2016年山西省高考数学三模试卷（理科）
一、选择题
1．复数+的共轭复数为（ ）
A．5+i B．﹣5+i C．5﹣i D．﹣5﹣i
2．若集合A={x|1＜x2＜5x}，B={y|y=3﹣x，x∈A}，则A∪B等于（ ）
A．（1，2） B．（﹣2，2） C．（﹣1，5） D．（﹣2，5）
3．P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别为抛物线y2=4x上不同的两点，F为焦点，若|QF|=2|PF|，则（ ）
A．x2=2x1+1 B．x2=2x1 C．y2=2y1+1 D．y2=2y1
4．设A、B、C、D四点都在同一个平面上，且+4=5，则（ ）
A． =4 B． =5 C． =4 D． =5
5．将函数y=cos（3x+）的图象向左平移个单位后，得到的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
6．四位男演员与五位女演员（包含女演员甲）排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两侧的排法数为（ ）
A． ﹣2 B． ﹣
C． ﹣2 D． ﹣
7．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，给出下列两个命题：
命题p：若S3，S9都大于9，则S6大于11
命题q：若S6不小于12，则S3，S9中至少有1个不小于9．
那么，下列命题为真命题的是（ ）
A．￢p B．（￢p）∧（￢q） C．p∧q D．p∧（￢q）
8．执行如图所示的程序框图，则输出的y等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1021 D．2045
9．设a＞0，且x，y满足约束条件，若z=x+y的最大值为7，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． +8π B． +8π C．16+8π D． +16π
11．设函数y=ax2与函数y=||的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（e，） B．（﹣e，0）∪（0， e） C．（0， e） D．（，1）∪{e}
12．已知Sn，Tn分别为数列{}与{}的前n项和，若Sn＞T10+1013，则n的最小值为（ ）
A．1023 B．1024 C．1025 D．1026
二、填空题
13．已知函数f（x）=为奇函数，则g（﹣2）= ．
14．设x（1﹣x）7=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8，则a1+3a2+7a3+15a4+31a5+63a6+127a7+255a8= ．
15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为 ．
16．如图，在△ABC中，|AB|=4，点E为AB的中点，点D为线段AB垂直平分线上的一点，且|DE|=3，固定边AB，在平面ABD内移动顶点C，使得△ABC的内切圆始终与AB切于线段BE的中点，且C、D在直线AB的同侧，在移动过程中，当|CA|+|CD|取得最小值时，点C到直线DE的距离为 ．
三、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a+c）sinB=2csinA．
（1）若sin（A+B）=2sinA，求cosC；
（2）求证：BC、AC、AB边上的高依次成等差数列．
18．某脐橙基地秋季出现持续阴雨寡照等异常天气，对脐橙物候和产量影响明显，导致脐橙春季物候期推迟，畸形花增多，果实偏小，落果增多，对产量影响较大．为此有关专家退出2种在异常天气下提高脐橙果树产量的方案，每种方案都需分两年实施．实施方案1：预计第一年可以使脐橙倡粮恢复到灾前的1.0倍、0.8倍的概率分别是0.4、0.6；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.1倍的概率分别是0.5、0.5．实施方案2：预计第一年可以使脐橙产量达到灾前1.2倍、0.8倍的概率分别是0.5、0.5；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.6、0.4．实施每种方案第一年与第二年相互对立，令X1表示方案1实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数，X2表示方案2实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数．
（1）分别求X1、X2的分布列和数学期望；
（2）不管哪种方案，如果实施两年后，脐橙产量不高于和高于灾前产量的预计利润分别为12万元和20万元，为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择哪种方案？
19．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且A1A⊥底面ABCD，点P，Q分别在DD1，BC上，且=，BQ=4．
（1）证明：PQ∥平面ABB1A1；
（2）求二面角P﹣QD﹣A的余弦值．
20．如图，F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
21．已知函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）ex﹣（x﹣1）（x2+2x+2），a∈R，且曲线y=f（x）与x轴切于原点O．
（1）求实数a，b的值；
（2）若f（x）•（x2+mx﹣n）≥0恒成立，求m+n的值．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，在⊙O的直径AB的延长线上取点P，作⊙O的切线PN，N为切点，在AB上找一点M，使PN=PM，连接NM并延长交⊙O于点C．
（1）求证：OC⊥AB；
（2）若⊙O的半径为，OM=MP，求MN的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ+）．
（1）写出曲线C的参数方程；
（2）在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB的面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知不等式＜|1+|﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立．
（1）求实数a的取值范围；
（2）不等式|x﹣1|+|x+1|≤a的解集为A，不等式4≤2x≤8的解集为B，试判断A∩B是否一定为空集？请证明你的结论．
2016年山西省高考数学三模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．复数+的共轭复数为（ ）
A．5+i B．﹣5+i C．5﹣i D．﹣5﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解： +=+=2+2i+3﹣i=5+i的共轭复数为5﹣i．
故选：C．
2．若集合A={x|1＜x2＜5x}，B={y|y=3﹣x，x∈A}，则A∪B等于（ ）
A．（1，2） B．（﹣2，2） C．（﹣1，5） D．（﹣2，5）
【考点】并集及其运算．
【分析】先化简集合A，B，再根据并集的运算即可得到结论．
【解答】解：∵1＜x2＜5x，
∴
解得1＜x＜5，
∴A=（1，5），
∵y=3﹣x，
∴﹣2＜y＜2，
∴B=（﹣2，2），
∴A∪B=（﹣2，5），
故选：D．
3．P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别为抛物线y2=4x上不同的两点，F为焦点，若|QF|=2|PF|，则（ ）
A．x2=2x1+1 B．x2=2x1 C．y2=2y1+1 D．y2=2y1
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的性质将|PF|，|QF|转化为到准线的距离，得出答案．
【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1，
∴|PF|=x1+1，|QF|=x2+1．
∵|QF|=2|PF|，
∴x2+1=2（x1+1），即x2=2x1+1．
故选：A．
4．设A、B、C、D四点都在同一个平面上，且+4=5，则（ ）
A． =4 B． =5 C． =4 D． =5
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【分析】根据向量的数乘运算便可由得到，而，从而根据向量加法的几何意义便可得出，从而便可找出正确选项．
【解答】解：；
∴；
∴；
∴；
∴．
故选：A．
5．将函数y=cos（3x+）的图象向左平移个单位后，得到的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得向左平移个单位后，得到的函数解析式为：y=﹣sin3x，利用正弦函数的图象和性质即可得解．
【解答】解：将函数y=cos（3x+）的图象向左平移个单位后，
得到的函数解析式为：y=cos[3（x+）+]=﹣sin3x，
此函数过原点，为奇函数，排除C，D；
原点在此函数的单调递减区间上，故排除B．
故选：A．
6．四位男演员与五位女演员（包含女演员甲）排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两侧的排法数为（ ）
A． ﹣2 B． ﹣
C． ﹣2 D． ﹣
【考点】计数原理的应用．
【分析】由题意，利用间接法，五位女演员全排，有种方法，插入四位男演员，女演员甲站两侧，有2，即可求出不同的排法．
【解答】解：由题意，利用排除法，五位女演员全排，有种方法，
插入四位男演员，女演员甲站两侧，有2种方法，
所以不同的排法有﹣2种．
故选：A．
7．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，给出下列两个命题：
命题p：若S3，S9都大于9，则S6大于11
命题q：若S6不小于12，则S3，S9中至少有1个不小于9．
那么，下列命题为真命题的是（ ）
A．￢p B．（￢p）∧（￢q） C．p∧q D．p∧（￢q）
【考点】复合命题的真假．
【分析】由等差数列的前n项和的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，即可判断出命题p，q的真假．
【解答】解：对于命题p：由等差数列的前n项和的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，∴2（S6﹣S3）=S3+S9﹣S6，∴3S6=3S3+S9≥3×9+9，∴S6≥12，因此命题p正确；
命题q：由上面可知：3S3+S9=3S6≥3×12=36，因此S3，S9中至少有1个不小于9，是真命题．
那么，下列命题为真命题的是p∧q．
故选：C．
8．执行如图所示的程序框图，则输出的y等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1021 D．2045
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的y，x的值，当x=2048时，满足条件x＞2016，退出循环，输出y的值为1021，从而得解．
【解答】解：模拟执行程序，可得
x=1，y=1
不满足条件y≤0，y=﹣2，x=2
不满足条件x＞2016，执行循环体，满足条件y≤0，y=3，x=4
不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=0，x=8
不满足条件x＞2016，执行循环体，满足条件y≤0，y=9，x=16
不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=13，x=32
不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=29，x=64
不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=61，x=128
不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=125，x=256
不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=253，x=512
不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=509，x=1024
不满足条件x＞2016，执行循环体，不满足条件y≤0，y=1021，x=2048
满足条件x＞2016，退出循环，输出y的值为1021．
故选：C．
9．设a＞0，且x，y满足约束条件，若z=x+y的最大值为7，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，利用z=x+y的最大值为7，推出直线x+y=7与x+4y﹣16=0的交点A必在可行域的边缘顶点，得到a，利用所求的表达式的几何意义，可得的最大值．
【解答】解：作出不等式组约束条件表示的平面区域，直线x+y=7与x+4y﹣16=0的交点A必在可行域的边缘顶点．解得，即A（4，3）在3ax﹣y﹣9=0上，
可得12a﹣3﹣9=0，解得a=1．
的几何意义是可行域的点与（﹣3，0）连线的斜率，由可行域可知（﹣3，0）与B连线的斜率最大，
由可得B（﹣1，），的最大值为： =．
故选：D．
10．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． +8π B． +8π C．16+8π D． +16π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：下面是半个圆柱、上面两个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：下面是半个圆柱、上面两个四棱锥，
且两个四棱锥的定点相对、底面是俯视图中两个矩形两条边分别是2、4，
其中一条侧棱与底面垂直，高都是2，
圆柱的底面圆半径是2、母线长是4，
∴几何体的体积V=2×+=，
故选：B．
11．设函数y=ax2与函数y=||的图象恰有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（e，） B．（﹣e，0）∪（0， e） C．（0， e） D．（，1）∪{e}
【考点】函数的图象．
【分析】令ax2=||得a2x3=|lnx+1|，作出y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象，利用导数知识求出两函数图象相切时对应的a0，则0＜a＜a0．
【解答】解：令ax2=||得a2x3=|lnx+1|，显然a＞0，x＞0．
作出y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象，如图所示：
设a=a0时，y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象相切，切点为（x0，y0），
则，解得x0=e，y0=，a0=．
∴当0＜a＜时，y=a2x3和y=|lnx+1|的函数图象有三个交点．
故选：C．
12．已知Sn，Tn分别为数列{}与{}的前n项和，若Sn＞T10+1013，则n的最小值为（ ）
A．1023 B．1024 C．1025 D．1026
【考点】数列的求和．
【分析】化简=1+﹣，从而利用分类求和与裂项求和法求和，对=1+，利用分类求和求和．
【解答】解：∵==1+=1+﹣，
∴Sn=1+1﹣+1+﹣+…+1+﹣=n+1﹣，
∵=1+，
∴T10=1++1++…+1+
=10+=11﹣，
∵Sn＞T10+1013，
∴n+1﹣＞11﹣+1013=1024﹣，
而1025﹣＞1024﹣，
1024﹣=1024﹣．
故n的最小值为1024，
故选B．
二、填空题
13．已知函数f（x）=为奇函数，则g（﹣2）= 4 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由题意，f（﹣2）=﹣f（2），利用函数f（x）=，即可得出结论．
【解答】解：由题意，f（﹣2）=﹣f（2），
∴g（﹣2）﹣6=﹣log39，
∴g（﹣2）=4．
故答案为：4．
14．设x（1﹣x）7=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8，则a1+3a2+7a3+15a4+31a5+63a6+127a7+255a8= ﹣2 ．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】x（1﹣x）7=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8，分别：令x=2，1即可得出．
【解答】解：∵x（1﹣x）7=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8，
∴令x=2，则﹣2=2a1+4a2+8a3+…+256a8，
令x=1，则0=a1+a2+a3+…+a8，
∴﹣2=a1+3a2+7a3+15a4+31a5+63a6+127a7+255a8．
故答案为：﹣2．
15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为 4或 ．
【考点】球内接多面体．
【分析】设AB=2x，则AE=x，BC=，由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，求出x，即可求出球O的直径．
【解答】解：设AB=2x，则AE=x，BC=，
∴AC=，
由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，
∴x=1或，
∴AB=2，BC=2，球O的直径为=4，
或AB=2，BC=，球O的直径为=．
故答案为：4或．
16．如图，在△ABC中，|AB|=4，点E为AB的中点，点D为线段AB垂直平分线上的一点，且|DE|=3，固定边AB，在平面ABD内移动顶点C，使得△ABC的内切圆始终与AB切于线段BE的中点，且C、D在直线AB的同侧，在移动过程中，当|CA|+|CD|取得最小值时，点C到直线DE的距离为 8﹣ ．
【考点】轨迹方程．
【分析】由题意画出图形，以AB所在直线为x轴，ED所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线的性质求得C的轨迹为（x＞0），再利用双曲线定义把
|CA|+|CD|取得最小值转化为|CB|+|CD|取最小值，可得C的位置，写出BD所在直线方程，联立直线方程与双曲线方程求得C的坐标得答案．
【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴，ED所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则A（﹣2，0），B（2，0），D（0，4），
设△ABC的内切圆切AC、AB、BC分别于G、H、F，
则|CA|﹣|CB|=|AG|﹣|BF|=|AH|﹣|HB|=2＜4，
∴C点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，
且a=1，c=2，b2=c2﹣a2=3，
∴C的轨迹方程为（x＞0）．
∵|CA|﹣|CB|=2，
∴|CA|=|CB|+2，
则|CA|+|CD|=|CB|+|CD|+2，
则当C为线段BD与双曲线右支的交点时，|CA|+|CD|最小，
BD所在直线方程为，即2x+y﹣4=0．
联立，解得C（）．
∴点C到直线DE的距离为．
故答案为：8﹣．
三、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a+c）sinB=2csinA．
（1）若sin（A+B）=2sinA，求cosC；
（2）求证：BC、AC、AB边上的高依次成等差数列．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）使用正弦定理将角化边，得出a，b，c的关系，利用余弦定理解出cosB；
（2）用三角形的面积S表示出三条高，利用等差中项的性质进行验证即可．
【解答】解：（1）∵（a+c）sinB=2csinA．∴ab+bc=2ac．
∵sin（A+B）=sinC=2sinA，∴c=2a．
∴ab+2ab=4a2．∴b=．
∴cosB===．
（2）设BC、AC、AB边上的高分别为h1，h2，h3，
则S=ah1=bh2=ch3，
∴2S=ah1=h2=2ah3．
∴h1=，h2=，h3=．
∴h1+h3=2h2．
∴BC、AC、AB边上的高依次成等差数列．
18．某脐橙基地秋季出现持续阴雨寡照等异常天气，对脐橙物候和产量影响明显，导致脐橙春季物候期推迟，畸形花增多，果实偏小，落果增多，对产量影响较大．为此有关专家退出2种在异常天气下提高脐橙果树产量的方案，每种方案都需分两年实施．实施方案1：预计第一年可以使脐橙倡粮恢复到灾前的1.0倍、0.8倍的概率分别是0.4、0.6；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.1倍的概率分别是0.5、0.5．实施方案2：预计第一年可以使脐橙产量达到灾前1.2倍、0.8倍的概率分别是0.5、0.5；第二年可以使脐橙产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.6、0.4．实施每种方案第一年与第二年相互对立，令X1表示方案1实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数，X2表示方案2实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数．
（1）分别求X1、X2的分布列和数学期望；
（2）不管哪种方案，如果实施两年后，脐橙产量不高于和高于灾前产量的预计利润分别为12万元和20万元，为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择哪种方案？
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）把实施方案一的数据列表整理，能求出X1的分布列的数学期望；把实施方案二的数据列表整理，能求出X2的分布列的数学期望．
（2）记方案一的预计利润数为Y1，求出Y1的分布列和期望；记方案二的预计利润数为Y2，求出Y2的分布列和期望，由EY1＜EY2，得到为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择方案2．
【解答】解：（1）实施方案一的数据具体见下表：
第一年
（对于灾前）
第二年
（对于第一年）
第二年
（对于灾前）
倍数
1.0
0.8
1.25
1.10
1.25
1.1
0.9
0.88
相应频率
0.4
0.6
0.5
0.5
0.2
0.2
0.3
0.3
由表可得X1的分布列：
X1
1.25
1.1
0.9
0.88
P
0.2
0.2
0.3
0.3
EX1=1.25×0.2+1.1×0.2+0.9×0.3+0.88×0.3=1.004．
实施方案二的数据具体见下表：
第一年
第二年
第二年
（对于灾前）
（对于第一年）
（对于灾前）
倍数
1.2
0.8
1.25
1.10
1.5
1.32
1.0
0.88
相应频率
0.5
0.5
0.6
0.4
0.3
0.2
0.3
0.2
由表可得X2的分布列为：
X2
1.5
1.32
1.0
0.88
P
0.3
0.2
0.3
0.2
EX2=1.5×0.3+1.32×0.2+1.0×0.3+0.88×0.2=1.19．
（2）记方案一的预计利润数为Y1，则Y1的分布列为：
Y1
12
20
P
0.6
0.4
EY1=12×0.6+20×0.4=15.2．
记方案二的预计利润数为Y2，则Y2的分布列为：
Y2
12
20
P
0.5
0.5
EY2=12×0.5+20×0.5=16．
∵EY1＜EY2，
∴为了实现两年后的平均利润最大化，应该选择方案2．
19．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且A1A⊥底面ABCD，点P，Q分别在DD1，BC上，且=，BQ=4．
（1）证明：PQ∥平面ABB1A1；
（2）求二面角P﹣QD﹣A的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）在AA1上取一点N，使得AN=AA1，由已知可证四边形BQPN为平行四边形，从而证明PQ∥BN，即可判定PQ∥ABB1A1．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣QD﹣A的余弦值．
【解答】证明：（1）在AA1上取一点N，使得AN=AA1，
∵DP=DD1，且A1D1=3，AD=6，
∴PNAD，又BQAD，
∴PNBQ，
∴四边形BQPN为平行四边形，
∴PQ∥BN，
∵BN⊂平面ABB1A1，PQ⊄ABB1A1．
∴PQ∥ABB1A1．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
D（0，6，0），D1（0，3，0），P（0，4，4），Q（6，4，0），A（0，0，0），
=（0，﹣2，4），=（6，﹣2，0），
设平面DPQ的法向量=（x，y，z），
则，取x=2，得=（2，6，1），
平面ADQ的法向量=（0，0，1），
设二面角P﹣QD﹣A的平面角为θ，
cosθ===．
20．如图，F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，y1），Q（），由OP⊥OQ，即=0，当直线AB的斜率不存在时，S=1．当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，
联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出△ABC的面积为1．
【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，
∴，解得a=2，b=1，c=，
∴椭圆C的标准方程为=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，y1），Q（），
由OP⊥OQ，即=0，（*）
①当直线AB的斜率不存在时，S=|x1|×|y1﹣y2|=1．
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，
联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
△=16（4k2+1﹣m2），，
同理，，代入（*），整理，得4k2+1=2m2，
此时，△=16m2＞0，
AB=|x1﹣x2|=，
h=，∴S=1，
综上，△ABC的面积为1．
21．已知函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）ex﹣（x﹣1）（x2+2x+2），a∈R，且曲线y=f（x）与x轴切于原点O．
（1）求实数a，b的值；
（2）若f（x）•（x2+mx﹣n）≥0恒成立，求m+n的值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0，即可得到a，b的值；
（2）由题意可得（x﹣1）[ex﹣（x2+2x+2）]•（x2+mx﹣n）≥0，（*）由g（x）=ex﹣（x2+2x+2），求出导数和单调区间，可得（x﹣1）（x2+mx﹣n）≥0恒成立，即有0，1为二次方程x2+mx﹣n=0的两根，即可得到m，n的值，进而得到m+n的值．
【解答】解：（1）函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）ex﹣（x﹣1）（x2+2x+2）的导数为
f′（x）=ex（2ax+ax2+bx+a）﹣（3x2+2x），
由曲线y=f（x）与x轴切于原点O，可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0，
即有a=0，b=1；
（2）f（x）•（x2+mx﹣n）≥0恒成立，即为
[（x﹣1）ex﹣（x﹣1）（x2+2x+2）]•（x2+mx﹣n）≥0，
即有（x﹣1）[ex﹣（x2+2x+2）]•（x2+mx﹣n）≥0，（*）
由g（x）=ex﹣（x2+2x+2）的导数为g′（x）=ex﹣x﹣1，
设h（x）=ex﹣x﹣1，h′（x）=ex﹣1，
当x≥0时，h′（x）≥0，h（x）递增，可得h（x）≥h（0）=0，
即g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增，
可得g（x）≥g（0）=0，即ex﹣（x2+2x+2）≥0；
当x≤0时，h′（x）≤0，h（x）递减，可得h（x）≤h（0）=0，
即g′（x）≤0，g（x）在[0，+∞）递减，
可得g（x）≤g（0）=0，即ex﹣（x2+2x+2）≤0．
由（*）恒成立，可得x≥0时，（x﹣1）（x2+mx﹣n）≥0恒成立，
且x≤0时，（x﹣1）（x2+mx﹣n）≤0恒成立，
即有0，1为二次方程x2+mx﹣n=0的两根，
可得n=0，m=﹣1，
则m+n=﹣1．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，在⊙O的直径AB的延长线上取点P，作⊙O的切线PN，N为切点，在AB上找一点M，使PN=PM，连接NM并延长交⊙O于点C．
（1）求证：OC⊥AB；
（2）若⊙O的半径为，OM=MP，求MN的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接ON，运用圆的切线的性质和等腰三角形的性质，由垂直的判定即可得证；
（2）运用直角三角形的勾股定理和圆的相交弦定理，计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）证明：连接ON，则ON⊥PN，且△OCN为等腰三角形，
则∠OCN=∠ONC，∵PN=PM，
∴∠PMN=∠PNM，∵∠OCM+∠OMC=∠ONC+∠PNM=90°，
∴∠COM=90°，∴OC⊥AB．
（2）在Rt△ONP中，由于OM=MP，
∴OP2=PN2+ON2，∴，
∴4PN2=PN2+12，∴PN=2，从而，
∴，
由相交弦定理可得MN•CM=BM•AM，又，
∴．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
23．以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ+）．
（1）写出曲线C的参数方程；
（2）在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB的面积的最大值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）由极坐标化为标准方程，再写出参数方程即可，
（2）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），表示出矩形OAPB的面积为S，再设t=sinθ+cosθ，根据二次函数的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）由得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ+1），所以x2+y2=2x+2y+2，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．
故曲线C的参数方程（θ为参数）．
（2）由（1）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），θ∈[0，2π），
则矩形OAPB的面积为S=|（1+2cosθ）（1+2sinθ）|=|1+2sinθ+2cosθ+4sinθcosθ）|
令，t2=1+2sinθcosθ，，
故当时，．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知不等式＜|1+|﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立．
（1）求实数a的取值范围；
（2）不等式|x﹣1|+|x+1|≤a的解集为A，不等式4≤2x≤8的解集为B，试判断A∩B是否一定为空集？请证明你的结论．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）根据x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）分别求出集合A，B，结合a的范围，判断A，B的交集是否是空集即可．
【解答】解：（1）∵x＞0，∴1+＞0，
不等式＜|1+|﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立，
即不等式＜1+﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立．
即对x∈（0，+∞）恒成立．
即，
∴，
解得：1＜a＜8；
（2）∵x＞0，∴x+1＞0，
令f（x）=|x﹣1|+|x+1|，
∴f（x）=|x﹣1|+x+1=，
由（1）a=8时，得：2x＜8，解得：x＜4，
故集合A的最大范围是（0，4），
由4≤2x≤8，解得：2≤x≤3，
故集合B=[2，3]，
故A∩B不一定是空集．
2016年8月22日
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