平方差公式测试题
时间：60分钟 总分：100
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6 B. (a2)3=a5
C. 2a2+3a2=5a6 D. (a+2b)(a-2b)=a2-4b2
2. 下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( )
A. (13x+y)(y-13x) B. (x+2)(2+x)
C. (-a+b)(a-b) D. (x-2)(x+1)
3. 若a+b=1，则a2-b2+2b的值为( )
A. 4 B. 3 C. 1 D. 0
4. 利用平方差公式计算(2x-5)(-2x-5)的结果是( )
A. 4x2-5 B. 4x2-25 C. 25-4x2 D. 4x2+25
5. 通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是( )
A. (a-b)2=a2-2ab+b2 B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. 2a(a+b)=2a2+2ab D. (a+b)(a-b)=a2-b2
6. 当n是正整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2能被( )整除．
A. 6 B. 8 C. 12． D. 15
7. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是( )
A. (a-b)2=a2-2ab+b2 B. a(a-b)=a2-ab
C. (a-b)2=a2-b2 D. a2-b2=(a+b)(a-b)
8. 下列式子可以用平方差公式计算的是( )
A. (-x+1)(x-1) B. (a-b)(-a+b)
C. (-x-1)(x+1) D. (-2a-b)(-2a+b)
9. 3(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)+1的个位数是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
10. 如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形(a>b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是( )
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A. a2+b2=(a+b)(a-b) B. a2-b2=(a+b)(a-b)
C. (a+b)2=a2+2ab+b2 D. (a-b)2=a2-2ab+b2
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 计算：1232-124×122= ______ ．
2. 已知a+b=10，a-b=8，则a2-b2=______．
3. (-2x+y)(-2x-y)= ______ ．
4. (x-2y+1)(x-2y-1)=(______ )2-( ______ )2．
5. 计算：12-22+32-42+52-62+72-82+…-782+792= ______ ．
6. 计算：(x+1)2-(x+2)(x-2)=______．
7. 计算-6x(x-3y)=______；(x-1)(x+1)-x2=______．
8. 计算(5-3)(5+3)=______．
9. (1+x)(1-x)(1+x2)(1+x4)= ______ ．
10. 如果a+b=8，a2-b2=24，那么a-b=______．
三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
11. 计算：
(1)3x2y⋅(-2xy3) (2)(2x+y)2-(2x+3y)(2x-3y)
12. 计算：
(1)(m+1)(m-5)-m(m-6)
(2)(x-y+1)(x+y-1)-6x2y3÷3x2y2．
13. 先化简，再求值：[(2x+y)2-(2x-y)(2x+y)]÷(2y)，其中x=2，y=-1．
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1. 化简求值：(2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+5x(x-1)，x=-19．
四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
2. 如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形(其面积=12(上底+下底)×高)．
(1)设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
3. 已知下列等式：(1)22-12=3；(2)32-22=5；(3)42-32=7，…
(1)请仔细观察，写出第4个式子；
(2)请你找出规律，并写出第n个式子；
(3)利用(2)中发现的规律计算：1+3+5+7+…+2005+2007．
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答案和解析
【答案】
1. D 2. A 3. C 4. C 5. D 6. B 7. D
8. D 9. C 10. B
11. 1
12. 80
13. 4x2-y2
14. x-2y；1
15. 3160
16. 2x+5
17. -6x2+18xy；-1
18. 16
19. 1-x8
20. 3
21. 解：(1)原式=-6x3y4；
(2)原式=4x2+4xy+y2-4x2+9y2=4xy+10y2．
22. 解：(1)(m+1)(m-5)-m(m-6)
=m2-5m+m-5-m2+6m
=2m-5
(2)(x-y+1)(x+y-1)-6x2y3÷3x2y2
=[x-(y-1)][x+(y-1)]-2y
=x2-(y-1)2-2y
=x2-y2+2y-1-2y
=x2-y2-1
23. 解：[(2x+y)2-(2x-y)(2x+y)]÷(2y)，
=[4x2+4xy+y2-4x2+y2]÷(2y)，
=(4xy+2y2)÷(2y)，
=2x+y，
当x=2，y=-1时，
原式=2×2+(-1)=3．
24. 解：原式=4x2-4x+1-9x2+1+5x2-5x
=(4-9+5)x2-(4+5)x+(1+1)
=-9x+2
当x=-19时，原式=-9×(-19)+2=3．
25. 解：(1)∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∴S1=a2-b2．
S2=12(2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b)；
(2)根据题意得：
(a+b)(a-b)=a2-b2．
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26. 解：(1)依题意，得第4个算式为：52-42=9；
(2)根据几个等式的规律可知，第n个式子为：(n+1)2-n2=2n+1；
(3)由(2)的规律可知，
1+3+5+7+…+2005+2007=1+(22-12)+(32-22)+(42-32)+…+(10042-10032)
=10042．
【解析】
1. 【分析】
本题主要考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法，可判断A，根据幂的乘方，可判断B，根据合并同类项，可判断C，根据平方差公式，可判断D.本题考查了平方差，利用了平方差公式，同底数幂的乘法，幂的乘方．
【解答】
解：A、原式=a5，故A错误；
B、原式=a6，故B错误；
C、原式=5a2，故C错误；
D、原式=a2-4b2，故D正确；
故选D．
2. 【分析】
本题考查了平方差公式的知识，属于基础题，掌握平方差公式的形式是关键.平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，由此进行判断即可．
【解答】
解：A.可以运用平方差，故本选项正确；
B.不能运用平方差，故本选项错误；
C.不能运用平方差，故本选项错误；
D.不能运用平方差，故本选项错误；
故选A．
3. 解：∵a+b=1，
∴a2-b2+2b=(a+b)(a-b)+2b=a-b+2b=a+b=1．
故选：C．
首先利用平方差公式，求得a2-b2+2b=(a+b)(a-b)+2b，继而求得答案．
此题考查了平方差公式的应用.注意利用平方差公式将原式变形是关键．
4. 解：(2x-5)(-2x-5)，
=(-5)2-(2x)2，
=25-4x2．
故选C．
利用平方差公式进行计算即可得解．
本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
5. 解：图1中阴影部分的面积为：a2-b2，
图2中的面积为：(a+b)(a-b)，
则(a+b)(a-b)=a2-b2，
故选：D．
根据阴影部分面积的两种表示方法，即可解答．
本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是表示阴影部分的面积．
6. 解：(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n，
由n为正整数，得到(2n+1)2-(2n-1)2能被8整除，
故选B
原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
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7. 解：第一个图形阴影部分的面积是a2-b2，
第二个图形的面积是(a+b)(a-b)．
则a2-b2=(a+b)(a-b)．
故选：D．
利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键．
8. 解：A、(-x+1)(x-1)两项都互为相反数，不能用平方差公式计算；
B、(a-b)(-a+b)两项都互为相反数，不能用平方差公式计算；
C、(-x-1)(x+1)两项都互为相反数，不能用平方差公式计算；
D、(-2a-b)(-2a+b)相同项是-2a，相反项是-b和b，能用平方差公式计算．
故选D．
根据利用平方差公式计算必须满足两项的和与两项的差的积，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键．
9. 解：3(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)…(232+1)+1
=(24-1)(24+1)(28+1)…(232+1)+1…=264-1+1=264，
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，
∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，
∵64÷4=16，
∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．
故选C．
原式中的3变形为22-1，反复利用平方差公式计算即可得到结果．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10. 解：∵左图中阴影部分的面积是a2-b2，右图中梯形的面积是12(2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b)，
∴a2-b2=(a+b)(a-b)．
故选：B．
根据左图中阴影部分的面积是a2-b2，右图中梯形的面积是12(2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b)，利用面积相等即可解答．
此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
11. 解：1232-(123+1)×(123-1)，
=1232-(1232-12)，
=1232-1232+1，
=1．
因为124=123+1，122=123-1；根据平方差公式原式可化为：1232-(123+1)×(123-1)=1232-(1232-12)，求解即可．
本题主要考查平方差公式的运用，构造出平方差公式结构是求解的关键．
12. 解：∵(a+b)(a-b)=a2-b2，
∴a2-b2=10×8=80，
故答案为：80
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
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13. 解：(-2x+y)(-2x-y)=4x2-y2．
本题是平方差公式的应用，-2x是相同的项，互为相反项是y与-y，故结果是(-2x)2-y2．
本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
14. 解：原式=[(x-2y)+1][(x-2y)-1]=(x-2y)2-12，
故答案为：x-2y；1；
根据平方差公式的结构即可进行因式分解．
本题考查平方差公式，涉及整体的思想，注意公式的结构特征．
15. 解：原式=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+…+(77+78)(77-78)+792
=-3-7-11-15-…-155+792
=3160，
故答案为3160．
根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行计算即可．
本题考查了平方差公式，掌握平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)是解题的关键．
16. 解：原式=x2+2x+1-x2+4
=2x+5．
故答案为：2x+5．
原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．
此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
17. 解：-6x(x-3y)=-6x2+18xy，
(x-1)(x+1)-x2=x2-1-x2=-1，
故答案为：-6x2+18xy，-1．
根据单项式乘以多项式法则求出即可；根据平方差公式展开，再合并同类项即可．
本题考查了单项式乘以多项式法则和平方差公式，能熟记法则和公式是解此题的关键．
18. 解：原式=25-9=16，
故答案为16
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
19. 解：(1+x)(1-x)(1+x2)(1+x4)
=(1-x2)(1+x2)(1+x4)
=(1-x4)(1+x4)
=1-x8，
故答案为：1-x8
两数之和与两数之差的乘积等于两数的平方差．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
20. 解：∵a+b=8，a2-b2=24，
∴(a+b)(a-b)=24，
∴8(a-b)=24，
∴a-b=3，
故答案为：3．
先根据平方差公式进行变形，再代入，即可求出答案．
本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解此题的关键．
21. (1)原式利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果；
(2)原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可得到结果．
此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
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22. (1)根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的运算方法计算即可．
(2)根据完全平方公式，以及整式除法的运算方法计算即可．
此题主要考查了整式的除法，以及完全平方公式的应用，解答此题的关键是熟练掌握整式的除法法则：(1)单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.(2)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
23. 根据完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，再根据多项式除以单项式法则进行计算即可．
本题主要考查对整式的加减、除法，完全平方公式，平方差公式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．
24. 对(2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+5x(x-1)先去括号，再合并同类项，化简后将x=-19代入化简后的式子，即可求得值．
其中(2x-1)2利用完全平方公式去括号，(3x+1)(3x-1)利用平方差公式去括号．
同学们要注意对于整式的求值，首先利用平方差公式、完全平方式、立方公式等去括号，再合并同类项，最后代入求值．
25. (1)利用正方形的面积公式和梯形的面积公式即可求解；
(2)根据(1)所得的两个式子相等即可得到．
此题考查了平方差公式的几何背景，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键，是一道基础题．
26. (1)由等式左边两数的底数可知，两底数是相邻的两个自然数，右边为两底数的和，由此得出规律；
(2)等式左边减数的底数与序号相同，由此得出第n个式子；
(3)由3=22-12，5=32-22，7=42-32，…，将算式逐一变形，再寻找抵消规律．
本题考查了平方差公式的运用.关键是由已知等式发现一般规律，根据一般规律对算式进行计算．
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