2016年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁RA）∩B=（ ）
A．（﹣2，0） B．[﹣2，0） C．∅ D．（﹣2，1）
2．已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是（ ）
A．若l∥m，m⊂α，则l∥α B．若l∥α，m⊂α，则l∥m
C．若l⊥m，l⊥α，则m⊥α D．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m
3．若“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．16 B．26 C．32 D．20+
5．已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
7．如图，三棱锥P﹣ABC，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，设PD=x，∠BPC=θ，记函数f（x）=tanθ，则下列表述正确的是（ ）
A．f（x）是关于x的增函数 B．f（x）是关于x的减函数
C．f（x）关于x先递增后递减 D．关于x先递减后递增
8．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．若2sinα﹣cosα=，则sinα= ，tan（α﹣）= ．
10．已知直线l：mx﹣y=1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为 ，动直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为 ．
11．已知等比数列{an}的公比q＞0，前n项和为Sn．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，则q= ，Sn= ．
12．设函数f（x）=，则f（f（4））= ；若f（a）=﹣1，则a= ．
13．如图，在二面角A﹣CD﹣B中，BC⊥CD，BC=CD=2，点A在直线AD上运动，满足AD⊥CD，AB=3．现将平面ADC沿着CD进行翻折，在翻折的过程中，线段AD长的取值范围是 ．
14．已知实数a，b∈R，若a2﹣ab+b2=3，则的值域为 ．
15．在△OAB中，已知||=，||=1，∠AOB=45°，若=λ+μ，且λ+2μ=2，则在上的投影的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinB﹣cosB）（sinC﹣cosC）=4cosBcosC．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若sinB=psinC，且△ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=，CD=2AB=2，∠PAD=120°．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．
18．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
（Ⅱ）若a＞﹣2，设函数h（x）=|f（x）|+g（x）在[0，2]上的最大值为t（a），求t（a）的最小值．
19．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．
20．已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an+．（n∈N*）
（Ⅰ）证明：≥1+；
（Ⅱ）求证：＜an+1＜n+1．
2016年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁RA）∩B=（ ）
A．（﹣2，0） B．[﹣2，0） C．∅ D．（﹣2，1）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由全集R及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．
【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，
∴∁RA={x|﹣2≤x≤1}，
集合BB={x|x＞2或x＜0}，
∴（∁RA）∩B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0），
故选：B．
2．已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是（ ）
A．若l∥m，m⊂α，则l∥α B．若l∥α，m⊂α，则l∥m
C．若l⊥m，l⊥α，则m⊥α D．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．
【分析】根据线面平行的判定定理三个条件一个都不能少，可判断A的真假；
根据线面平行的几何特征，及空间直线关系的分类和定义，可判断B的真假；
根据线线垂直及线面垂直的几何特征，可以判断C的真假；
根据线面垂直的性质（定义）可以判断D的真假；
【解答】解：若l∥m，m⊂α，当l⊂α，则l∥α不成立，故A错误
若l∥α，m⊂α，则l∥m或l，m异面，故B错误；
若l⊥m，l⊥α，则m⊂α或m∥α，故C错误；
若l⊥α，m⊂α，根据线面垂直的定义，线面垂直则线垂直面内任一线，可得l⊥m，故D正确
故选D
3．若“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件即可得出．
【解答】解：∵“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，如图所示，
∴a≥1，
故选：A．
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．16 B．26 C．32 D．20+
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体是三棱锥，根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可．
【解答】解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，高为4，
如图所示：
其中SC⊥平面ABC，SC=3，AB=4，BC=3，AC=5，SC=4，∴AB⊥BC，
由三垂线定理得：AB⊥BC，
S△ABC=×3×4=6，
S△SBC=×3×4=6，
S△SAC=×4×5=10，
S△SAB=×AB×SB=×4×5=10，
∴该几何体的表面积S=6+6+10+10=32．
故选：C．
5．已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由函数的周期求得ω=2，可得函数的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，
∴=π，
∴ω=2，可得：g（x）=cos2x，
∴可得：f（x）=cos（2x+）=cos[2（x+）]，
∴为了得到函数g（x）=cos2x的图象，
只要将y=f（x）的图象向右平移个单位即可．
故选：D．
6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则平面区域内必存在一个点在直线x0﹣2y0=3的下方，由图象可得m的取值范围．
【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：
交点A的坐标为（﹣m，m），
直线x0﹣2y0=3的斜率为，截距式方程为y0=x0﹣，
要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，
则点A（﹣m，m）必在直线x﹣2y=3的下方，
即﹣m﹣2m＞3，解得m＜﹣1．
故m的取值范围是：（﹣∞，﹣1）．
故选：D．
7．如图，三棱锥P﹣ABC，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，设PD=x，∠BPC=θ，记函数f（x）=tanθ，则下列表述正确的是（ ）
A．f（x）是关于x的增函数 B．f（x）是关于x的减函数
C．f（x）关于x先递增后递减 D．关于x先递减后递增
【考点】空间点、线、面的位置；棱锥的结构特征．
【分析】由PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，利用x表示PA，PB，PC，由余弦定理得到关于x的解析式，进一步利用x表示tanθ，利用基本不等式求最值；然后判断选项．
【解答】解：∵PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，PD=x，∠BPC=θ，
∴可求得：AC=，AB=，PA=，PC=，BP=，
∴在△PBC中，由余弦定理知：cosθ==
∴tan2θ=﹣1=﹣1=，
∴tanθ==≤=（当且仅当x=时取等号）；
所以f（x）关于x先递增后递减．
故选：C．
8．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系可得a，c的关系．由离心率公式计算即可得到．
【解答】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，
∴|BF1|=2a，
设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得==
∴x=，y=，
∴B（，）
代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，
则c==a，
即有e==．
故选C．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．若2sinα﹣cosα=，则sinα= ，tan（α﹣）= 3 ．
【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．
【分析】根据已知及同角三角函数的基本关系式，建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：∵2sinα﹣cosα=，
∴cosα=2sinα﹣，
∵sin2α+cos2α=1，
∴sin2α+（2sinα﹣）2=1，
即5sin2α﹣4sinα+4=0，
∴解得：sinα=，
∴cosα=2×﹣=﹣，tan=﹣2，
∴tan（α﹣）===3．
故答案为：，3．
10．已知直线l：mx﹣y=1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为 0或2 ，动直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为 2 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由直线l：mx﹣y=1与直线x+m（m﹣1）y=2垂直的性质能求出m；求出圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0的圆心、半径，由直线l：mx﹣y=1过定点P（0，﹣1），当直线l与定点P（0，﹣1）与圆心C（1，0）的连线垂直时，直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的弦长最短，由此能求出动直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长．
【解答】解：∵直线l：mx﹣y=1与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，
∴m×1+（﹣1）×m（m﹣1）=0，
解得m=0或m=2．
圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0的圆心C（1，0），半径r==3，
直线l：mx﹣y=1过定点P（0，﹣1），
当直线l与定点P（0，﹣1）与圆心C（1，0）的连线垂直时，
直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的弦长最短，
∵|PC|==，
∴最短弦长为：2=2．
故答案为：0或2，2．
11．已知等比数列{an}的公比q＞0，前n项和为Sn．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，则q= 2 ，Sn= （2n﹣1） ．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由已知条件利用等差数列性质和等比数列通项公式列出方程组，求出公比和首项，由此能求出公比和前n项和．
【解答】解：∵等比数列{an}的公比q＞0，前n项和为Sn．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，
∴，
解得．
∴=．
故答案为：2，．
12．设函数f（x）=，则f（f（4））= 5 ；若f（a）=﹣1，则a= 1或 ．
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【分析】直接利用分段函数，由里及外求解函数值，通过方程求出方程的根即可．
【解答】解：函数f（x）=，则f（4）=﹣2×42+1=﹣31．
f（f（4））=f（﹣31）=log2（1+31）=5．
当a≥1时，f（a）=﹣1，可得﹣2a2+1=﹣1，解得a=1；
当a＜1时，f（a）=﹣1，可得log2（1﹣a）=﹣1，解得a=；
故答案为：5；1或．
13．如图，在二面角A﹣CD﹣B中，BC⊥CD，BC=CD=2，点A在直线AD上运动，满足AD⊥CD，AB=3．现将平面ADC沿着CD进行翻折，在翻折的过程中，线段AD长的取值范围是 ．
【考点】二面角的平面角及求法．
【分析】根据条件利用向量法得到=++，利用三角函数的有界性转化为不等式问题进行求解就．
【解答】解：由题意得⊥， ，
设平面ADC沿着CD进行翻折过程中，二面角A﹣CD﹣B的夹角为θ，
则＜，＞=θ，
∵=++，
∴平方得2=2+2+2+2•+2•+2•，
设AD=x，∵BC=CD=2，AB=3
∴9=x2+4+4﹣4cosθx，
即x2﹣4cosθx﹣1=0，
即cosθ=
∵﹣1≤cosθ≤1，
∴﹣1≤≤1，
即，即，
则．
∵x＞0，∴﹣2≤x≤+2，
即AD的取值范围是，
故答案为：
14．已知实数a，b∈R，若a2﹣ab+b2=3，则的值域为 ．
【考点】基本不等式．
【分析】a2﹣ab+b2=3，可得ab+3=a2+b2≥2|ab|，因此﹣1≤ab≤3，令ab=t∈[﹣1，3]． ==t﹣2+=f（t）．利用导数研究其单调性即可得出．
【解答】解：∵a2﹣ab+b2=3，
∴ab+3=a2+b2≥2|ab|，∴﹣1≤ab≤3，当且仅当a=b=±时取右边等号，ab=﹣1时取左边等号．
令ab=t∈[﹣1，3]．
则==t﹣2+=f（t）．
f′（t）=1﹣==
∴f（t）在[﹣1，3]上单调递增．
f（﹣1）=0，f（3）=．
∴f（t）∈．
故答案为：．
15．在△OAB中，已知||=，||=1，∠AOB=45°，若=λ+μ，且λ+2μ=2，则在上的投影的取值范围是 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由=λ+μ，且λ+2μ=2，得到= [λ+（1﹣）]，展开多项式乘多项式，求得=1+，再求出，代入投影公式，对λ分类求解得答案．
【解答】解：由=λ+μ，且λ+2μ=2，
则= [λ+（1﹣）]
=λ+（1﹣），
又||=，||=1，∠AOB=45°，
∴由余弦定理求得||=1，
∴=λ+（1﹣）×=1+，
===，
故在上的投影=．
当λ＜﹣2时，上式=﹣==∈；
当λ≥﹣2时，上式=；
①λ=0，上式=；
②﹣2≤λ＜0，上式=∈；
③λ＞0，上式=∈．
综上，在上的投影的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinB﹣cosB）（sinC﹣cosC）=4cosBcosC．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若sinB=psinC，且△ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．
【分析】（Ⅰ） 由已知及三角函数中的恒等变换应用得，从而可求tan（B+C）=﹣，即可解得A的值．
（Ⅱ） 由已知得，由△ABC为锐角三角形，且，可求tanC的范围，即可解得实数p的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ） 由题意得
⇒
∴
（Ⅱ）
∵△ABC为锐角三角形，且
∴
∴．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=，CD=2AB=2，∠PAD=120°．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．
【分析】（I）取CD的中点E，连接BE．可证四边形ABED是矩形，故而AB⊥AD，结合AB⊥PD得出AB⊥平面PAD，又AB∥CD得出CD⊥平面PAD，于是平面PAD⊥平面PCD；
（II）以A为原点建立坐标系，求出和平面PBC的法向量，则直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为|cos＜，＞|．
【解答】证明：（I）取CD的中点E，连接BE．
∵BC=BD，E为CD中点，∴BE⊥CD，
又∵AB∥CD，AB=CD=DE，
∴四边形ABED是矩形，
∴AB⊥AD，
又AB⊥PA，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD．
∵AB∥CD，
∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD．
（II）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，以平面ABCD过点A的垂线为z轴建立空间直角坐标角系A﹣xyz，如图所示：
∵PB=BD=，AB=，AB⊥PA，AB⊥AD，∴PA=AD=2．
∴P（0，﹣1，），D（0，2，0），B（，0，0），C（2，2，0），
∴=（0，3，﹣），=（﹣，﹣1，），=（，2，0）．
设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，
∴，取x=，得=（，﹣1，），
∴cos＜，＞===﹣．
∴直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为．
18．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
（Ⅱ）若a＞﹣2，设函数h（x）=|f（x）|+g（x）在[0，2]上的最大值为t（a），求t（a）的最小值．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）按照x与1进行讨论，分离常数得a≤，令φ（x）=，去掉绝对值符号化简解析式，由一次函数的性质分别求出φ（x）的范围，由恒成立问题求出a的范围，最后取并集；
（Ⅱ）由题意求出h（x），求出对称轴，由区间和对称轴对a进行分类讨论，分别由二次函数的性质判断出h（x）在区间上的单调性，并求出对应的最大值．
【解答】（本题满分为15分）
解：（Ⅰ）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R； …
②当x≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x）==，
因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，…
所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．
综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…
（Ⅱ），…
∵a≤0，
∴，
①当时，即﹣2≤a≤0，（x2+ax﹣a﹣1）max=h（2）=a+3，
∵，
∴h（x）max=a+3，…
②当时，即﹣4≤a＜﹣2，（﹣x2﹣ax+a+1）max=h（1）=0，，
此时，…
③当时，即a＜﹣4，（﹣x2﹣ax+a+1）max=h（1）=0（x2+ax﹣a﹣1）max=h（1）=0，
此时h（x）max=0，…
综上：h（x）max=t（a）=，
∴t（a）min=0．…
19．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，△=0求得a2，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得丨PA丨及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得S=丨k+丨，平方整理关于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．
【解答】解：（1）当P点在x轴上时，P（2，0），PA：，
，
△=0⇒a2=2，椭圆方程为；…﹣5
（2）设切线为y=kx+m，设P（2，y0），A（x1，y1），
则⇒（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0⇒△=0⇒m2=2k2+1，…7
且，y0=2k+m
则，
PA直线为，A到直线PO距离，…﹣10
则
=，…13
∴（S﹣k）2=1+2k2⇒k2+2Sk﹣S2+1=0，
，此时．…﹣15
20．已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an+．（n∈N*）
（Ⅰ）证明：≥1+；
（Ⅱ）求证：＜an+1＜n+1．
【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．
【分析】（Ⅰ）由题意知，从而可得an+1＞an＞a1≥1，再化简可得，
（Ⅱ）化简，从而可得﹣＜＜﹣，从而利用累加法可证明an+1＜n+1，再由an≤n可得＞，从而证明．
【解答】证明：（Ⅰ）∵，
∴an+1＞an＞a1≥1，
∴．
（Ⅱ）∵，
∴0＜＜1，
即﹣=＜＜﹣，
累加可得，﹣＜1﹣，
故an+1＜n+1，
另一方面，由an≤n可得，
原式变形为
故
累加得，
故＜an+1＜n+1．
2016年8月20日
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