福建省厦门市2015-2016学年八年级数学上学期期末考试试题（含解析） 新人教版.doc

福建省厦门市2015-2016学年八年级数学上学期期末考试试题 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1．五边形的内角和为（　　）‎ A．720° B．540° C．360° D．180°‎ ‎2．下列式子中表示“n的3次方”的是（　　）‎ A．n3 B．3n C．3n D．‎ ‎3．下列图形中，具有稳定性的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．计算3a2÷a4=（　　）‎ A．9a6 B．a6 C． D．‎ ‎5．（3x+4y﹣6）2展开式的常数项是（　　）‎ A．﹣12 B．﹣6 C．9 D．36‎ ‎6．如图，已知OE是∠AOD的平分线，可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例的是（　　）‎ A．∠AOB=∠DOC B．∠AOE=∠DOE C．∠EOC＜∠DOC D．∠EOC＞∠DOC ‎7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，P边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的值可能是（　　）‎ A．135° B．85° C．50° D．40°‎ ‎8．某部队第一天行军5h，第二天行军6h，两天共行军120km，且第二天比第一天多走2km，设第一天和第二天行军的速度分别为xkm/h和ykm/h，则符合题意的二元一次方程是（　　）‎ A．5x+6y=118 B．5x=6y+2 C．5x=6y﹣2 D．5（x+2）=6y ‎9．2x2﹣x﹣6的一个因式是（　　）‎ A．x﹣2 B．2x+1 C．x+3 D．2x﹣3‎ 15‎ ‎10．在平面直角坐标中，已知点P（a，5）在第二象限，则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点的坐标是（　　）‎ A．（﹣a，5） B．（a，﹣5） C．（﹣a+2，5） D．（﹣a+4，5）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．在△ABC中，∠C=100°，∠A=30°，则∠B=　　　　　　度．‎ ‎12．计算：（a﹣1）（a+1）=　　　　　　．‎ ‎13．已知∠A=70°，则∠A的补角是　　　　　　度．‎ ‎14．某商店原有7袋大米，每袋大米为a千克，上午卖出4袋，下午又购进同样包装的大米3袋，进货后这个商店有大米　　　　　　千克．‎ ‎15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，若∠BAD=∠CAD，AB=6，AC=3，S△ABD=3，则S△ACD=　　　　　　．‎ ‎16．计算=　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题有11小题，共86分）‎ ‎17．计算：（2x+1）（x+3）．‎ ‎18．如图．E，F在线段BC上，AB=DC，BF=CE，∠B=∠C，求证：AF=DE．‎ ‎19．计算： +．‎ ‎20．解不等式组．‎ ‎21．已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣4，0），B （﹣3，2），C（﹣1，1），将△ABC向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出一个平面直角坐标系，并在该平面直角坐标系中画出△ABC和△A1B1C1．‎ ‎22．一个等腰三角形的一边长是5cm，周长是20cm，求其他两边的长．‎ ‎23．如图，在△ABC中，点D，E，F在边BC上，点P在线段AD上，若PE∥AB，∠PFD=∠C，点D到PE和PF的距离相等．求证：点D到AB和AC的距离相等．‎ 15‎ ‎24．A，B两地相距25km，甲上午8点由A地出发骑自行车去B地，平均速度不大于10km/h；乙上午9点30分由A地出发乘汽车去B地，若乙的速度是甲速度的4倍，判断乙能否在途中超过甲，请说明理由．‎ ‎25．阅读下列材料：“为什么不是有理数”．‎ 假是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得=，于是有2m2=n2．‎ ‎∵2m2是偶数，∴n2也是偶数，∴n是偶数．‎ 设n=2t（t是正整数），则n2=2m，∴m也是偶数 ‎∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾．‎ ‎∴假设错误 ‎∵不是有理数 有类似的方法，请证明不是有理数．‎ ‎26．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线．‎ ‎（1）若∠B=60°，求∠C的值；‎ ‎（2）求证：AD是∠EAC的平分线．‎ ‎27．已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3=p，a3﹣a﹣3=q成立．‎ ‎（1）若p+q=4，求p﹣q的值；‎ ‎（2）当q2=22n+﹣2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a3+）的大小，并说明理由．‎ ‎　‎ 15‎ ‎2015-2016学年福建省厦门市八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1．五边形的内角和为（　　）‎ A．720° B．540° C．360° D．180°‎ ‎【考点】多边形内角与外角．‎ ‎【分析】利用多边形的内角和定理即可求解．‎ ‎【解答】解：五边形的内角和为：（5﹣2）×180°=540°．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了多边形的内角和定理的计算公式，理解公式是关键．‎ ‎　‎ ‎2．下列式子中表示“n的3次方”的是（　　）‎ A．n3 B．3n C．3n D．‎ ‎【考点】有理数的乘方．‎ ‎【专题】计算题；实数．‎ ‎【分析】利用幂的意义计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：表示“n的3次方”的是n3，‎ 故选A ‎【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．下列图形中，具有稳定性的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】三角形的稳定性；多边形．‎ ‎【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．‎ ‎【解答】解：根据三角形具有稳定性可得A具有稳定性，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．‎ ‎　‎ ‎4．计算3a2÷a4=（　　）‎ A．9a6 B．a6 C． D．‎ ‎【考点】整式的除法．‎ ‎【分析】直接利用整式除法运算法则求出答案．‎ 15‎ ‎【解答】解：3a2÷a4=3a2×=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．‎ ‎　‎ ‎5．（3x+4y﹣6）2展开式的常数项是（　　）‎ A．﹣12 B．﹣6 C．9 D．36‎ ‎【考点】完全平方公式．‎ ‎【分析】把3x+4y当作一个整体，根据完全平方公式展开，最后再根据完全平方公式和整式乘法法则展开，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（3x+4y﹣6）2‎ ‎=[（3x+4y）﹣6]2‎ ‎=（3x+4y）2﹣2（3x+4y）•6+62‎ ‎=9x2+24xy+16y2﹣36x﹣48y+36，‎ 常数项为36，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了对完全平方公式的应用，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式有（a+b）2=a2+2ab+b2和（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．‎ ‎　‎ ‎6．如图，已知OE是∠AOD的平分线，可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例的是（　　）‎ A．∠AOB=∠DOC B．∠AOE=∠DOE C．∠EOC＜∠DOC D．∠EOC＞∠DOC ‎【考点】命题与定理．‎ ‎【分析】根据角平分线定义得到∠AOE=∠DOE，由于反例要满足角相等且不是对顶角，所以∠AOE=∠DOE可作为反例．‎ ‎【解答】解：∵OE是∠AOD的平分线，‎ ‎∴∠AOE=∠DOE，‎ ‎∴∠AOE=∠DOE可作为说明命题“相等的角是对顶角”为假命题的反例．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．‎ ‎　‎ ‎7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，P边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的值可能是（　　）‎ 15‎ A．135° B．85° C．50° D．40°‎ ‎【考点】等腰三角形的性质．‎ ‎【分析】根据等边对等角可得∠B=∠ACB=50°，再根据三角形内角和计算出∠A的度数，然后根据三角形内角与外角的关系可得∠BPC＞∠A，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠ACB=50°，‎ ‎∴∠A=180°﹣50°×2=80°，‎ ‎∵∠BPC=∠A+∠ACP，‎ ‎∴∠BPC＞∠A，‎ ‎∴∠BPC＞80°，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形两底角相等．‎ ‎　‎ ‎8．某部队第一天行军5h，第二天行军6h，两天共行军120km，且第二天比第一天多走2km，设第一天和第二天行军的速度分别为xkm/h和ykm/h，则符合题意的二元一次方程是（　　）‎ A．5x+6y=118 B．5x=6y+2 C．5x=6y﹣2 D．5（x+2）=6y ‎【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】根据某部队第一天行军5h，第二天行军6h，两天共行军120km，且第二天比第一天多走2km，设第一天和第二天行军的速度分别为xkm/h和ykm/h，可以列出相应的方程，从而本题得以解决．‎ ‎【解答】解：设第一天和第二天行军的速度分别为xkm/h和ykm/h，‎ 由题意可得，，‎ 由方程组中6y﹣5x=2可得，5x=6y﹣2，‎ 故选项A错误，选项B错误，选项C正确，选项D错误．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解题的关键是明确题意可以列出相应的方程组，并且可以对方程组中的每个方程进行变形．‎ ‎　‎ ‎9．2x2﹣x﹣6的一个因式是（　　）‎ A．x﹣2 B．2x+1 C．x+3 D．2x﹣3‎ ‎【考点】因式分解-十字相乘法等．‎ ‎【分析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．‎ ‎【解答】解：2x2﹣x﹣6=（x﹣2）（2x+3）．‎ 故选：A．‎ 15‎ ‎【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解二次项系数与常数项是解题关键．‎ ‎　‎ ‎10．在平面直角坐标中，已知点P（a，5）在第二象限，则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点的坐标是（　　）‎ A．（﹣a，5） B．（a，﹣5） C．（﹣a+2，5） D．（﹣a+4，5）‎ ‎【考点】坐标与图形变化-对称．‎ ‎【分析】利用已知直线m上各点的横坐标都是2，得出其解析式，再利用对称点的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：∵直线m上各点的横坐标都是2，‎ ‎∴直线为：x=2，‎ ‎∵点P（a，5）在第二象限，‎ ‎∴a到2的距离为：2﹣a，‎ ‎∴点P关于直线m对称的点的横坐标是：2﹣a+2=4﹣a，‎ 故P点对称的点的坐标是：（﹣a+4，5）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意得出对称点的横坐标是解题关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．在△ABC中，∠C=100°，∠A=30°，则∠B=　50　度．‎ ‎【考点】三角形内角和定理．‎ ‎【分析】由三角形内角和定理即可得出结果．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，∠C=100°，∠A=30°，‎ ‎∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣100°﹣30°=50°；‎ 故答案为：50．‎ ‎【点评】本题考查了三角形内角和定理；熟记三角形内角和定理是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．计算：（a﹣1）（a+1）=　a2﹣1　．‎ ‎【考点】平方差公式．‎ ‎【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．‎ ‎【解答】解：（a﹣1）（a+1）=a2﹣1．‎ 故答案为：a2﹣1．‎ ‎【点评】此题主要考查了平方差公式，正确应用平方差公式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎13．已知∠A=70°，则∠A的补角是　110　度．‎ ‎【考点】余角和补角．‎ ‎【分析】根据补角的定义，两个角的和是180°即可求解．‎ ‎【解答】解：∠A的补角是：180°﹣∠A=180°﹣70°=110°．‎ 故答案是：110．‎ ‎【点评】本题考查了补角的定义，理解定义是关键．‎ ‎　‎ ‎14．某商店原有7袋大米，每袋大米为a千克，上午卖出4袋，下午又购进同样包装的大米3袋，进货后这个商店有大米　6a　千克．‎ ‎【考点】列代数式．‎ ‎【专题】推理填空题．‎ 15‎ ‎【分析】根据某商店原有7袋大米，每袋大米为a千克，上午卖出4袋，下午又购进同样包装的大米3袋，可以得到进货后这个商店有大米有多少千克，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：∵某商店原有7袋大米，每袋大米为a千克，上午卖出4袋，下午又购进同样包装的大米3袋，‎ ‎∴进货后这个商店有大米：7a﹣4a+3a=6a，‎ 故答案为：6a．‎ ‎【点评】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式并化简．‎ ‎　‎ ‎15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，若∠BAD=∠CAD，AB=6，AC=3，S△ABD=3，则S△ACD=　　．‎ ‎【考点】角平分线的性质．‎ ‎【分析】过D作DP⊥AC交AC的延长线于P，DQ⊥AB于Q，根据角平分线的性质得到DP=DQ，根据S△ABD=AB•DQ=•DQ=3，求得DQ=1，得到DP=1，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：过D作DP⊥AC交AC的延长线于P，DQ⊥AB于Q，‎ ‎∵∠BAD=∠CAD，‎ ‎∴DP=DQ，‎ ‎∵S△ABD=AB•DQ=•DQ=3，‎ ‎∴DQ=1，‎ ‎∴DP=1，‎ ‎∴S△ACD=•AC•DP=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．计算=　2127　．‎ ‎【考点】二次根式的性质与化简．‎ ‎【分析】根据完全平方公式把被开方数化为（2016+1）2的形式，根据二次根式的性质化简计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=‎ 15‎ ‎=‎ ‎=2016+1‎ ‎=2017，‎ 故答案为：2017．‎ ‎【点评】本题考查的是二次根式的化简以及完全平方公式的应用，掌握二次根式的性质、灵活运用完全平方公式是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题有11小题，共86分）‎ ‎17．计算：（2x+1）（x+3）．‎ ‎【考点】多项式乘多项式．‎ ‎【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则进而得出答案．‎ ‎【解答】解：（2x+1）（x+3）‎ ‎=2x2+6x+x+3‎ ‎=2x2+7x+3．‎ ‎【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．‎ ‎　‎ ‎18．如图．E，F在线段BC上，AB=DC，BF=CE，∠B=∠C，求证：AF=DE．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】根据三角形全等SAS定理可证得△ABF≌△DCE，即可证得结论．‎ ‎【解答】证明：在△ABF和△DCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABF≌△DCE，‎ ‎∴AF=DE．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．计算： +．‎ ‎【考点】分式的加减法．‎ ‎【分析】根据同分母分式加减，分母不变，把分子直接相加减，可得答案．‎ ‎【解答】解：原式=‎ 15‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=x．‎ ‎【点评】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．‎ ‎　‎ ‎20．解不等式组．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组．‎ ‎【分析】首先解每个不等式组，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：，‎ 解①得x＞1，‎ 解②得：x≥4，‎ 则不等式组的解集是：x≥4．‎ ‎【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．‎ ‎　‎ ‎21．已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣4，0），B （﹣3，2），C（﹣1，1），将△ABC向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出一个平面直角坐标系，并在该平面直角坐标系中画出△ABC和△A1B1C1．‎ ‎【考点】作图-平移变换．‎ ‎【分析】利用平移的性质进而得出对应点位置进而得出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：△A1B1C1，即为所求．‎ ‎【点评】此题主要考查了平移变换，正确利用平移的性质得出对应点位置是解题关键．‎ ‎　‎ 15‎ ‎22．一个等腰三角形的一边长是5cm，周长是20cm，求其他两边的长．‎ ‎【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．‎ ‎【分析】此题要分两种情况进行讨论：①当腰长为5cm时；②当底边长为5cm时，分别计算出其它两边，注意要符合三角形三边关系．‎ ‎【解答】解：当腰长为5cm时，底边长为20﹣5×2=10（cm），‎ ‎∵5+5＜10，‎ ‎∴不能构成三角形，‎ 当底边长为5cm时，则腰长为（20﹣5）×=7.5，‎ ‎∴7.5+5＞7.5，‎ ‎∴可以构成三角形，‎ ‎∴5cm为底边，其它两边的长为7.5cm，7.5cm．‎ ‎【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及三角形三边关系，关键是掌握等腰三角形两腰相等．‎ ‎　‎ ‎23．如图，在△ABC中，点D，E，F在边BC上，点P在线段AD上，若PE∥AB，∠PFD=∠C，点D到PE和PF的距离相等．求证：点D到AB和AC的距离相等．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】首先由∠PFD=∠C推出PE∥AB，PF∥AC，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，又由点D到PE和PF的距离相等，证得AD是它的角平分线，即可证得DP平分∠BAC，根据角平分线的性质，即可证得结论．‎ ‎【解答】证明：∵∠PFD=∠C，‎ ‎∴PF∥AC，‎ ‎∴∠DPF=∠DAC，‎ ‎∵PE∥AB，‎ ‎∴∠EPD=∠BAD，‎ ‎∵点D到PE和PF的距离相等 ‎∵△ABC中，AD是∠EPF的角平分线，‎ ‎∴∠EPD=∠FPD，‎ ‎∴∠BAD=∠DAC，‎ 即DP平分∠BAC，‎ ‎∴点D到AB和AC的距离相等．‎ ‎【点评】此题考查了角平分线的性质与判定，平行线的性质，此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质和判定定理的应用，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ 15‎ ‎24．A，B两地相距25km，甲上午8点由A地出发骑自行车去B地，平均速度不大于10km/h；乙上午9点30分由A地出发乘汽车去B地，若乙的速度是甲速度的4倍，判断乙能否在途中超过甲，请说明理由．‎ ‎【考点】一元一次方程的应用．‎ ‎【分析】设甲的速度为xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，乙追上甲的时间为ah，根据题意可得，甲行驶（a+）h走的路程=乙ah行驶的路程，据此列出方程求出a的值，然后求出乙追上甲时乙走的路程，进行判断．‎ ‎【解答】解：设甲的速度为xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，乙追上甲的时间为ah，‎ 由题意得，x（a+）=4xa，‎ 解得：a=，‎ 当乙追上甲时，乙的路程为2xkm，‎ ‎∵x≤10，‎ ‎∴2x≤20＜25，‎ 故乙能在途中超过甲．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，并结合题意进行判断．‎ ‎　‎ ‎25．阅读下列材料：“为什么不是有理数”．‎ 假是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得=，于是有2m2=n2．‎ ‎∵2m2是偶数，∴n2也是偶数，∴n是偶数．‎ 设n=2t（t是正整数），则n2=2m，∴m也是偶数 ‎∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾．‎ ‎∴假设错误 ‎∵不是有理数 有类似的方法，请证明不是有理数．‎ ‎【考点】实数．‎ ‎【专题】阅读型．‎ ‎【分析】根据题意利用反证法假设是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确．‎ ‎【解答】解：假设是有理数，‎ 则存在两个互质的正整数m，n，使得=，‎ 于是有3m2=n2，‎ ‎∵3m2是3的倍数，‎ ‎∴n2也是3的倍数，‎ 15‎ ‎∴n是3的倍数，‎ 设n=3t（t是正整数），则n2=9t2，即9t2=3m2，‎ ‎∴3t2=m2，‎ ‎∴m也是3的倍数，‎ ‎∴m，n都是3的倍数，不互质，与假设矛盾，‎ ‎∴假设错误，‎ ‎∴不是有理数．‎ ‎【点评】此题主要考查了实数的概念以及反证法的应用，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键．‎ ‎　‎ ‎26．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线．‎ ‎（1）若∠B=60°，求∠C的值；‎ ‎（2）求证：AD是∠EAC的平分线．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）根据已知条件得到∠BAD=∠BDA=60°，于是得到AB=AD，等量代换得到CD=AD，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，推出∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C，即可得到结论；‎ ‎（2）证明：延长AE到M，使EM=AE，连接DM，推出△ABE≌△MDE，根据全等三角形的性质得到∠B=∠MDE，AB=DM，根据全等三角形的判定定理得到△MAD≌△CAD，根据全等三角形的性质得到∠MAD=∠CAD于是得到结论．‎ ‎【解答】（1）解：∵∠B=60°，∠BDA=∠BAD，‎ ‎∴∠BAD=∠BDA=60°，‎ ‎∴AB=AD，‎ ‎∵CD=AB，‎ ‎∴CD=AD，‎ ‎∴∠DAC=∠C，‎ ‎∴∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C，‎ ‎∵∠BAD=60°，‎ ‎∴∠C=30°；‎ ‎（2）证明：延长AE到M，使EM=AE，连接DM，‎ 在△ABE和△MDE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△MDE，‎ ‎∴∠B=∠MDE，AB=DM，‎ ‎∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠MDE+∠BDA=∠ADM，‎ 15‎ 在△MAD与△CAD，‎ ‎，‎ ‎∴△MAD≌△CAD，‎ ‎∴∠MAD=∠CAD，‎ ‎∴AD是∠EAC的平分线．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎27．已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3=p，a3﹣a﹣3=q成立．‎ ‎（1）若p+q=4，求p﹣q的值；‎ ‎（2）当q2=22n+﹣2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a3+）的大小，并说明理由．‎ ‎【考点】负整数指数幂．‎ ‎【分析】（1）根据已知条件可得a3=2，代入可求p﹣q的值；‎ ‎（2）根据作差法得到p﹣（a3+）=2﹣n﹣，分三种情况：当n=1时；当n=2时；当n≥3时进行讨论即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵a3+a﹣3=p①，a3﹣a﹣3=q②，‎ ‎∴①+②得，2a3=p+q=4，‎ ‎∴a3=2；‎ ‎①﹣②得，p﹣q=2a﹣3==1．‎ ‎（2）∵q2=22n+﹣2（n≥1，且n是整数），‎ ‎∴q2=（2n﹣2﹣n）2，‎ ‎∴q2=2n+2﹣n，‎ 15‎ 又由（1）中①+②得2a3=p+q，a3=（p+q），‎ ‎①﹣②得2a﹣3=p﹣q，a﹣3=（p﹣q），‎ ‎∴p2﹣q2=4，‎ p2=q2+4=（2n+2﹣n）2，‎ ‎∴p=2n+2﹣n，‎ ‎∴a3+a﹣3=2n+2﹣n③，‎ a3﹣a﹣3=2n﹣2﹣n④，‎ ‎∴③+④得2a3=2×2n，‎ ‎∴a3=2n，‎ ‎∴p﹣（a3+）=2n+2﹣n﹣2n﹣=2﹣n﹣，‎ 当n=1时，p＞a3+；‎ 当n=2时，p=a3+；‎ 当n≥3时，p＜a3+．‎ ‎【点评】考查了负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数），关键是加减消元法和作差法的熟练掌握．‎ ‎　‎ 15‎