一元二次方程
阶段强化专训一： 巧用一元二次方程的定义及相关概念求字
母或代数式的值
名师点金：巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在：利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题等．
利用一元二次方程的定义确定字母的取值
1．已知(m－3)x2＋x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )
A．m≠3 B．m≥3
C．m≥－2 D．m≥－2且m≠3
2．已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0.
(1)m取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程；
(2)m取何值时，它是一元一次方程？
利用一元二次方程的项的概念求字母的取值
3．若关于x的一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋a－8＝0没有常数项，则a的值为________．
4．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为0，求m的值．
利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值
5．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
6．已知关于x的一元二次方程(k＋4)x2＋3x－16＝0的一个根为0，求k的值．
7．已知实数a是一元二次方程x2－2 016x＋1＝0的根，求代数式a2－2 015a－的值．
利用一元二次方程根的概念解决探究性问题
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8．已知m，n是方程x2－2x－1＝0的两个根，是否存在实数a使(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
阶段强化专训二： 一元二次方程的解法
名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果．
限定方法解一元二次方程
方法1 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解
1．方程4x2－25＝0的解为( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝± D．x＝±
2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数解的方程为( )
A．x2－5＝5 B．－3x2＝0
C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0
方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解
3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为( )
A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1
C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2
4．解方程：x2＋4x－2＝0.
5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求的值．
方法3 能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解
6．(中考·宁夏)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )
A．－1 B．0
C．1和2 D．－1和2
7．解下列一元二次方程：
(1)x2－2x＝0；
(2)16x2－9＝0；
(3)4x2＝4x－1.
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方法4 如果一个一元二次方程易化为它的一般式，则用公式法求解
8．用公式法解一元二次方程x2－＝2x，方程的解应是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
9．用公式法解下列方程．
(1)3(x2＋1)－7x＝0；(2)4x2－3x－5＝x－2.
选择合适的方法解一元二次方程
10．方程4x2－49＝0的解为( )
A．x＝ B．x＝
C．x1＝，x2＝－ D．x1＝，x2＝－
11．一元二次方程x2－9＝3－x的根是( )
A．3 B．－4 C．3和－4 D．3和4
12．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是( )
A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝4，x2＝－2
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝2
13．解下列方程．
(1)3y2－3y－6＝0；(2)2x2－3x＋1＝0.
用特殊方法解一元二次方程
方法1 构造法
14．解方程：6x2＋19x＋10＝0.
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方法2 换元法
a．整体换元
15．已知x2－2xy＋y2＋x－y－6＝0，则x－y的值是( )
A．－2或3 B．2或－3
C．－1或6 D．1或－6
16．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
b．降次换元
17．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
c．倒数换元
18．解方程：－＝2.
配方法解方程
19．若m，n，p满足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．
特殊值法解一元二次方程
20．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016.
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阶段强化专训三： 根的判别式的四种常见应用
名师点金：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
1．(中考·潍坊)已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是( )
A．当k＝0时，方程无解
B．当k＝1时，方程有一个实数解
C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解
D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解
2．已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．
利用根的判别式求字母的值或取值范围
3．(2015· 咸宁)已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
利用根的判别式求代数式的值
4．(2015·福州改编)已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求的值．
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利用根的判别式确定三角形的形状
5．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．
阶段强化专训四： 一元二次方程与三角形的综合
名师点金：一元二次方程是初中数学重点内容之一，常常与其他知识结合，其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种，主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用、一元二次方程的解法及与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的综合运用．
一元二次方程与三角形三边关系的综合
1．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为( )
A．3 B．4 C．3或4 D．无法确定
2．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题．
一个三角形两边长分别为3 cm和7 cm，第三边长为a cm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求三角形的周长．
解：由已知可得4
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