二次函数
解码专训一：二次函数与几何的应用
名师点金：二次函数与几何的应用非常广泛，解决这类问题的关键是要学会数形结合，一方面，抓住几何图形的特征，灵活运用点的坐标与线段长度之间的相互转化，从而解决与二次函数有关的问题；另一方面，已知二次函数解析式可求出特殊点的坐标，进而求出线段长度，从而解决有关几何问题．
二次函数与三角形的综合
1．如图，在直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝x2＋bx－2过点C.求抛物线的解析式．
(第1题)
二次函数与平行四边形的综合
2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2 cm，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B，且12a＋5c＝0.
(1)求抛物线的解析式．
(2)如果点P由点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1 cm/s的速度向点C移动．一点到达终点后另一点停止移动．
①移动开始后第t s时，设S＝PQ2(cm2)，试写出S与t之间的函数解析式，并写出t的取值范围．
②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
(第2题)
二次函数与矩形、菱形、正方形的综合
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(第3题)
3．二次函数y＝x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn，在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，…，Cn在二次函数位于第二象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形An－1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠An－1BnAn＝60°，则菱形An－1BnAnCn的周长为________．
4．(中考·孝感)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)图①中，若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE＝EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)．
(2)如图②，若点E在线段BC上滑动(不与点B，C重合)．
①AE＝EF是否总成立？请给出证明．
②在如图②所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，求此时点F的坐标．
(第4题)
解码专训二：探究二次函数中存在性问题
名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题．
探索与特殊几何图形有关的存在性问题
1．(2015·绵阳)如图，已知抛物线y＝－x2
14
－2x＋a(a≠0)与y轴相交于A点，顶点为M，直线y＝x－a分别与x轴、y轴相交于B，C两点，并且与直线MA相交于N点．
(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示点M，A的坐标．
(2)将△NAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．
(3)在抛物线y＝－x2－2x＋a(a＞0)上是否存在点Q，使得以Q，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
(第1题)
探索与周长有关的存在性问题
2．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，OB＝OA，且∠AOB＝120°.
(1)求点B的坐标．
(2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式．
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
(第2题)
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探索与面积有关的存在性问题
3．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)将抛物线沿y轴平移后经过点C(3，1)，求平移后所得抛物线的解析式．
(3)设(2)中平移后的抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，在此抛物线上是否存在点N，使△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
(第3题)
解码专训三：几种常见的热门考点
名师点金：二次函数是中考的必考内容，难度高，综合性强，既可以与代数知识相结合，也可以与几何知识结合．有关二次函数的问题，中考一般以三种形式出现：一是以选择题或填空题出现，重在考查二次函数的基本概念和基本性质；二是以实际应用题的形式出现，重在考查函数建模思想；三是以综合题的形式出现，往往是压轴题，考查学生分析问题和解决问题的能力．
二次函数的图象与性质
1．对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝－1
C．顶点坐标是(1，2)
D．与x轴有两个交点
2．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是( )
A．(－3，－6) B．(1，－4)
C．(1，－6) D．(－3，－4)
3．(2015·安顺)如图，为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(第3题)
14
(第5题)
4．抛物线y＝2x2－x＋1的顶点坐标是________，当________时，y随x的增大而增大．
5．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是________．
用待定系数法求二次函数的解析式
6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该抛物线的函数解析式为( )
A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋2
7．已知一个二次函数的图象的顶点为(8，9)，且经过点(0，1)，则二次函数解析式为________．
8．(2014·咸宁)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：
温度t/℃
－4
－2
0
1
4
植物高度增长量l/mm
41
49
49
46
25
科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测，最适合这种植物生长的温度为______℃.
9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(2，0)，B(0，－1)，C(4，5)三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标．
10．如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4经过△ABC的三个顶点，点A，C分别在x轴、y轴上，且BC∥x轴，AC＝BC，求抛物线的解析式．
(第10题)
14
二次函数与一元二次方程或不等式的关系
11．抛物线y＝－9x2＋3x＋12与坐标轴的交点个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表．利用二次函数图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是( )
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
y
12
5
0
－3
－4
－3
0
5
12
A.x＜0或x＞2 B．0＜x＜2
C．x＜－1或x＞3 D．－1＜x＜3
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论错误的是( )
(第13题)
A．a－b＋c＝0
B．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
C．a＋b＋c＞0
D．当x＜1时，y随x的增大而减小
14．已知关于x的二次函数y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4.
(1)探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数；
(2)设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A(x1，0)，B(x2，0)，且x12＋x22＝5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数解析式．
二次函数的实际应用
15．(2015·滨州)一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件．为提高利润，欲对该T恤进行涨价销售．经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件．请确定该T恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大．
14
16．如图，某公路隧道横截面积为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C，D两点在抛物线上，A，B两点在地面OM上，则这个“支撑架”总长最大是多少？
(第16题)
二次函数的综合应用
13．在平面直角坐标系中，将一块等腰三角板ABC放在第二象限，一直角边靠在两坐标轴上，且有点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示，抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B.
(1)求点B的坐标．
(2)求抛物线的解析式．
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(第17题)
答案：
解码专训一
(第1题)
14
1．解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＋∠ACD＝90°，又∠BAC＝90°，∴∠OAB＋∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD.又∵AB＝AC，∠AOB＝∠CDA＝90°，∴△AOB≌△CDA(AAS)，∴AO＝CD＝1，BO＝AD＝2，∴OD＝OA＋AD＝3，∴C(3，1)．∵点C(3，1)在抛物线y＝x2＋bx－2上，∴1＝×32＋3b－2，解得b＝－.∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.
2．解：(1)根据题意知：A(0，－2)，B(2，－2)．
∵A点在抛物线上，∴c＝－2.
∵12a＋5c＝0，∴a＝.
由AB＝2知抛物线的对称轴为直线x＝1，∴－＝1.
∴b＝－.
∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.
(2)①由题意知：PB＝(2－2t) cm，BQ＝t cm，
∴S＝PQ2＝PB2＋BQ2＝(2－2t)2＋t2，
即S＝5t2－8t＋4(0≤t≤1)．
②假设存在点R，可构成以P，B，R，Q为顶点的平行四边形．
∵S＝5t2－8t＋4＝5＋(0≤t≤1)，
∴当t＝时，S取得最小值，
这时PB＝0.4 cm，BQ＝0.8 cm，易知P(1.6，－2)，Q(2，－1.2)．
分情况讨论：
(ⅰ)假设R在BQ的右边，这时QR綊PB，则点R的横坐标为2.4，纵坐标为－1.2，即R(2.4，－1.2)．
将x＝2.4代入y＝x2－x－2，得y＝－1.2，
∴点R在抛物线上，即这时存在R(2.4，－1.2)满足题意．
(ⅱ)假设R在BQ的左边，PB的上方，这时PR綊QB，则点R的横坐标为1.6，纵坐标为－1.2，即R(1.6，－1.2)．
易验证点R不在抛物线y＝x2－x－2上．
(ⅲ)假设R在PB的下方，这时PR綊QB，则R(1.6，－2.8)．
易验证点R不在抛物线y＝x2－x－2上．
综上所述，存在点R(2.4，－1.2)满足题意．
3．4n
4．解：(1)如图①，取AB的中点G，连接EG.△AGE与△ECF全等．
14
(第4题)
(2)①若点E在线段BC上滑动，AE＝EF总成立．
证明：如图②，在AB上截取AM＝EC.∵AB＝BC，∴BM＝BE，∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠AME＝180°－45°＝135°.又∵CF平分正方形的外角，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF.而∠BAE＋∠AEB＝∠CEF＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF，∴AE＝EF.②如图②，过点F作FH⊥x轴于点H.
由①知，FH＝BE＝CH.
设BH＝a，则FH＝a－1，∴点F的坐标为(a，a－1)．
∵点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，∴a－1＝－a2＋a＋1，∴a2＝2，a＝或－(负值不合题意，舍去)，∴a－1＝－1.∴点F的坐标为(，－1)．
解码专训二
1．解：(1)将A，B，C三点的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)∵点A，B关于直线l对称，∴PA＝PB.
∴当点P为直线BC与l的交点时，△PAC的周长最小．由B(3，0)，C(0，3)易求直线BC的解析式为y＝－x＋3；又易得直线l的解析式为x＝1.于是易求点P的坐标为(1，2)．
(3)存在．点M的坐标为(1，1)，(1，)，(1，－)，(1，0)．
点拨：对于(3)问，假设存在符合条件的点M，设M(1，m)，由A(－1，0)，C(0，3)，结合勾股定理易得MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10.①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得m2＋4＝m2－6m＋10，得m＝1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得m2＋4＝10，得m＝±；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得m2－6m＋10＝10，得m＝0或m＝6；当m＝6时，M，A，C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的点M的坐标为(1，1)，(1，)，(1，－)，(1，0)．
2．解：(1)由题意联立整理得2x2
14
＋5x－4a＝0，由Δ＝25＋32a＞0，解得a＞－.∵a≠0，∴a＞－且a≠0.令x＝0, 得y＝a，∴A(0，a)．由y＝－(x＋1)2＋1＋a，得M(－1，1＋a)．
(2)设直线MA为y＝kx＋b，代入A(0，a)、M(－1，1＋a)，得解得故直线MA为y＝－x＋a.联立解得∴N.由于P点是N点关于y轴的对称点，因此P，代入y＝－x2－2x＋a，得－＝－a2＋a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)．
∴A，C，M，∴AC＝.
∴S△PCD＝S△PAC－S△DAC＝AC.|xP|－AC.|xD|＝××(3－1)＝.
(3)①当点Q1在y轴左侧时，由四边形AQ1CN为平行四边形，得AC与Q1N相互平分，则点Q1与N关于原点(0，0)中心对称，而N，故Q1代入y＝－x2－2x＋a，得＝－a2＋a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)，∴Q1.②当点Q2在y轴右侧时，由四边形ACQ2N为平行四边形，得NQ2∥AC且NQ2＝AC，而N，A(0，a)，C(0，－a)，故Q2.代入y＝－x2－2x＋a，得－＝－a2－a＋a，解得a＝或a＝0(舍去)，∴Q2.∴当点Q的坐标为或时，Q，A，C，N四点能构成平行四边形．
3．解：(1)过点B作BD⊥y轴于点D，则∠BOD＝120°－90°＝30°.
由A(－2，0)可得OA＝2，∴OB＝2.于是在Rt△BOD中，易得BD＝1，OD＝.∴点B的坐标为(1，)．
(2)由抛物线经过点A(－2，0)，O(0，0)可设抛物线的解析式为y＝ax(x＋2)，将点B的坐标(1，)代入，得a＝，因此所求抛物线的解析式为y＝x2＋x.
(第3题)
(3)存在．如图，易知抛物线的对称轴是直线x＝－1，当点C是抛物线的对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，则解得
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eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(\r(3),3)，,b＝\f(2\r(3),3)，))
∴y＝x＋.当x＝－1时，y＝，因此点C的坐标为.
4．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(1，0)，B(0，2)，
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2.
(2)当x＝3时，由y＝x2－3x＋2得y＝2，可知抛物线y＝x2－3x＋2过点(3，2)，
∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位长度后过点C.
∴平移后抛物线的解析式为y＝x2－3x＋1.
(3)假设存在点N，则点N在抛物线y＝x2－3x＋1上，可设N点坐标为(x0，x02－3x0＋1)．由(2)知，BB1＝DD1＝1.
将y＝x2－3x＋1配方得y＝－，
∴抛物线的对称轴为直线x＝.
(第4题)
当0
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