一元二次方程
解码专训一：根与系数的关系的四种应用类型
名师点金：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0.
利用根与系数的关系求代数式的值
1．设方程4x2－7x－3＝0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值．
(1)(x1－3)(x2－3)；(2)＋；(3)x1－x2.
利用根与系数的关系构造一元二次方程
2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2＋2x－3＝0各根的负倒数．
利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－2m＋1＝0的两根的平方和是，求m的值．
巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性
4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
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解码专训二：一元二次方程中的常见热门考点
名师点金：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．
一元二次方程的根
1．(2015·兰州)若一元二次方程ax2－bx－2 015＝0有一根为x＝－1，则a＋b＝________．
2．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝＋－2，求的值．
一元二次方程的解法
3．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为( )
A．(x＋1)2＝0 B．(x－1)2＝0
C．(x＋1)2＝2 D．(x－1)2＝2
4．一元二次方程x2－2x－3＝0的解是( )
A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝－1，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝3
5．选择适当的方法解下列方程：
(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；
(2)x2－6x－6＝0；
(3)6 000(1－x)2＝4 860；
(4)(10＋x)(50－x)＝800；
(5)(中考·山西)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
一元二次方程根的判别式
6．(2015·河北)若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是( )
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A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
7．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
8．(2015·南充)已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)．
一元二次方程根与系数的关系
9．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值是( )
A．3 B．1
C．3或－1 D．－3或1
10．关于x的方程ax2－(3a＋1)x＋2(a＋1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1＋x2－x1x2＝1－a，求a的值．
11．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时，x12＋x22有最小值？最小值是多少？
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一元二次方程的应用
12．(2015·乌鲁木齐)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？
13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(求出剪成的两段铁丝的长度)
(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．
新定义问题
14．(中考·厦门)若x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且|x1|＋|x2|＝2|k|(k是整数)，则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2－6x－27＝0，x2－2x－8＝0，x2＋3x－＝0，x2＋6x－27＝0，x2＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”．
判断方程x2＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由．
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答案
解码专训一
1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有
x1＋x2＝，x1x2＝－.
(1)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝－－3×＋9＝3.
(2)＋＝＝
＝＝
＝.
(3)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝，
∴x1－x2＝±＝±.
2．解：设方程5x2＋2x－3＝0的两根为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
设所求方程为y2＋py＋q＝0，其两根为y1，y2，
令y1＝－，y2＝－.
∴p＝－(y1＋y2)＝－＝＋＝＝，q＝y1y2＝＝＝－.
∴所求的方程为y2＋y－＝0，即3y2＋2y－5＝0.
3．解：设方程两根为x1，x2，由已知得
∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝，
即－2×＝，
∴m2＋8m－33＝0.
解得m1＝－11，m2＝3.
当m＝－11时，方程为2x2＋11x＋23＝0，
Δ＝112－4×2×230，方程有两个不相等的实数根，符合题意．
∴m的值为3.
4．解：不存在．理由如下：
∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，
∴k≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)＝－16k≥0，
∴k＜0.
∵x1，x2是方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝1，x1x2＝.
∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－.
又∵(2x1－x2)(x1－2x2)＝－，
∴－＝－，∴k＝.
又∵k
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