2016年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|x2≥9}，N={﹣3，0，1，3，4}，则M∩N=（ ）
A．{﹣3，0，1，3，4} B．{﹣3，3，4} C．{1，3，4} D．{x|x≥±2}
2．已知=（5，4），=（﹣2，﹣1），=（x，y），若﹣2+3=，则等于（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）
3．复数的的共轭复数是（ ）
A．﹣i B．i C．2 D．1
4．“sinα＞0”是“α为锐角”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．程序框图如图，如果程序运行的结果为s=132，那么判断框中可填入（ ）
A．k≤10 B．k≥10 C．k≤11 D．k≥11
6．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（ ）
A． B． C． D．
7．若x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（ ）
A．3 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
8．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”． 这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（ ）盏灯．
A．2 B．3 C．5 D．6
9．函数y=的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，]，则f（x）的取值范围是（ ）
A．[﹣3，3] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，3]
11．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.2]=﹣2，[1.2]=1，[1]=1，若直线y=kx+k（k＞0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上.
13．将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 ．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosB+bcosA=2ccosC，则角C= ．
15．若点A（a，b）（a＞0，b＞0）在直线2x+y﹣1=0上，则+的最小值是 ．
16．设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）
17．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5月的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如表资料：
日期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
昼夜温差（．C）
10
11
13
12
8
发芽数（颗）
23
25
30
26
16
（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率
（2）请根据3月2日至3月4日的三组数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试用3月1日与3月5日的两组数据检验，问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：或=， =﹣b）
18．已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
19．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2，N为线段PB的中点．
（1）证明：NE⊥PD；
（2）求四棱锥B﹣CEPD的体积．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，当时，求直线斜率的取值范围．
21．已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx（a∈R）．
（1）若a=1，求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）函数g（x）=（1﹣a）x，若∃x0∈[1，e]使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，点A、B、D、E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE=EB=BC．
（1）证明： =；
（2）若DE=4，AD=8，求DF的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若点D在曲线C上，求它到直线l：（t为参数，t∈R）的最短距离．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|2x﹣1|．
（1）当a=2时，求f（x）+3≥0的解集；
（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．
2016年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={x|x2≥9}，N={﹣3，0，1，3，4}，则M∩N=（ ）
A．{﹣3，0，1，3，4} B．{﹣3，3，4} C．{1，3，4} D．{x|x≥±2}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：M={x|x2≥9}={x|x≥3或x≤﹣3}，
∵N={﹣3，0，1，3，4}，
∴M∩N={﹣3，3，4}，
故选：B．
2．已知=（5，4），=（﹣2，﹣1），=（x，y），若﹣2+3=，则等于（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】根据平面向量的坐标运算与向量相等，列出方程组求出x、y的值即可．
【解答】解：∵=（5，4），=（﹣2，﹣1），=（x，y），
且﹣2+3=，
∴（9+3x，6+3y）=（0，0），
即，
解得；
∴=（﹣3，﹣2）．
故选：D．
3．复数的的共轭复数是（ ）
A．﹣i B．i C．2 D．1
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：复数的===i的共轭复数是﹣i．
故选：A．
4．“sinα＞0”是“α为锐角”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】“α为锐角”，则α为第一象限角，反之α可为第一象限角，但α不一定为锐角，故可判断．
【解答】解：若“α为锐角”，则α为第一象限角，所以“sinα＞0”，成立，
反之，若“sinα＞0”，则α可为第一象限角，但α不一定为锐角，
故“sinα＞0”是“α为锐角”的必要不充分条件．
故选C．
5．程序框图如图，如果程序运行的结果为s=132，那么判断框中可填入（ ）
A．k≤10 B．k≥10 C．k≤11 D．k≥11
【考点】程序框图．
【分析】程序框图的功能是求S=1×12×11×…，由程序运行的结果为S=132，得终止程序时，k=10，从而求出判断框的条件．
【解答】解：由题意知，程序框图的功能是求S=1×12×11×…，
∵程序运行的结果为S=132，
∴终止程序时，k=10，
∴不满足判断框的条件是k≥11，退出循环．
故选：D．
6．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h即可．
【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，
所以四棱锥的体积为：，所以h=．
故选B．
7．若x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（ ）
A．3 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
【考点】简单线性规划．
【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象，从而求出z的最小值即可．
【解答】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：
，
由z=3x﹣y得到y=3x﹣z，
显然直线过A（﹣1，0）时，z最小，
z的最小值是﹣3，
故选：C．
8．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”． 这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（ ）盏灯．
A．2 B．3 C．5 D．6
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．
【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数
构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，
∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，
∴顶层有3盏灯，
故选：B．
9．函数y=的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的单调性；对数函数的图象与性质．
【分析】函数为奇函数，首先作出函数y=在区间[0，+∞）上的图象，由于函数图象关于原点对称，得出图象．
【解答】解：由于=，
∴函数y=是奇函数，其图象关于原点对称．
又y′=，由y′=0得x=
当0＜x＜时，y′＞0，当x＞时，y′＜0，
∴原函数在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，
首先作出函数y=在区间（0，+∞）上的图象，由于此函数为奇函数，所以在（﹣∞，0）上的图象与函数在[0，+∝）上的图象关于原点对称．
故选C．
10．已知函数f（x）=3sin（ωx﹣）（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，]，则f（x）的取值范围是（ ）
A．[﹣3，3] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，3]
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】先根据函数f（x）=3sin（ωx﹣）和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同确定ω的值，再由x的范围确定ωx﹣的范围，最后根据正弦函数的图象和性质可得到答案
【解答】解：由题意可得ω=2，∵x∈[0，]，∴ωx﹣=2x﹣∈[﹣，]，
由三角函数图象知：
f（x）的最小值为3sin（﹣）=﹣，最大值为3sin=3，
所以f（x）的取值范围是[﹣，3]，
故选：D
11．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，推导出∠F1PF2=90°．再由|PF1|=2|PF2|，知|PF1|=4a，|PF2|=2a，由此求出c=a，从而得到双曲线的离心率．
【解答】解：∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，
∴点P到原点的距离|PO|=，
∴∠F1PF2=90°，
∵|PF1|=2|PF2|，
∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，
∴16a2+4a2=4c2，
∴c=a，
∴．
故选A．
12．设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.2]=﹣2，[1.2]=1，[1]=1，若直线y=kx+k（k＞0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】画图可知f（x）就是周期为1的函数，且在[0，1）上是一直线y=x的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，要有三解，只需直线y=kx+k过点（3，1）与直线y=kx+k过点（2，1）之间即可．
【解答】解：∵函数，∴函数的图象如下图所示：
∵y=kx+k=k（x+1），故函数图象一定过（﹣1，0）点
若f（x）=kx+k有三个不同的根，则y=kx+k与y=f（x）的图象有三个交点
当y=kx+k过（2，1）点时，k=，当y=kx+k过（3，1）点时，k=，
故f（x）=kx+k有三个不同的根，则实数k的取值范围是
故选D
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上.
13．将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 15 ．
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可．
【解答】解：样本间距为36÷4=9，
则另外一个编号为6+9=15，
故答案为：15．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosB+bcosA=2ccosC，则角C= ．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】由题意和正余弦定理及和差角的三角函数公式，易得cosC，由三角形内角的范围可得．
【解答】解：∵在△ABC中acosB+bcosA=2ccosC，
∴由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
∴sin（A+B）=2sinCcosC，∴sinC=2sinCcosC，
约掉sinC可得cosC=，
由三角形内角的范围可得角C=，
故答案为：．
15．若点A（a，b）（a＞0，b＞0）在直线2x+y﹣1=0上，则+的最小值是 8 ．
【考点】基本不等式．
【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
【解答】解：若点A（a，b）（a＞0，b＞0）在直线2x+y﹣1=0上，
则2a+b=1，
则（+）（2a+b）=4++≥4+2=8，
当且仅当=即b=2a=时“=”成立，
故答案为：8．
16．设函数f（x）=若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围 或a≥2 ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．
【解答】解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），
若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以≤a＜1，
若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，
综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2
故答案为：或a≥2．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）
17．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5月的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如表资料：
日期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
昼夜温差（．C）
10
11
13
12
8
发芽数（颗）
23
25
30
26
16
（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率
（2）请根据3月2日至3月4日的三组数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试用3月1日与3月5日的两组数据检验，问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：或=， =﹣b）
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）分别求出5天中选出2天的基本事件个数和所选2天发芽数均不小于25的基本事件个数，使用古典概型的概率计算公式求出概率；
（2）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（3）利用所得的回归方程检验1日和5日的数据误差是否不超过2．
【解答】解：（1）从5天中任选2天，共有个基本事件，
选出的二天种子发芽数均不小于25共有=3个基本事件，
∴事件“m，n均不小于25”的概率为P=．
（2），．
=（﹣1）×（﹣2）+1×3+0×（﹣1）=5．
=（﹣1）2+12+0=2．
∴=， =27﹣=﹣3．
∴y关于x的线性回归方程=．
（3）当x=10时， ==22，23﹣22＜2．
当x=8时， ==17，17﹣16＜2．
∴回归方程=是可靠的．
18．已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】（Ⅰ）设出数列{an}的公比和数列{bn}的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q，d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；
（Ⅱ）由题意得到，然后利用错位相减法求得数列{cn}的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意，q＞0，
由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．
∵q＞0，解得q=2，∴d=2，
∴数列{an}的通项公式为，n∈N*；
数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有，
设{cn}的前n项和为Sn，则
，
，
两式作差得： =2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n﹣3）×2n﹣3．
∴．
19．如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2，N为线段PB的中点．
（1）证明：NE⊥PD；
（2）求四棱锥B﹣CEPD的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱锥的结构特征．
【分析】（1）连接AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连接NF，利用正方形的性质、三角形的中位线定理可得NF∥PD，且，再利用已知可得四边形NFCE为平行四边形，利用PD⊥平面ABCD，即可证明．
（2）利用线面面面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥平面PDCE．因此BC是四棱锥B﹣PDCE的高．利用四棱锥B﹣PDCE的体积=VB﹣PDCE=即可得出．
【解答】（1）证明：连接AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连接NF，
∵N为线段PB的中点，
∴NF∥PD，且，
又EC∥PD，且，
∴NF∥EC，且NF=EC，
∴四边形NFCE为平行四边形，
∴NE∥FC，即NE∥NC．
又∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵NE∥AC，
∴NE⊥PD．
（2）解：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDCE，
∴平面PDCE⊥平面ABCD．
∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，
∴BC⊥平面PDCE．
∴BC是四棱锥B﹣PDCE的高．
∵S梯形PDCE===3，
∴四棱锥B﹣PDCE的体积=VB﹣PDCE===2．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，当时，求直线斜率的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和直线和圆相切的条件：d=r，可得b=1，结合a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设过点M（2，0）的直线为y=k（x﹣2），代入椭圆方程x2+2y2=2，可得x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公式，化简整理解不等式即可得到所求直线的斜率的范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，
以x2+y2=b2的圆与直线x﹣y+=0相切，可得
=b，即b=1，
即为a2﹣c2=1，
解得a=，b=1，
即有椭圆方程为+y2=1；
（Ⅱ）设过点M（2，0）的直线为y=k（x﹣2），
代入椭圆方程x2+2y2=2，可得
（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，
可得△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，
即为﹣＜k＜，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
即有x1+x2=，x1x2=，
由弦长公式可得|AB|=•
=•=，
由题意可得＜，
化简可得56k4+38k2﹣13＞0，
解得k2＞，即有k＞或k＜﹣，
综上可得直线的斜率的范围是（，）∪（﹣，﹣）．
21．已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx（a∈R）．
（1）若a=1，求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）函数g（x）=（1﹣a）x，若∃x0∈[1，e]使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出导函数，确定f′（1）=0，即可求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）令f′（x）=0得x=或x=a，利用f（x）在区间[1，2]上是单调函数，即可求实数a的取值范围；
（3）将恒成立的不等式变形，分离出a，构造函数，求出函数的单调性，求出最大值令a小于等于最大值即可．
【解答】解：（1）a=1，f（x）=x2﹣3x+lnx，∴f′（x）=2x﹣3+，f（1）=﹣2，
∴f′（1）=0，
∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0；
（2）f′（x）=
令f′（x）=0得x=或x=a．
∵f（x）在区间[1，2]上是单调函数，
∴a≥2或a≤1；
（3）令x2﹣（a+2）x+alnx≥0在[1，e]上有解．
即x2﹣2x≥a（x﹣lnx），由于x﹣lnx在[1，e]上为正数
∴问题转化为a≤在[1，e]上有解
令h（x）=，下求此函数在[1，e]的最大值
由于h′（x）=＞0成立，∴h（x）=在[1，e]上是增函数，
∴
故实数a的取值范围为a≤．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，点A、B、D、E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE=EB=BC．
（1）证明： =；
（2）若DE=4，AD=8，求DF的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）证明∠BAD=∠EAD，即可证明： =；
（2）证明△EAD∽△FED，利用比例关系求DF的长．
【解答】（1）证明：∵EB=BC
∴∠C=∠BEC
∵∠BED=∠BAD
∴∠C=∠BED=∠BAD…
∵∠EBA=∠C+∠BEC=2∠C，AE=EB
∴∠EAB=∠EBA=2∠C，
又∠C=∠BAD
∴∠EAD=∠C
∴∠BAD=∠EAD…
∴．…
（2）解：由（1）知∠EAD=∠C=∠FED，又∠EDA=∠EDA
∴△EAD∽△FED…
∴
又∵DE=4，AD=8，
∴DF=2．…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若点D在曲线C上，求它到直线l：（t为参数，t∈R）的最短距离．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）把已知极坐标方程两边同时乘以ρ，结合得答案；
（2）化直线的参数方程为普通方程，化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式求得答案．
【解答】解：（1）由ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2﹣2y=0；
（2）由直线l：，得．
化圆x2+y2﹣2y=0为x2+（y﹣1）2=1，
则圆心坐标为（0，1），
圆心到直线的距离为d=．
∴D到直线的最短距离为1．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|2x﹣1|．
（1）当a=2时，求f（x）+3≥0的解集；
（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）问题转化为解关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）根据x的范围，去掉绝对值号，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（1）当a=2时，由f（x）≥﹣3，可得|x﹣2|﹣|2x﹣1|≥﹣3，
①或②或③，
解①得；解②得；解③得x=2，
综上所述，不等式的解集为{x|﹣4≤x≤2}；
（2）若当x∈[1，3]时，f（x）≤3成立，
即|x﹣a|≤3+|2x﹣1|=2x+2，
故﹣2x﹣2≤x﹣a≤2x+2，
即：﹣3x﹣2≤﹣a≤x+2，
∴﹣x﹣2≤a≤3x+2对x∈[1，3]时成立，
∴a∈[﹣3，5]．
2016年8月20日
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