对任意x∈[1,e],都有g(x)≥﹣x2+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)在(1)的条件下,设,对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上是否存在两点P、Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(1)求导函数,令f′(x)=0,确定函数的单调性与极值,从而可得函数的最大值,由此可求b的值;‎ ‎(2)由g(x)≥﹣x2+(a+2)x,得恒成立,即,求出最小值,即可求得a的取值范围;‎ ‎(3)由条件,,假设曲线y=F(x)上存在两点P,Q满足题意,则P,Q只能在y轴两侧,不妨设P(t,F(t))(t>0),则Q(﹣t,t3+t2),且t≠1,则是否存在P,Q等价于方程﹣t2+F(t)(t3+t2)=0在t>0且t≠1时是否有解.‎ ‎【解答】解:(1)由f(x)=﹣x3+x2+b,得f′(x)=﹣3x2+2x=﹣x(3x﹣2),‎ 令f′(x)=0,得x=0或.‎ 列表如下:‎ x ‎0‎ f′(x)‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∵,,‎ ‎∴,‎ 即最大值为,∴b=0.…‎ ‎(2)由g(x)≥﹣x2+(a+2)x,得(x﹣lnx)a≤x2﹣2x.‎ ‎∵x∈[1,e],∴lnx≤1≤x,且等号不能同时取,‎ ‎∴lnx<x,即x﹣lnx>0,‎ ‎∴恒成立,即.‎ 令,求导得,,‎ 当x∈[1,e]时,x﹣1≥0,lnx≤1,x+1﹣2lnx>0,从而t′(x)≥0,‎ ‎∴t(x)在[1,e]上为增函数,∴tmin(x)=t(1)=﹣1,∴a≤﹣1.…‎ ‎(3)由条件,,‎ 假设曲线y=F(x)上存在两点P,Q满足题意,则P,Q只能在y轴两侧,‎ 不妨设P(t,F(t))(t>0),则Q(﹣t,t3+t2),且t≠1.‎ ‎∵△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,∴,‎ ‎∴﹣t2+F(t)(t3+t2)=0…(*),…‎ 是否存在P,Q等价于方程(*)在t>0且t≠1时是否有解.‎ ‎①若0<t<1时,方程(*)为﹣t2+(﹣t3+t2)(t3+t2)=0,化简得t4﹣t2+1=0,此方程无解; …‎ ‎②若t>1时,(*)方程为﹣t2+alnt•(t3+t2)=0,即,‎ 设h(t)=(t+1)lnt(t>1),则,‎ 显然,当t>1时,h′(t)>0,即h(t)在(1,+∞)上为增函数,∴h(t)的值域为(h(1),+∞),即(0,+∞),∴当a>0时,方程(*)总有解.‎ ‎∴对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上总存在两点P,Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上.…‎ ‎ ‎ ‎2016年8月15日

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