www.ks5u.com
江西赣中南五校2017届高三一摸测试
数学试卷(理科)
题号
一、选择题
二、填空题
三、简答题
四、综合题
总分
得分
一、单项选择题(每题5分,共60分)
1、设集合,则集合等于( )
A. B. C. D.
2、如果函数在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是( )
A.a≥9 B.a≤-3 C.a≥5 D.a≤-7
3、 函数的定义域为( )
A.(,1) B.(,+) C.(1,+) D.
4、设函数, ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
5、已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸,那么可得这个几何体最长的棱长是( )
A、2 B、 C、
D、
6、已知点在经过两点的直线上,则的最小值为 ( )
A. B. C. D.不存在
7、为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2,⊕运算规则为0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.例如原信息为111,则传输信息为01111,信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( )
A.11 010 B.01 100 C.10 111 D.00 011
8、如右图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点,那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点M,N在大圆内所绘出的图形大致是( )
9、 中,分别为的对边,如果成等差数列,,的面积为,那么为( )
A. B. C. D.
10、在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则cosB=( )
A.- B. C.- D.
11、已知双曲线的方程为,过左焦点作斜率为的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段,则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
12、已知函数的大致图象如图所示,则函数的解析式应( )
A. B.
C. D.
二、填空题(每空5 分,共20 分)
13、定积分 ____________.
14、某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000户,其中农民家庭1 800户,工人家庭100户.现要从中抽取容量为40的样本调查家庭收入情况,则在整个抽样过程中,可以用到的抽样方法的是 .(填序号)
①简单随机抽样;②系统抽样;③分层抽样.
15、已知命题p:x2+3x-3>0;命题q:>1,若“綈q且p”为真,则x的取值范围是________.
16、已知定义在R上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2),且当x∈时,y=f(x)单调递减,给出以下四个命题:
①f(2)=0;
②x=﹣4为函数y=f(x)图象的一条对称轴;
③函数y=f(x)在单调递增;
④若方程f(x)=m在上的两根为x1,x2,则x1+x2=﹣8.
上述命题中所有正确命题的序号为 .
三、综合题:必考题每题12分,选考题共10分;总分70分。
必考题
17、在平面直角坐标系中,O为坐标原点,;A、B、C三点满足满足.
(Ⅰ)求证:A、B、C三点共线;
(Ⅱ)已知A(1,cosx),B(1+cosx,cosx)(0≤x≤ ), 的最小值为﹣,求实数m的值.
18、已知数列与满足,.
(1)若,且,求数列的通项公式;
(2)设,(),求的取值范围,使得有最大值与最小值,且.
19、2016年里约奥运会在巴西里约举行,为了接待来自国内外的各界人士,需招募一批志愿者,要求志愿者不仅要有一定的气质,还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识。志愿者的选拔分面试和知识问答两场,先是面试,面试通过后每人积60分,然后进入知识问答。知识问答有A,B,C,D四个题目,答题者必须按A,B,C,D顺序依次进行,答对A,B,C,D四题分别得20分、20分、40分、60分,每答错一道题扣20分,总得分在面试60分的基础上加或减。答题时每人总分达到100分或100分以上,直接录用不再继续答题;当四道题答完总分不足100分时不予录用。 假设志愿者甲面试已通过且第二轮对A,B,C,D四个题回答正确的概率依次是,且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(Ⅰ) 用X表示志愿者甲在知识问答结束时答题的个数,求X的分布列和数学期 望;
(Ⅱ)求志愿者甲能被录用的概率.
20、四棱锥S-ABCD中,侧面SAD是正三角形,底面ABCD是正方形,且平面SAD⊥平面ABCD,M、N分别是AB、SC的中点.
(Ⅰ)求证:MN∥平面SAD;
(Ⅱ)求二面角S-CM-D的余弦值.
21、如图,已知抛物线,其焦点到准线的距离为,点、点是抛物线上的定点,它们到焦点的距离均为,且点位于第一象限.
(1)求抛物线的方程及点、点的坐标;
(2)若点是抛物线异于、的一动点,分别以点、、为切点作抛物线的三条切线,若、、分别相交于D、E、H,设的面积依次为,记,问:是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由。
22、 已知函数
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若,恒成立,求的取值范围;
(3)若,证明:.
选考题
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号后方的方框涂黑。
22.选修 4-1:几何证明选讲
如图,AB是圆O的直径,弦BD、CA的延长线相交于点E,F为BA延长线上一点,且,求证:
(1);
(2).
23. 选修 4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,曲线的方程为(为参数),曲线的极坐标方程为,若曲线与相交于A、B两点.
(1)求的值;
(2)求点到A、B两点的距离之积.
24. 选修 4-5:不等式选讲
在平面直角坐标系中,定义点、之间的直角距离为,点,,
(1)若,求的取值范围;
(2)当时,不等式恒成立,求t的最小值.
理科数学参考答案
一、选择题
1、C
2、A
3、A
4、C
5、A
6、B
7、C
8、A
9、C
10、B
11、C
12、A
二、填空题
13、
【解析】
试题分析:
考点:定积分
14、①②③
【解析】由于各家庭有明显差异,所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中抽出若干户,即36户、2户、2户.又由于农民家庭户数较多,那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样;而工人、知识分子家庭户数较少,宜采用简单随机抽样法.故整个抽样过程三种抽样方法都要用到.
15、 (-∞,-3)∪(1,2]∪∪时,y=f(x)单调递减,结合函数的奇偶性画出函数f(x)的简图,如图所示.
从图中可以得出:
②x=﹣4为函数y=f(x)图象的一条对称轴;
③函数y=f(x)在单调递减;
④若方程f(x)=m在上的两根为x1,x2,则x1+x2=﹣8.
故答案为:①②④.
【点评】本题考查函数奇偶性的性质,函数奇偶性的判断,考查学生的综合分析与转化能力,属于难题.
三、简答题
17、【分析】(Ⅰ)根据向量减法的几何意义,在两边同减去,进行向量的数乘运算便可得出
,这样便可得出三点A,B,C共线;
(Ⅱ)根据上面容易求出点C的坐标,并求出向量的坐标,从而得出f(x)=(cosx﹣m)2+1﹣m2,这样根据配方的式子,讨论m的取值:m<0,0≤m≤1,m>1,这样即可求出m的值.
【解答】解:(Ⅰ)由已知得;
即;
∴,又∵有公共点A;
∴A,B,C三点共线;
(Ⅱ);
∴;
∵;
∴
=
=(cosx﹣m)2+1﹣m2;
∵,∴cosx∈;
①当m<0,当且仅当cosx=0时,f(x)取得最小值为1(舍去)
②当0≤m≤1时,当且仅当cosx=m时,f(x)取得最小值为1﹣m2,(舍去)
③当m>1时,当且仅当cosx=1时,f(x)取得最小值2﹣2m,2﹣2m=;
∴
综上m=.
【点评】考查向量减法的几何意义,向量的数乘运算,以及共线向量基本定理,根据点的坐标求向量的坐标,以及配方求二次函数最值的方法.
四、综合题
18、(1)(2)
19、解:设某题M答对记为“M”,答错记为“”
(Ⅰ) X的可能取值为2,3,4
,
X的分布列为:
X
2
3
4
P
-------6分
(Ⅱ) 志愿者甲能被录用的概率
-------12分
或
20、【解析】 (Ⅰ)如图,取的中点,连结,则,且,,所以,且,所以四边形是平行四边形,则,由于平面,平面外,所以平面.
(Ⅱ)取的中点,连结,过作的垂线交于,分别以,,为轴,建立坐标系,,,,,,
设面的法向量为,则有令,,取面ABCD的法向量,则,所以二面角的余弦值为.
:如图,取的中点,连结、,连结SH,由,且面⊥面,所以平面,易得,所以,则,所以,则有,所以是二面角的平面角,设,则,
,,,,则,所以二面角的余弦值为.
21、 因为抛物线的焦点到准线的距离为,所以,所以所求抛物线的方程为;设,则,即,同理,代入抛物线方程可得所;···············4分
(2),∴
∴ l1:;l2:;l3:
∴ D(0,-1),,
∴;
∴
∴.
22、解:(Ⅰ)时,,.
函数的定义域为,则由得,由得,
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
…………………………4分
(Ⅱ)由已知得.
①若在上恒成立,则恒成立,所以,.
即时,在单调递减,,与恒成立矛盾.
…………………………6分
②当时,令,得.
所以当时,,单调递减;当时,,单调递增.
所以.
由得,,所以.
综上,所求的取值范围是. …………………………9分
(Ⅲ)时,由(Ⅱ)得. ………………11分
令,则.
所以当时,,单增;当时,,单减.
所以
. …………………………13分
所以,即.
22.(1)证明:连接AD,在中
又∽
则
(2)在中,
又
四点共圆;
又是⊙的直径,则,
23.(1)曲线的普通方程为,
,则的普通方程为,
则的参数方程为: 为参数),代入得,
.
(2).
24.(1)由定义得,即,两边平方得,
解得;
(2)当时,不等式恒成立,也就是恒成立,
法一:函数 令,所以,
要使原不等式恒成立只要即可,故.
法二:三角不等式性质 因为,所以,.