解直角三角形
阶段强化专训一： 求锐角三角函数值的常用方法
名师点金锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．
直接用锐角三角函数的定义
(第1题)
1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，则tan B的值是( )
A. B.
C. D.
2．如图，在△ABC中， AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan ∠BAD＝，求sin C的值．
(第2题)
3．如图，直线y＝x＋与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.
(1)求点B的坐标；
(2)求sin∠BAO的值．
(第3题)
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利用同角或互余两角三角函数间的关系
4．若∠A为锐角，且sin A＝，则cos A＝( )
A．1 B. C. D.
5．若α为锐角，且cosα＝，则sin(90°－α)＝( )
A. B. C. D.
6．若α为锐角，且sin2α＋cos230°＝1，则α＝______．
巧设参数
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则tan B的值为( )
A. B. C. D.
8．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c满足b2＝(c＋a)(c－a)．若5b－4c＝0，求sin A＋sinB的值．
利用等角来替换
9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E且AH＝2CH，求sin B的值．
(第9题)
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阶段强化专训二： 同角或互余两角的三角函数关系的应用
名师点金：
1.同角三角函数关系：sin2 α＋cos2α＝1，tan α＝；
2．互余两角的三角函数关系：sin α＝cos(90°－α)，cos α＝sin(90°－α)，tan α·tan(90°－α)＝1.)
同角间的三角函数的应用
1．已知＝4，求的值．
2．若α为锐角，sin α－cos α＝，求sin α＋cos α的值．
余角间的三角函数的应用
3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是( )
A．sin(45°－α)＝sin(45°＋α)
B．sin2(45°－α)＋cos2(45°＋α)＝1
C．sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1
D．cos2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1
4．计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．
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同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用
5．已知sin α·cos α＝(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sin α和cos α.
6．已知α为锐角且sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，求的值．
阶段强化专训三： 解直角三角形的几种常见类型
名师点金：解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．
已知两直角边解直角三角形
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2，b＝6，解这个直角三角形．
(第1题)
已知一直角边和斜边解直角三角形
2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．
(第2题)
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已知一直角边和一锐角解直角三角形
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.
(1)求AC的长；
(2)求BC的长．
(第3题)
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D为AC边上一点，∠BDC＝45°，求AD的长．
(第4题)
已知斜边和一锐角解直角三角形
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形．
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(第5题)
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝4，求AD的长．
(第6题)
已知非直角三角形中的边和角解直角三角形
类型1 化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)
7．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan ∠BCD＝，求∠A的三角函数值．
(第7题)
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类型2 化解四边形问题为解直角三角形问题
8．(中考·北京)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2.求CD的长和四边形ABCD的面积．
(第8题)
类型3 化解方程问题为解直角三角形问题
9．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求sin A＋sin B的值．
阶段强化专训四： 利用三角函数解实际问题中的几种数学模型
名师点金：利用锐角三角函数解决实际问题，关键是构造直角三角形，在构造时依据角(视角和方位角)或线进行构造，一般都是作垂线构造一个甚至几个直角三角形．
“背靠背”型
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(第1题)
1．(2014·襄阳)如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为________ m(结果保留根号)．
2．(2014·资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离．
(第2题)
“母抱子”型
3．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：如图，先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.
(1)求AB的长；(精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41)
(2)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？请说明理由．
(第3题)
“拥抱”型
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4．如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45 °，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE＝21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD(结果保留根号)．
(第4题)
“斜截”型
5．某片绿地的形状如图，其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200 m，CD＝100 m．求AD，BC的长(结果精确到1 m，≈1.732)．
(第5题)
阶段强化专训五： 作辅助线构造直角三角形的方法
名师点金：锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解．
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无直角、无等角的三角形作高
1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．
(第1题)
有直角、无三角形的图形延长某些边
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
(第2题)
有三角函数值不能利用时作垂线
3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，sin ∠BCD＝，求tan A的值．
(第3题)
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求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，求tan ∠BPC的值．
(第4题)
答案
阶段强化专训一
1．C
2．解：∵AD⊥BC，∴tan ∠BAD＝.
∵tan∠BAD＝，AD＝12，∴＝，∴BD＝9.
∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，∴在Rt△ADC中，AC＝＝＝13，∴sin C＝＝.
3．解：(1)解方程组得
所以B点坐标为(1，2)；
(第3题)
18
(2)过点B作BC⊥x轴于C，如图，当y＝0时，x＋＝0，解得x＝－3，则A(－3，0)，∴OA＝3，
∴AB＝＝2，
∴sin∠BAC＝＝＝，
即sin∠BAO＝.
4．D 5.B 6.30° 7.B
8．解：∵b2＝(c＋a)(c－a)，∴b2＝c2－a2，
即c2＝a2＋b2，∴△ABC是直角三角形．
∵5b－4c＝0，∴5b＝4c，
则＝，
设b＝4k，c＝5k，那么a＝3k.
∴sin A＋sin B＝＋＝.
9．解：∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD＝BD.
∴∠DCB＝∠B.
∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∠ACD＋∠CAH＝90°，
∴∠DCB＝∠CAH.
∴∠B＝∠CAH.
在Rt△ACH中，AH＝2CH，
∴AC＝CH.
∴sin B＝sin ∠CAH＝＝.
阶段强化专训二
1．分析：本题可利用求解，在原式的分子、分母上同时除以cos A，把原式化为关于的代数式，再整体代入其值求解即可．也可直接由＝4，得到sin A与cos A之间的数量关系，代入式子中求值．
解：(方法1)原式＝＝.
∵＝4，∴原式＝＝.
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(方法2)∵＝4，∴sin A＝4cos A.
∴原式＝＝＝.
2．分析：要求sin α＋cos α的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．
解：∵sin α－cos α＝，∴(sin α－cos α)2＝.
即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝.
∴1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝.
∵(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋＝，
又∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.
∴sin α＋cos α＝.
3．C 点拨：∵(45°－α)＋(45°＋α)＝90°，∴sin (45°－α)＝cos (45°＋α)．sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝cos2(45°＋α)＋sin2(45°＋α)＝1.
4．分析：因为tan 1°·tan 89°＝1，tan 2°·tan 88°＝1，…，tan 44°·tan 46°＝1，所以运用乘法的交换律后，本题易求．
解：tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝(tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan 88°)·…·(tan 44°·tan 46°)·tan 45°＝1.
点拨：互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tan α·tan β＝1.
5．解：∵sin2α＋cos2α＝1，sin α·cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2×＝.
∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝.
又∵sin α·cos α＝， ∴以sin α，cos α为根的一元二次方程为x2－x＋＝0.
点拨：此题运用到两个方面的知识：(1)公式sin2α＋cos2α＝1与完全平方公式的综合运用；(2)若x1＋x2＝p，x1x2＝q，则以x1，x2为两根的一元二次方程为x2－px＋q＝0.
6．解：∵sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，
∴由求根公式，得
sin α＝＝.
∴sin α＝或sin α＝3(不符合题意，舍去)．
∵sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝1－＝.
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又∵cos α＞0，∴cos α＝.
∴＝＝＝|sin α－cos α|＝＝.
阶段强化专训三
1．解：∵a＝2，b＝6，
∴c＝＝＝＝4.
∵tan A＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°.
2．解：∵AB＝13，AC＝12，∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝＝5.
∴sin ∠BAC＝＝.
设点B到直线MC的距离为d，
∵∠BCM＝∠BAC，∴sin ∠BAC＝sin ∠BCM.
∵sin ∠BCM＝＝，
即＝，∴d＝.
即点B到直线MC的距离为.
3．解：(1)由题意知sin C＝，即＝，则AC＝6.
(2)由题意知tan C＝，即＝，则BC＝3.
4．解：∵∠BDC＝45°，BC＝3，
∴CD＝3.
∵∠A＝30°，BC＝3，∴tan A＝＝＝，
即AC＝3.
∴AD＝AC－CD＝3－3.
5．解：∵∠B＝45°，∠C＝90°，c＝10，
∴∠A＝45°.a＝b＝5.
6．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴∠CAB＝60°，AC＝AB·sin 30°＝4×＝2.
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝30°.
∵cos ∠CAD＝＝＝，
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∴AD＝4.
(第7题)
7．解：过点D作CD的垂线交BC于点E，如图．
在Rt△CDE中，
∵tan ∠BCD＝＝，∴可设DE＝x，则CD＝3x.
∵CD⊥AC，∴DE∥AC.
又∵点D为AB的中点，∴点E为BC的中点．
∴DE＝AC.
∴AC＝2DE＝2x.
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝2x，CD＝3x，
∴AD＝＝＝x.
∴sin A＝＝＝，
cos A＝＝＝，
tan A＝＝＝.
方法技巧：本题中出现tan ∠BCD＝，由于∠BCD所在的三角形并非直角三角形，因此应用正切函数的定义，构造出一个与之相关的直角三角形进行求解．
(第8题)
8．解：如图，过点D作DH⊥AC于H.
∵∠CED＝45°，
DH⊥EC，DE＝，
∴EH＝DE·cos 45°＝×＝1，
∴DH＝1.
又∵∠DCE＝30°，
∴HC＝＝，CD＝＝2.
∵∠AEB＝45°，∠BAC＝90°，BE＝2，
∴AB＝AE＝2，
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∴AC＝2＋1＋＝3＋，
∴S四边形ABCD＝×2×(3＋)＋×1×(3＋)＝.
方法技巧：题目中所给的有直角和30°，45°角，因此我们可以通过构造另一个直角三角形，然后运用特殊角的三角函数值求出某些边的长，进而求出四边形的面积．
9．解：(1)将方程整理，得(c－a)x2＋2bx＋(a＋c)＝0，则
Δ＝(2b)2－4(c－a)(a＋c)＝4(b2＋a2－c2)．
∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即b2＋a2＝c2.
∴△ABC为直角三角形．
(2)由3c＝a＋3b，得a＝3c－3b.①
将①代入a2＋b2＝c2，得(3c－3b)2＋b2＝c2.
∴4c2－9bc＋5b2＝0，即(4c－5b)(c－b)＝0.
由①可知，b≠c，∴4c＝5b.∴b＝c.②
将②代入①，得a＝c.
∴在Rt△ABC中，sin A＋sin B＝＋＝＋＝.
点拨：解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于a，b，c的等式．从解题过程可以看出，求三角函数时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值．
阶段强化专训四
1．(5＋5)
(第2题)
2．解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD的长度即是点A到岸边BC的最短距离．
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，设AD＝x公里，
则CD＝AD＝x公里．
在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，由tan∠ABD＝，即tan60°＝，得BD＝＝x公里．
又BC＝4公里，所以x＋x＝4，解得x＝6－2.
即这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离为(6－2)公里．
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3．解：(1)由题意得，在Rt△ADC中，AD＝＝＝21≈36.33(米)．
在Rt△BDC中，BD＝＝＝7≈12.11(米)，
所以AB＝AD－BD≈36.33－12.11＝24.22≈24.2(米)．
(2)校车从A到B用时2秒，所以速度约为24.2÷2＝12.1(米/秒)，因为12.1米/秒43.56千米/时，大于40千米/时，所以这辆校车在AB路段超速．
4．解：∵∠CBE＝45°，CE⊥AE，∴CE＝BE.
∴CE＝21米，∴AE＝AB＋BE＝6＋21＝27(米)．
在Rt△ADE中，∵∠DAE＝30°，
∴DE＝AE×tan 30°＝27×＝9(米)，
∴CD＝CE－DE＝(21－9)米．
即该屏幕上端与下端之间的距离CD为(21－9)米．
(第5题)
5．解：延长AD，BC交于点E.
在Rt△ABE中，由AB＝200 m，∠A＝60°，
得BE＝AB·tan A＝200(m)．
AE＝＝400 (m)．
在Rt△CDE中，∵CD＝100 m，∠DEC＝90°－∠A＝30°，
∴CE＝2CD＝200(m)，DE＝＝100(m)，
∴AD＝AE－DE＝400－100≈227(m)，
BC＝BE－CE＝200－200≈146(m)．
阶段强化专训五
1．解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D.
设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tan B＝x·tan 60°＝x.
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°－∠C＝45°，
∴∠C＝∠CAD，∴CD＝AD＝x.
∵BC＝1＋，∴x＋x＝1＋，解得x＝1，即BD＝1.
在Rt△ABD中，∵cos B＝，
∴AB＝＝＝2.
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2．解：延长BC，AD，相交于点E.
∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°.
在Rt△ABE中，BE＝＝＝2，
在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2，
∴DE＝EC·cos 30°＝2×＝.
∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD＝AB·BE－CD·ED＝×2×2－×1×＝.
点拨：本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不难想到延长BC，AD，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决．
3．解：过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E.
∵点D是AB的中点，∴AD＝DB.
又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD≌△BED，∴CD＝DE，AC＝BE.
在Rt△CBE中，sin ∠BCE＝＝，∴BC＝3BE.
∴CE＝＝2BE，
∴CD＝CE＝BE＝AC.
∴tan A＝＝＝.
方法点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键．
4．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
(第4题)
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝BC＝×8＝4，
∠BAE＝∠BAC.
∵∠BPC＝∠BAC，
∴∠BPC＝∠BAE.
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE＝＝＝3，
∴tan ∠BPC＝tan ∠BAE＝＝.
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