随机事件的概率
阶段强化专训一： 事件的认识
名师点金：判断一个事件的类型的方法：判断一个事件是不可能事件、必然事件还是随机事件，其标准在于结果是否在试验前预先确定，与这个试验是否进行无关，一般来说，描述已被确定的真理或客观存在的事实的事件是必然事件，描述违背已被确定的真理或客观存在的事实的事件是不可能事件，否则是随机事件．随机事件又分为等可能事件和非等可能事件．
确定性事件
题型1：不可能事件
1．下列事件中，属于不可能事件的是( )
A．某投篮高手投篮一次就进球
B．打开电视机，正在播放世界杯足球比赛
C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6
D．在1个标准大气压下，90 ℃的水会沸腾
2．下列事件中，不可能事件有________(填序号)．
①度量三角形的内角和，结果是360°；②随意翻一本书的某页，这页的页码是奇数；③一个袋子里装有红、白、黄三种颜色的小球，从中摸出黑球；④如果|a|＝|b|，那么a＝b；⑤测量某天的最低气温，结果为－180 ℃.
题型2：必然事件
3．(2015·怀化)下列事件中是必然事件的是( )
A．地球绕着太阳转 B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨 D．打开电视，正在播放新闻
4．(2015·徐州)一只不透明的袋子中装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )
A．至少有1个球是黑球
B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球
D．至少有2个球是白球
5．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件？这些事件是确定性事件吗？
①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
②367人中至少有2人的生日相同；
③没有水分，种子也会发芽；
④奥运会上百米赛跑的成绩是5秒；
⑤同种电荷，相互排斥；
⑥通常情况下，高铁比普通列车快；
⑦用长为3 cm，5 cm，8 cm的三条线段围成三角形．
随机事件
6．下列事件是随机事件的是( )
6
A．太阳从东边升起
B．一元二次方程x2＋2x＋3＝0无实数解
C．明天会下雨
D．两直线相交，对顶角相等
7．下列事件：
①打开电视机，它正在播广告；
②从只装有红球的口袋中任意摸出一个球，恰好是白球；
③两次抛掷正方体骰子，掷得的数字之和小于13；
④抛掷硬币1 000次，第1 000次正面向上．
其中为可能发生的事件的是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8．“任意打开一本200页的数学书，正好是第50页”，这是________事件(填“随机”或“必然”)．
9．下列事件是随机事件的有________(填序号)
①任意买一张电影票，座位号是偶数；
②打开电视机，正在播放动画片；
③三个人分成两组，一定有两个人分在一组；
④三根长度为2 cm，2 cm，4 cm的木棒能摆成三角形．
10．指出下列随机事件中，哪些是等可能事件，哪些是非等可能事件．
①在一个装着3个白球、3个黑球(每个球除颜色外都相同)的袋中摸出一个球，摸出白球与摸出黑球；
②掷一枚均匀的骰子，朝上一面的点数分别为1、2、3、4、5、6；
③从4张扑克牌中(4张牌的花色分别为红桃、方块、梅花、黑桃)随意抽取一张，这张牌分别是红桃、方块、梅花、黑桃；
④掷一枚图钉，钉尖着地与钉尖朝上．
阶段强化专训二： 概率的四种求法
名师点金：概率可以通过大量重复试验中频率的稳定性来估计，它反映了事件发生的可能性的大小，需要注意的是：概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并不一定出现在每次试验中．常见的计算概率的方法有公式法(仅适用于等可能事件)、列表法、画树状图法和频率估算法等．
用公式法求概率
1．一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．
(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
(2)现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
6
用列表法求概率
2．(2015·潍坊)某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成如下不完整的统计图表：
阅读本数
n/本
1
2
3
4
5
6
7
8
9
人数
1
2
6
7
12
x
7
y
1
请根据以上信息回答下列问题：
(1)分别求出统计表中的x，y的值；
(2)估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数；
(3)从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取2名学生介绍读书体会，请用列表或画树状图的方法求抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率．
(第2题)
用画树状图法求概率
3．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小是相同的，三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率．
(1)三辆车全部继续直行；
(2)两辆车向右转，一辆车向左转；
(3)至少有两辆车向左转．
用频率估算法求概率
6
4．一只不透明的袋子中装有4个球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这两个球上数字之和．记录后都将球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
摸球总
次数
10
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为7”出
现的频数
1
9
14
24
26
37
58
82
109
150
“和为7”出
现的频率
0.10
0.45
0.47
0.40
0.29
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
解答下列问题：
(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；
(2)根据(1)，若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值．
答案
阶段强化专训一
1．D 2.①③⑤ 3.A 4.A
5．解：必然事件：①②⑤⑥；
不可能事件：③④⑦，这些事件都是确定性事件．
6．C 7.B
8．随机 9.①②
10．解：等可能事件：①②；
非等可能事件：③④.
阶段强化专训二
1．解：(1)P(摸出一个球是黄球)＝＝.
(2)设取出了x个黑球，则放入了x个黄球，由题意得≥，解得x≥.∵x为正整数，∴x最小取9，则至少取出了9个黑球．
6
2．解：(1)由图表可知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，所以共调查的学生数是13÷26%＝50(人)，
则调查学生中“良好”档次的人数为50×60%＝30(人)，所以x＝30－(12＋7)＝11，y＝50－(1＋2＋6＋7＋12＋11＋7＋1)＝3.
(2)由样本数据可知“优秀”档次所占的比例是＝0.08＝8%.
所以，估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数为400×8%＝32(人)．
(3)用A，B，C表示阅读本数是8的学生，用D表示阅读本数是9的学生，列表如下：
A
B
C
D
A
(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)
(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)
(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
由列表可知，共有12种等可能情况，其中所抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的有6种．所以，抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率为＝.
3．解：用树状图表示出三辆车经过该十字路口时所有可能出现的情况如图：
(第3题)
由树状图可以看出，三辆车经过该十字路口时所有等可能出现的情况共有27种．
(1)三辆车全部继续直行的结果只有1种，所以P(三辆车全部继续直行)＝.
(2)两辆车向右转，一辆车向左转的结果有3种，所以P(两辆车向右转，一辆车向左转)＝＝.
(3)至少有两辆车向左转的结果有7种，所以P(至少有两辆车向左转)＝.
4．解：(1)0.33；
(2)列表如下：
甲和乙
2
3
4
x
2
/
5
6
2＋x
3
5
/
7
3＋x
4
6
7
/
4＋x
x
x＋2
x＋3
x＋4
/
6
由表格可知，一共有12种等可能的结果，由(1)知，出现“和为7”的概率约为0.33，∴“和为7”出现的次数为0.33×12＝3.96≈4.若2＋x＝7，则x＝5，符合题意，若3＋x＝7，则x＝4，不合题意．若4＋x＝7，则x＝3，不合题意．∴x＝5.
6
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