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2016年安徽省淮南市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R，集合A={y|y=+2}，B={x|x2﹣7x+12≤0}，则A∩（∁UB）（ ）
A．[2，3） B．（2，4） C．（3，4] D．（2，4]
2．复数z=3+，则|z|等于（ ）
A．3 B． C． D．4
3．设z=4x•2y中变量x，y满足条件，则z的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．已知数列{an}的前项和为Sn，点（n，Sn）在函数f（x）=（2t+1）dt的图象上，则数列{an}的通项公式为（ ）
A．an=2n B．an=n2+n+2
C．an= D．an=
5．过点（2，0）引直线l与圆x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大值时，直线l的斜率为（ ）
A． B．± C．± D．
6．将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（ ）
A．24种 B．28种 C．32种 D．16种
7．下列四个结论：
①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f（x）是周期函数，则f（x）不是三角函数”；
②命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”；
③在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的充要条件；
④当a＜0时，幂函数y=xa在区间（0，+∞）上单调递减．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．阅读如图所示的程序框图，若输入m=2016，则输出S等于（ ）
A．10072 B．10082 C．10092 D．20102
9．已知函数f（x）=sin（2x+φ）满足f（x）≤f（a）对于x∈R恒成立，则函数（ ）
A．f（x﹣a）一定是奇函数 B．f（x﹣a）一定是偶函数
C．f（x+a）一定是奇函数 D．f（x+a）一定是偶函数
10．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣a只有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]
11．已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（ ）
A．17 B． C． D．18
12．如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，，En（n∈N+）为边AC上的一列点，满足，其中实数列{an}中
an＞0，a1=1，则{an}的通项公式为（ ）
A．2•3n﹣1﹣1 B．2n﹣1 C．3n﹣2 D．3•2n﹣1﹣2
二、填空题（每题5分，满分20分）
13．函数y=x+2cosx﹣在区间[0，]上的最大值是 ．
14．设常数a＞0，（x2+）5的二项展开式中x4项的系数为40，记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2+a4=6，S4=5a，则a10= ．
15．已知tanα=﹣2，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（﹣sinαcosα，0），直线l经过点F且与抛物线交于A、B点，且|AB|=4，则线段AB的中点到直线x=﹣的距离为 ．
16．已知函数f（x）=，存在x1＜x2＜x3，f（x1）=f（x2）=f（x3），则的最大值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B0．
（Ⅰ）求B0的值；
（Ⅱ）当B=B0，a=1，c=2，D为AC的中点时，求BD的长．
18．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．
（I）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．
19．已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE．
（1）若P是BC的中点，求证：DP∥平面EAB；
（2）求平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角θ的余弦值．
20．已知点A（﹣2，0），P是⊙O：x2+y2=4上任意一点，P在x轴上的射影为Q， =2，动点G的轨迹为C，直线y=kx（k≠0）与轨迹交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N．
（1）求轨迹C的方程；
（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
21．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．
（1）a=0时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）a＜0时，求f（x）的单调区间；
（3）当﹣3＜a＜﹣2时，若存在λ1，λ2∈[1，3]，使不等式|f（λ1）﹣f（λ2）|＞（m+ln3）a﹣2ln3成立，求m的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．选做题：平面几何
已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E．
求证：（1）DE⊥AC；
（2）BD2=CE•CA．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．
（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；
（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．
2016年安徽省淮南市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R，集合A={y|y=+2}，B={x|x2﹣7x+12≤0}，则A∩（∁UB）（ ）
A．[2，3） B．（2，4） C．（3，4] D．（2，4]
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据集合的定义，先化简集合A、B，求出∁UB，再计算A∩（∁UB）．
【解答】解：∵全集U=R，集合A={y|y=+2}={y|2≤y≤4}=[2，4]，
B={x|x2﹣7x+12≤0}={x|3≤x≤4}=[3，4]，
∴∁UB=（﹣∞，3）∪（4，+∞），
∴A∩（∁UB）=[2，3）．
故选：A．
2．复数z=3+，则|z|等于（ ）
A．3 B． C． D．4
【考点】复数求模．
【分析】利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．
【解答】解：复数z=3+=3+=3+=3+i，
则|z|==．
故选：B
3．设z=4x•2y中变量x，y满足条件，则z的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【考点】简单线性规划．
【分析】作出可行域，z=22x+y，令m=2x+y，根据可行域判断m的最小值，得出z的最小值．
【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：
由z=4x•2y得z=22x+y，
令m=2x+y，则y=﹣2x+m．
由可行域可知当直线y=﹣2x+m经过点B时截距最小，即m最小．
解方程组得B（1，1）．
∴m的最小值为2×1+1=3．
∴z的最小值为23=8．
故选：C．
4．已知数列{an}的前项和为Sn，点（n，Sn）在函数f（x）=（2t+1）dt的图象上，则数列{an}的通项公式为（ ）
A．an=2n B．an=n2+n+2
C．an= D．an=
【考点】数列递推式．
【分析】通过牛顿﹣莱布尼茨公式代入计算可知Sn=n2+n﹣2，当n≥2时利用an=Sn﹣Sn﹣1计算，进而可得结论．
【解答】解：∵f（x）=（2t+1）dt=（t2+t）=x2+x﹣2，
∴Sn=n2+n﹣2，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1
=（n2+n﹣2）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）﹣2]
=2n，
又∵a1=S1=1+1﹣2=0不满足上式，
∴an=，
故选：D．
5．过点（2，0）引直线l与圆x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大值时，直线l的斜率为（ ）
A． B．± C．± D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，由此能求出直线l的斜率．
【解答】解：当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，
∵圆x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，
∴圆心O（0，0），半径r=，
∴OA=OB=，AB==2，
∴圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，不合题意；
当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x﹣2），
圆心（0，0）到直线l的距离d==1，
解得k=．
故选：C．
6．将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（ ）
A．24种 B．28种 C．32种 D．16种
【考点】计数原理的应用．
【分析】分二类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理可得
【解答】解：第一类，每位同学各分1本小说，再把1本诗集全部分给4名同学任意一个，共有4种方法，
第二类，这本诗集单独分给其中一位同学，4相同的小说，分给另外3个同学，共有C41C31=12种，
根据分类计数原理，共有4+12=16种，
故选：D．
7．下列四个结论：
①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f（x）是周期函数，则f（x）不是三角函数”；
②命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”；
③在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的充要条件；
④当a＜0时，幂函数y=xa在区间（0，+∞）上单调递减．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．
【分析】①利用否命题的定义即可判断出正误；
②利用命题的否定即可判断出正误；
③在△ABC中，由正弦定理可得：，可得“sinA＞sinB”⇔a＞b，进而判断出正误；
④利用幂函数的单调性即可得出．
【解答】解：①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f（x）不是周期函数，则f（x）不是三角函数”，因此不正确；
②命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，正确；
③在△ABC中，由正弦定理可得：，因此“sinA＞sinB”⇔a＞b⇔“A＞B”，正确；
④当a＜0时，幂函数y=xa在区间（0，+∞）上单调递减，正确．
其中正确命题的个数是3．
故选：C．
8．阅读如图所示的程序框图，若输入m=2016，则输出S等于（ ）
A．10072 B．10082 C．10092 D．20102
【考点】循环结构．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体，S=1，不满足退出循环的条件，i=3；
第二次执行循环体，S=4，不满足退出循环的条件，i=5；
第三次执行循环体，S=9，不满足退出循环的条件，i=7；
…
第n次执行循环体，S=n2，不满足退出循环的条件，i=2n+1；
…
第1008次执行循环体，S=10082，不满足退出循环的条件，i=2017；
第1009次执行循环体，S=10092，满足退出循环的条件，
故输出的S值为：10092，
故选：C
9．已知函数f（x）=sin（2x+φ）满足f（x）≤f（a）对于x∈R恒成立，则函数（ ）
A．f（x﹣a）一定是奇函数 B．f（x﹣a）一定是偶函数
C．f（x+a）一定是奇函数 D．f（x+a）一定是偶函数
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】先确定f（a）的值，再由正弦函数的性质可得到a，φ的关系式，然后代入到f（x+a）根据诱导公式进行化简，对选项进行验证即可．
【解答】解：由题意可知sin（2a+φ）=1
∴2a+φ=2kπ+∴f（x+a）=sin（2x+2a+φ）=sin（2x+2kπ+）=cos2x．
故选D
10．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣a只有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】g（x）=f（x）﹣x﹣a只有一个零点可化为函数f（x）与函数y=x+a有一个交点，作函数f（x）=与函数y=x+a的图象，结合图象可直接得到答案．
【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣x﹣a只有一个零点，
∴函数y=f（x）与函数y=x+a有一个交点，
作函数f（x）=与函数y=x+a的图象如下，
结合图象可知，
a≥1；
故选：B．
11．已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（ ）
A．17 B． C． D．18
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，分别求出相应的体积，相减可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，
棱台的上下底面的棱长为2和4，
故棱台的上下底面的面积为4和16，
侧高为，故棱台的高h==2，
故棱台的体积为： =，
棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为2，高为2，
故棱锥的体积为：×2×2=，
故组合体的体积V=﹣=，
故选：B
12．如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，，En（n∈N+）为边AC上的一列点，满足，其中实数列{an}中
an＞0，a1=1，则{an}的通项公式为（ ）
A．2•3n﹣1﹣1 B．2n﹣1 C．3n﹣2 D．3•2n﹣1﹣2
【考点】数列与向量的综合；数列递推式；数列与解析几何的综合．
【分析】利用，可得=+，设m=，利用，可得=an+1， m=﹣（3an+2），即an+1=﹣（3an+2），证明{an+1}是以2为首项，3为公比的等比数列，即可得出结论．
【解答】解：因为，
所以=+，
设m=，则
因为，
所以=an+1， m=﹣（3an+2），
所以an+1=﹣（3an+2），
所以an+1+1=3（an+1），
因为a1+1=2，
所以{an+1}是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以an+1=2•3n﹣1，
所以an=2•3n﹣1﹣1．
故选：A．
二、填空题（每题5分，满分20分）
13．函数y=x+2cosx﹣在区间[0，]上的最大值是 ．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的值域；函数单调性的性质．
【分析】可先利用导数判断函数的单调性，再利用单调性求最值．
【解答】解：y′=1﹣2sinx=0，在区间[0，]上得x=
故y=x+2cosx﹣在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，
∴x=时，函数y=x+2cosx﹣在区间[0，]上的最大值是，
故答案为：．
14．设常数a＞0，（x2+）5的二项展开式中x4项的系数为40，记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2+a4=6，S4=5a，则a10= ﹣5 ．
【考点】二项式定理．
【分析】由条件利用二项式定理，二项展开式的通项公式，求得 a=2．再由条件利用等差数列的性质，求得 a3和a2 的值，可得a10的值．
【解答】解：设常数a＞0，（x2+）5的二项展开式中的通项公式为Tr+1=•ar•x10﹣3r，
令10﹣3r=4，求得r=2，可得x4项的系数为•a2=40，∴a=2．
记等差数列{an}的前n项和为Sn，∵已知a2+a4=2a3=6，∴a3=2．
∵S4=5a=10==，∴a2=3∴d=a3﹣a2=2﹣3=﹣1，
则a10=a3+7d=2+7（﹣1）=﹣5，
故答案为：﹣5．
15．已知tanα=﹣2，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（﹣sinαcosα，0），直线l经过点F且与抛物线交于A、B点，且|AB|=4，则线段AB的中点到直线x=﹣的距离为 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用tanα=﹣2，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（﹣sinαcosα，0），求出p，利用直线l经过点F且与抛物线交于A、B点，且|AB|=4，可得x1+x2+=4，即x1+x2=，从而求出线段AB的中点到直线x=﹣的距离．
【解答】解：∵tanα=﹣2，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（﹣sinαcosα，0），
∴F（，0），
∴p=，
∵直线l经过点F且与抛物线交于A、B点，且|AB|=4，
∴x1+x2+=4，
∴x1+x2=，
∴线段AB的中点到直线x=﹣的距离为=，
故答案为：．
16．已知函数f（x）=，存在x1＜x2＜x3，f（x1）=f（x2）=f（x3），则的最大值为 ．
【考点】分段函数的应用．
【分析】先确定1＜x2＜e3，再令y=，求出函数的最大值，即可得出结论．
【解答】解：由题意，0＜lnx2＜3，∴1＜x2＜e3，
又=，故令y=，则y′=，
∴x∈（1，e），y′＞0，x∈（e，e3），y′＜0，
∴函数在（1，e）上单调递增，在（e，e3）上单调递减，
∴x=e时，函数取得最大值，
∴的最大值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B0．
（Ⅰ）求B0的值；
（Ⅱ）当B=B0，a=1，c=2，D为AC的中点时，求BD的长．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知结合正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理求得B0的值；
（Ⅱ）由已知结合余弦定理求得△ABC为直角三角形，再由勾股定理得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由题设及正弦定理知，2b=a+c，即．
由余弦定理知，，
∵y=cosx在（0，π）上单调递减，∴B的最大值；
（Ⅱ）∵，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=3，
得c2=a2+b2，∴，
∴，
∴．
18．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．
（I）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；
（Ⅱ）求出每件产品质量指标值落在区间[45，75）内的概率为0.6，利用题意可得：X～B（3，0.6），根据概率分布知识求解即可．
【解答】解：（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和为1﹣0.04﹣0.12﹣0.19﹣0.3=0.35，
∵质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1，
∴这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05；
（Ⅱ）根据样本频率分布直方图，每件产品质量指标值落在区间[45，75）内的概率为0.6，
由题意可得：X～B（3，0.6）
∴X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
∴EX=0.288+2×0.432+3×0.216=1.8
19．已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE．
（1）若P是BC的中点，求证：DP∥平面EAB；
（2）求平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角θ的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）设AB=a，取AC的中点O，连接EO，OP，以射线OP，OC，OE分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DP∥平面EAB．
（2）求出平面EBD的法向量和平面ACDE的一个法向量，由此利用向量法能求出平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角θ的余弦值．
【解答】证明：（1）设AB=a，取AC的中点O，连接EO，OP．
∵AE=AC，又∠EAC=60°，∴EO⊥AC．
又平面ABC⊥平面ACDE，∴EO⊥平面ABC，∴EO⊥OP，
又OP∥AB，AB⊥AC，所以OP⊥AC．
以射线OP，OC，OE分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则C（0，，0），A（0，﹣，0），E（0，0， a），D（0，， a），B（a，﹣，0）．
则P（，0，0），
设平面EAB的法向量为=（x0，y0，z0），=（a，0，0），=（0，， a），
∴•=0， •=0，
即，令z0=1，得y0=﹣，又x0=0，
∴=（0，﹣，1）．
∴•=（0，﹣，1）•（，﹣，﹣a）=0，
∴DP∥平面EAB．…
解：（2）设平面EBD的法向量为=（x1，y1，z1），
平面ACDE的一个法向量为=（1，0，0）．
=（a，﹣，﹣），=（0，，0），
则，即
令z1=1，则x1=，y1=0， =（，0，1）．
∴cos θ==．
∴平面EBD与平面ACDE所成的锐二面角θ的余弦值为．…
20．已知点A（﹣2，0），P是⊙O：x2+y2=4上任意一点，P在x轴上的射影为Q， =2，动点G的轨迹为C，直线y=kx（k≠0）与轨迹交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N．
（1）求轨迹C的方程；
（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）设G（x，y），由题意得P（x，2y），把P点坐标代入已知圆的方程可得轨迹C的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，求得E，F的坐标，得到直线AE与AF的方程，求出MN的中点坐标及|MN|，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过两定点P1（1，0），P2（﹣1，0）．
【解答】解：（1）如图，设G（x，y），∴Q（x，0），
∵，∴P（x，2y），
∵P在⊙O：x2+y2=4上，∴x2+4y2=4．
∴轨迹C的方程为；
（2）∵点A的坐标为（﹣2，0），直线y=kx（k≠0）与轨迹C交于两点E，F，
设点E（x0，y0）（不妨设x0＞0），则点F（﹣x0，﹣y0）．
联立方程组，消去y得．
∴，则．
∴直线AE的方程为．
∵直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，
令x=0，得，即点．
同理可得点．
∴．
设MN的中点为P，则点P的坐标为．
则以MN为直径的圆的方程为=，
即．
令y=0，得x2=1，即x=1或x=﹣1．
故以MN为直径的圆经过两定点P1（1，0），P2（﹣1，0）．
21．已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R）．
（1）a=0时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）a＜0时，求f（x）的单调区间；
（3）当﹣3＜a＜﹣2时，若存在λ1，λ2∈[1，3]，使不等式|f（λ1）﹣f（λ2）|＞（m+ln3）a﹣2ln3成立，求m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）当a=0，写出f（x）的解析式，求导，令f′（x）=0，求得x的值，f′（x）＞0，函数单调递增，f′（x）＜0，函数单调递减，即可求得函数的极值；
（2）求导，化简整理，讨论a的取值范围，求得f（x）的单调区间；
（3）﹣3＜a＜﹣2，f（x）在[1，3]上单调递减，x=1取最大值，x=3取最小值，|f（λ1）﹣f（λ2）|≤f（1）﹣f（3），|f（λ1）﹣f（λ2）|＞（m+ln3）a﹣2ln3，将两式化简整理ma＞﹣4a，根据a的取值范围，求得m的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a∈R），（x＞0）．
a=0时，，
令f'（x）=0，解得，
当时，f′（x）＜0，
当时，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是；
所以f（x）的极小值是，无极大值；…
（2）==，
①当a＜﹣2时，，令f′（x）＜0，解得：，或
令f′（x）＞0，解得：，
∴当a＜﹣2时，f（x）的单调递减区间是，，单调递增区间是；
②当a=﹣2时，，f'（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
③当a＞﹣2时，，令f'（x）＜0，解得：，或，
令f′（x）＞0，解得：，
∴当﹣2＜a＜0时，f（x）的单调递减区间是，，单调递增区间是；…
（3）由（II）知，当﹣3＜a＜﹣2时，f（x）在[1，3]上单调递减，
∴f（x）max=f（1）=2a+1，，
，
∵存在λ1，λ2∈[1，3]，使不等式|f（λ1）﹣f（λ2）|＞（m+ln3）a﹣2ln3成立，
∴|f（λ1）﹣f（λ2）|max＞（m+ln3）a﹣2ln3，即，
整理得，
∵﹣3＜a＜﹣2，
∴，
∴，
∴，m的取值范围是．…
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．选做题：平面几何
已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E．
求证：（1）DE⊥AC；
（2）BD2=CE•CA．
【考点】圆周角定理；直角三角形的射影定理．
【分析】（1）连接OD、AD，由DE是⊙O的切线可 知OD⊥DE，由AD⊥BC，AB=AC，可得BD=DC，从而可证
（2）AD⊥BC，DE⊥AC，在Rt△ABD中，由射影定理得CD2=CE•CA可证
【解答】证明：（1）连接OD、AD．
∵DE是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DE．
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC．又AB=AC，
∴BD=DC．
∴OD∥AC，DE⊥AC．
（2）∵AD⊥BC，DE⊥AC，
在Rt△ACD中，由射影定理得CD2=CE•CA．
又BD=DC．
∴BD2=CE•CA．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
【考点】圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．
【分析】（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．
（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．
【解答】解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，
联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）
所以|AB|==1；
（II）曲线C2：（θ为参数）．
设所求的点为P（cosθ， sinθ），
则P到直线l的距离d== [sin（）+2]
当sin（）=﹣1时，d取得最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．
（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；
（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（I）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式的解集．
（Ⅱ）由题意可得b大于f（x）的最大值．再根据绝对值的意义可得f（x）的最大值为+，可得实数b的范围．
【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）≥，即|x+1|﹣|x|≥，
即数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离大于，
而﹣0.25对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离正好等于，
故|x+1|﹣|x|≥的解集为{x|x≥﹣0.25}．
（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，即 f（x）＜b恒成立，
则b大于f（x）的最大值．
函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到对应点的距离，
故f（x）的最大值为+，故实数b＞+．
2016年8月19日
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